初中数学华师大版七年级上册2.4 绝对值优秀当堂检测题

第4讲 绝对值

【学习目标】

1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；

2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；

3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

【基础知识】

考点一、绝对值

1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．

考点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2．性质：

（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.

（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

考点二、有理数的大小比较

1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．

2．法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

考点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：

（3）判定两数的大小．

3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．

4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

【考点剖析】

考点一：绝对值的概念

例1．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．

【点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．

【解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；

              因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；

              由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．

【总结】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．

举一反三：

【变式】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为        ．

如果｜x－2｜＝1，那么x＝         ；

          如果｜x｜＞3，那么x的范围是           ．

【答案】6或-6；1或3；或

考点二：比较大小

例2． 比较下列每组数的大小：

    (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．

【点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．

【解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．

          因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．

(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．

(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．

    (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．

【总结】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

考点三：含有字母的绝对值的化简

例3．（都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|=　            ．

【点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．

【答案】2x﹣3．

【解析】

解：原式=x+1﹣（﹣x+4），

=x+1+x﹣4，

=2x﹣3.

【总结】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．

举一反三：

【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：
　　　　　

化简：
【答案】由图所示，可得．
　　　　∴ ，，，
　　　　∵
　　　　　 ．
　　　　∴ 原式．

考点四：绝对值非负性的应用

例4． 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．

【解析】由，，，

可得 ∴

【总结】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．

举一反三：

【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．

【答案】   由题意得 ∴       所以，

考点五：绝对值的实际应用

例5.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?

【点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.

【解析】小虫爬行的总路程为：

|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)

小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)

答：小虫一共可以得到108粒芝麻．

【总结】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.