2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，点，点分别是边，的中点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若二次根式有意义，则符合条件的可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前的，设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知个正数，，，的平均数是，且，则数据，，，，的平均数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 若反比例函数的图象经过点，其中，为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在四边形中，设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 要确定方程的解，只需知道一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标．由上面的信息可知，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，平行四边形的对角线交于点点、分别是边，的中点，连接，下列结论：若四边形是菱形，则；若四边形是矩形，则；若，则四边形是矩形；若，则四边形是菱形．其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 设反比例函数，当，，时，对应的函数值分别为，，，若，则必有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 当时，二次根式的值是______．
12. 在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______．
13. 若点，点均在反比例函数为常数的图象上，若，则的取值范围是______．
14. 若方程为常致，且的一个解是，则另一个解是______．
15. 甲、乙两人的射击测试成绩统计如下：

记甲测试成绩的方差为，乙测试成绩的方差为，则 ______填“”、“”、“”中的一个．

16. 如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处；点在边上，把沿直线折叠，使点落在线段上的点处．若，，则______，矩形的面积______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 解方程：．
    计算：．
18. 某次数学测试，圆圆同学所在的学习小组其他同学的平均分为分，圆圆说，“我的分是分，我们学习小组的平均分恰好是分”．
    圆圆同学所在的学习小组有多少人？
    已知该学习小组本次测试得分的众数是分，最低分为分，求该学习小组本次测试得分的中位数．
19. 如图，，是直线上的一点，，连接，，，，交于点，且点是的中点，连接．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，求证：．

20. 一名高尔夫球手某次击出的球的高度和经过的水平距离满足下面的关系式：．
    当球经过的水平距离为时，球的高度是多少？
    当球第一次落到地面时，经过的水平距离是多少？
    设当球经过的水平距离分别为和时，球的高度分别为和，比较和的大小．
21. 如图，在的正方格中，中心点为点，图中有个小正方格被涂黑成“形”．
    用铅笔在图中再涂黑格，使新涂黑的图形与原来的“形”关于点成中心对称；
    用铅笔在图中再涂黑格，使新涂黑的图形与原来的“形”所组成的新图形既是轴对称图形、又是中心对称图形要求画出三种．

22. 在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，点的坐标为，点的坐标为．
    求的值和一次函数的表达式．
    当时，直接写出的取值范围．
    把函数的图象向下平移个单位后，与函数的图象交于点和，当时，求此时及的值．

23. 在正方形中，点在边上不与点，点重合连接，作于点，交边于点，连接．
    求证：．
    若点是边的中点，．
    分别求，的长．
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
利用二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是耍熟练掌握二次根式的乘法法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：点，点分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降，
依题意，得：．
故选：．
根据今年年底的价格是两年前的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由平均数定义可知：；
将这组数据按从小到大排列为，，，，；
由于有奇数个数，取最中间的数，
其中位数为．
故选：．
直接利用平均数求法，总数数据个数平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案．
此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设反比例函数的关系式为，
反比例函数的图象经过点，
，
即纵横坐标的积为，
A.，纵横坐标的积为，因此选项A不符合题意；
B.，纵横坐标的积为，因此选项B不符合题意；
C.，纵横坐标的积为，因此选项C符合题意；
D.，纵横坐标的积为，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项进行判断即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在四边形中，
，
，，
，
，
故选：．
根据四边形的内角和为求解即可．
本题考查了四边形的内角和公式，边形内角和公式是．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标是方程的解，
方程整理得，，
由题意可知，，
故选：．
一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标是方程的解，整理后与方程比较即可求得结论．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，明确一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标是方程的解是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是边，的中点，
，，
四边形与四边形都是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
若平行四边形是菱形，则，
，故正确；
若平行四边形是矩形，则，
四边形是平行四边形，
，
，故正确；
由知，若，则平行四边形是菱形，故不正确；
由知，若，平行四边形是矩形，故不正确；
综上所述，正确的是，
故选：．
易证四边形与四边形都是平行四边形，由平行四边形的性质得出，若平行四边形是菱形，则，即可得出；
若平行四边形是矩形，则，由平行四边形的性质得出，即可得出；
由知，若，则平行四边形是菱形；
由知，若，平行四边形是矩形．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
由题意可知，，或，
或，
故选：．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，



．
故答案为：．
将代入代数式求值即可．
本题考查了二次根式的定义，将代入代数式求值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：坐标系中点和点关于原点中心对称，
，，
则．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质，得出，的值，即可得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点，点均在反比例函数为常数的图象上，若，
点在第三象限，点在第一象限，
，
故答案为：．
根据题意判断点在第三象限，点在第一象限，从而可以解答本题．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能够判断、所处的象限是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个解为，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
设方程的另一个解为，根据两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，

故答案为：．
根据方差计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

16.【答案】   

【解析】解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去，
，，，
矩形的面积，
故答案为：，．
由折叠的性质得，，设，则，得，，再在中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：或，
或；
原式
． 

【解析】根据平方根概念可得答案；
先算乘方，再算加减．
本题考查实数的运算，解题的关键是掌握平方根概念及公式．
 

18.【答案】解：人，
答：圆圆同学所在的学习小组有人；
该学习小组有人，最低分为分，圆圆的分是分，
众数是分，
本次测试得分是分的有人，最低分为分，
该学习小组本次测试还有一个得分是分．
该学习小组本次测试得分从小到大排列为，，，，，
该学习小组本次测试得分的中位数是． 

【解析】利用平均数的定义直接计算即可；
利用众数，中位数的定义即可求解．
本题考查的是平均数，众数，中位数，弄清题意是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
． 

【解析】证≌，得，再证，架空层四边形是平行四边形；
证，再证，则，然后证是直角三角形，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及直角三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：当时，
，
答：当球经过的水平距离为时，球的高度是；
在中，令得：
，
解得或，
当球第一次落到地面时，经过的水平距离是；
当时，，
当时，，
． 

【解析】当时，，即得当球经过的水平距离为时，球的高度是；
在中，令得或，可知当球第一次落到地面时，经过的水平距离是；
算出，，即可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能根据已知求出相应的和的值．
 

21.【答案】解：图形如图所示：

图形如图所示：
 

【解析】根据中心对称图形的定义画出图形；
根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：反比例函数过点，点．
，
，，
，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的表达式为；
观察图象，当时，的取值范围或；
由可知，
把点代入得，，
函数的图象向下平移个单位后，与函数的图象交于点和，
把函数的图象向下平移个单位后得到，且过点，
，
，
点在反比例函数的图象上，
． 

【解析】由的坐标求得反比例函数的解析式进而求得的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式；
根据图象即可求得；
根据反比例函数图象上点的坐标特征，求得，由过点，即可求得，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，求得交点坐标是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：正方形是正方形，，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
点是的中点，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，，
的长为，的长为．
如图，过点作于点，则，

，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
． 

【解析】根据正方形的性质及垂线的性质得出，然后利用得出≌，即可得解；
先得出∽，再利用勾股定理得出的长，再利用，求解即可；
过点作于点，先得出，，再得出≌，最后利用求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．