数学必修 第二册7.1 正弦函数的图像与性质当堂检测题

这是一份数学必修 第二册7.1 正弦函数的图像与性质当堂检测题，共10页。

1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数；（ ）
②函数y＝asin x(a≠0)的最大值为a，最小值为－a；（ ）
③若x＝x0时，y＝sin x取最大值，则x＝x0是函数y＝sin x的对称轴；（ ）
④因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,6))) ＝sin eq \f(π,6) ，所以 eq \f(π,6) 是函数y＝sin x的周期；（ ）
⑤若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】；
2、函数f(x)＝eq \r(2)sin2x的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】
3、已知M和m分别是函数y＝eq \f(1,3)sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于（ ）
A．eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3) C．－eq \f(4,3) D．－2
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】；
4、函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))在区间[0，π]的一个单调递减区间是（ ）
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,12))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12))) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是______．
6、求下列函数的周期：（1）y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6))) ，x∈R；（2）y＝|sin x|，x∈R；
7、判断下列函数的奇偶性：（1）y＝sin |x|；（2）f(x)＝ eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sinx)
8、求函数y＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x)) 的单调区间。
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（1－x），0≤x≤1，,sin πx，110、函数f(x)＝ eq \f(sin x（1－sin x）,1－sin x) 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
11、利用五点法画出函数y＝1＋2sin x的简图，并根据图像讨论它的性质．
12、已知3sin2α＋2sin2β＝2sin α，求：sin2α＋sin2β的取值范围。
【教师版】
7.1.2 正弦函数的性质
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数；（ ）
②函数y＝asin x(a≠0)的最大值为a，最小值为－a；（ ）
③若x＝x0时，y＝sin x取最大值，则x＝x0是函数y＝sin x的对称轴；（ ）
④因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,6))) ＝sin eq \f(π,6) ，所以 eq \f(π,6) 是函数y＝sin x的周期；（ ）
⑤若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期；（ ）
【提示】注意：理解正弦函数的性质；
【答案】①×；②×；③√；④×；⑤√；
【解析】对于①，因为定义域不关于原点对称；所以，①是假命题；
对于②，依据不等式性质，要对a分大于0和小于0两种情况讨论，才能确定最大值与最小值；所以，②是假命题；
对于③，由正弦曲线可知，此说法是正确的；所以，③是真命题；
对于④，须满足对定义域中任意一个自变量都成立；所以，④是假命题；
对于⑤，是正确的，注意非零，所以，⑤是真命题；
【说明】本题主要考查了正弦函数的性质；同时与不等式性质、函数性质的研究方法进行了交汇；
2、函数f(x)＝eq \r(2)sin2x的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【提示】注意：理解函数奇偶性的判别方法；
【答案】A；
【解析】函数的定义域为R，f(－x)＝eq \r(2)sin 2(－x)＝－eq \r(2)sin 2x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，故选A；
【说明】本题主要考查了正弦函数的奇偶性与判别函数奇偶性的方法；
3、已知M和m分别是函数y＝eq \f(1,3)sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于（ ）
A．eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3) C．－eq \f(4,3) D．－2
【提示】注意：正弦函数性质与不等式性质的结合；
【答案】D；
【解析】因为M＝ymax＝eq \f(1,3)－1＝－eq \f(2,3)，m＝ymin＝－eq \f(1,3)－1＝－eq \f(4,3)，所以M＋m＝－eq \f(2,3)－eq \f(4,3)＝－2；
【说明】本题考查了正弦函数的性质：值域与最值；与不等式进行了交汇；
4、函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))在区间[0，π]的一个单调递减区间是（ ）
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,12))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12))) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
【提示】理解正弦函数的单调性；
【答案】B；
【解析】由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)得kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)(k∈Z)，取k＝0，则一个单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))；
【说明】本题考查了正弦函数的单调性与研究函数单调性的方法、复合函数进行了交汇；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是______．
【提示】注意：三角函数的“有界性”；
【答案】[－1，0]；
【解析】因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0；
【说明】本题主要考查了正弦函数的值域；渗透了函数与方程思想，用到了不等式工具；
6、求下列函数的周期：（1）y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6))) ，x∈R；（2）y＝|sin x|，x∈R；
【提示】理解周期的定义与知道正弦函数的周期与最小正周期；
【答案】（1）4π；（2）π；
【解析】（1）方法1、（定义法）因为，2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（x＋4π）＋\f(π,6))) ＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＋2π)) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6))) ，
所以，自变量x至少要增加到x＋4π，函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6))) ，x∈R的值才能重复出现，
则函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6))) ，x∈R的周期是4π.
方法2、（公式法）：T＝ eq \f(2π,\f(1,2)) ＝4π；
（2）作图如下：
观察图像可知最小正周期为π；
【说明】本题考查了求正弦函数及其相关的周期的方法；归纳：
求函数周期的方法：
1、定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
2、公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cs (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，可利用T＝ eq \f(2π,ω) 来求；
3、图像法：可画出函数的图像，借助于图像判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法；
7、判断下列函数的奇偶性：（1）y＝sin |x|；（2）f(x)＝ eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sinx)
【提示】注意：理解正弦函数的奇偶性；
【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；
【解析】（1）由sin |－x|＝sin |x|，所以是偶函数；
（2）因为，1＋sin x≠0，所以，sin x≠－1，所以，x∈R且x≠2kπ－ eq \f(π,2) ，k∈Z.
因为，定义域不关于原点对称，所以，该函数是非奇非偶函数；
【说明】本题考查了正弦函数奇偶性的有关判别方法；归纳：
判断函数奇偶性的两个关键点：1、看函数的定义域是否关于原点对称；2、看f(－x)与f(x)的关系；对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式、三角变换公式先将函数式化简后再判断；
8、求函数y＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x)) 的单调区间。
【提示】注意：正弦函数与一次函数的交汇；体验复合函数的研究过程与方法；
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8))) (k∈Z)；
【解析】因为，y＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x)) ＝－ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
所以，由 eq \f(π,2) ＋2kπ≤2x－ eq \f(π,4) ≤ eq \f(3π,2) ＋2kπ(k∈Z)，得 eq \f(3π,8) ＋kπ≤x≤ eq \f(7π,8) ＋kπ，k∈Z.
所以函数y＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x)) 的单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8))) (k∈Z)，
由2kπ－ eq \f(π,2) ≤2x－ eq \f(π,4) ≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，(k∈Z)，得kπ－ eq \f(π,8) ≤x≤kπ＋ eq \f(3π,8) (k∈Z).
所以函数y＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x)) 的单调减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8))) (k∈Z)；
【说明】本题考查了正弦函数的单调性与判别复合函数的单调性的交汇；归纳：
求与正弦函数有关的单调区间的策略：1、结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；2、在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间；3、①ω＜0时，一般用诱导公式转化为－ω＞0后求解；②若A＜0，则单调性相反；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（1－x），0≤x≤1，,sin πx，1【提示】理解：函数周期性的定义；
【答案】eq \f(5,16)；
【解析】因为f(x)是以4为周期的奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(3,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(7,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6))).
因为当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))＝eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(3,16).因为当1所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6)))＝sineq \f(7π,6)＝－eq \f(1,2).又因为f(x)是奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))＝－eq \f(3,16)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6)))＝eq \f(1,2).
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,6)))＝eq \f(1,2)－eq \f(3,16)＝eq \f(5,16)；答案：eq \f(5,16)；
【说明】本题整合了正弦函数的周期性、函数的周期性与分段函数、求函数值的交汇；
10、函数f(x)＝ eq \f(sin x（1－sin x）,1－sin x) 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【提示】注意：判别函数奇偶性的方法；
【答案】D；
【解析】由题意知sin x≠1，即f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z}，不关于原点对称．
所以，f(x)是非奇非偶函数；
【说明】本题考查了判别判断三角函数的奇偶性时的易错点：忽略定义域致误；
易错警示：
11、利用五点法画出函数y＝1＋2sin x的简图，并根据图像讨论它的性质．
【提示】注意：理解正弦函数性质的研究过程；
【解析】列表如下．
根据表中数据画出简图如下．
观察图像得出y＝1＋2sin x的性质(见下表)．
【说明】解答此类问题的关键在于能正确利用五点法作出函数的简图，然后根据所画图像结合正弦函数的性质，从函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值这几个方面讨论函数的性质；
12、已知3sin2α＋2sin2β＝2sin α，求：sin2α＋sin2β的取值范围。
【提示】注意：减少变量，等价转化；
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9)))；
【解析】由已知条件知sin2β＝sin α－eq \f(3,2)sin2α，所以0≤sin α－eq \f(3,2)sin2α≤1，解得0≤sin α≤eq \f(2,3)，
所以sin2α＋sin2β＝sin2α＋sin α－eq \f(3,2)sin2α＝－eq \f(1,2)(sin α－1)2＋eq \f(1,2)，
设sin α＝t，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))，y＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋eq \f(1,2)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))上是增函数，
所以当t＝0时，ymin＝0，当t＝eq \f(2,3)时，ymax＝eq \f(4,9)；
所以sin2α＋sin2β的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9)))；
【说明】本题主要考查了三角变换与等价转化；化归为：求形如y＝A sin2x＋B sinx＋C，A≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性；
易错原因
纠错心得
误认为f(x)＝ eq \f(sin x（1－sin x）,1－sin x) ＝sin x，从而得到错误答案：A.
判断三角函数的奇偶性时，首先要考虑函数的定义域是否关于原点对称，再等价变形，最后再下结论．
x
0
eq \f(π,2)
π[]
eq \f(3π,2)
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝1＋2sin x
1
3
1
－1
1
函数
y＝1＋2sin x
定义域
R
值域
[－1，3]
奇偶性
既不是奇函数也不是偶函数[来源:学+科+网Z+X+X+K]
周期性
最小正周期T＝2π
单调性
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)时，函数是增加的；
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)时，函数是减少的
最大值与
最小值
当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，最大值为3；
当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，最小值为－1