2021-2022学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有-项符合题目要求）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．[﹣1，3） B．（﹣1，2] C．（0，2] D．（0，2）
2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则|z|＝（　　）
A． B．2 C． D．
3．（5分）“m＝2”是“直线y＝x+m与圆x2+y2＝2相切”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）函数y＝的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知α∈（0，），sin（α﹣）＝，则sin2α＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．（5分）向量、满足||＝|+|＝|2+|＝1，则||＝（　　）
A．1 B． C． D．2
7．（5分）疫情期间，某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴A，B，C三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去A检测点，则不同的安排方法有（　　）
A．76 B．88 C．100 D．124
8．（5分）已知非零实数a，b满足＝ea，则（　　）
A．a＞b B．a＜b2 C．2b2＞ab D．2a2＞b3
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+）﹣1，则下列关于函数f（x）描述正确的是（　　）
A．函数f（x）图象关于直线x＝对称
B．函数f（x）图象关于点（，﹣1）中心对称
C．函数f（x）在[，π]单调递增
D．函数f（x）在[0，]上的最大值是1
（多选）10．（5分）已知曲线C：+＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．若曲线C表示双曲线，则k＞5
B．若曲线C表示椭圆，则1＜k＜5且k≠3
C．若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率，则k＝7
D．若曲线C与椭圆+＝1有公共焦点，则k＝4
（多选）11．（5分）甲乙两位同学玩纸牌游戏（纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌数分别为X、Y张，则（　　）
A．P（X＝2）＝ B．P（X＝3）＝ C．E（X）＝E（Y） D．D（X）＝D（Y）
（多选）12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是正三角形，则（　　）
A．BC与平面ACP所成角的最大值为
B．BC与平面ABP所成角的最小值为
C．若平面PBC⊥平面ABC，则二面角A﹣PB﹣C的最小值为
D．若∠PAC，∠PAB都不小于，则二面角B﹣PA﹣C为锐二面角
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（0≤X≤4）＝0.8，则P（X＜0）＝　 　．
14．（5分）已知（1﹣x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a3+a5+a7+a9＝　 　．
15．（5分）设数列Am：a1，a2，…，am（m≥2），若存在公比为q的等比数列Bm+1：b1，b2，…，bm+1，使得bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列Bm+1为数列Am的“等比分割数列”．若数列A5的通项公式为an＝3n（n＝1，2，…，5），其“等比分割数列”B6的首项为1，则数列B6的公比q的取值范围是 　 　．
16．（5分）若不等式（1+x2）eax≥ax2+ax+1对任意x∈R均成立，则实数a的取值范围是 　 　．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a•cosC+c•cosA＝3bcosB．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若a＝3，b＝2，求△ABC的面积．
18．（12分）某学校为了解高二年级学生数学核心素养，从中抽取a名学生参加数学素养大赛，成绩（单位：分）的分组及根据各组数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间[40，100），且成绩在区间[60，90）的学生人数是37人．
（Ⅰ）求x，a的值；
（Ⅱ）估计这次数学竞赛成绩的75%百分位数和平均分．

19．（12分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点M为线段CD上的中点，沿AM将△AMD翻折，使得∠PMD＝，点E在线段PB上且满足PE＝2EB．
（Ⅰ）证明：平面APM⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

20．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）|x﹣a|+1．
（Ⅰ）当a＝4时，写出f（x）的单调区间（不需要说明理由）；
（Ⅱ）若存在x∈[3，5]，使得f（x）＞5，求实数a的取值范围．
21．（12分）自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID﹣19开始肆虐全球．人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡，目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为P（0＜p＜1）．
（Ⅰ）若p＝，现对4份样本进行核酸检测，求这4份中检验结果为阳性的份数ξ的分布列及期望；
（Ⅱ）若p＝1﹣2，现有2k（k∈N*，k≥2）份样本等待检验，并提供“k合1”检验方案：将k（k∈N*，k≥2）份样本混合在一起检验．若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用“k合1”检验方案所需的检验次数X的期望E（X）与2k的大小．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣sinx﹣ax．
（Ⅰ）若a＝0，求函数f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）当a＞4时，证明：函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），且满足（ⅰ）x1＜；（ⅱ）x1•e＞lna．

2021-2022学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有-项符合题目要求）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．[﹣1，3） B．（﹣1，2] C．（0，2] D．（0，2）
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤2}，
故选：C．
2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则|z|＝（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：∵＝，
∴，
故选：A．
3．（5分）“m＝2”是“直线y＝x+m与圆x2+y2＝2相切”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由圆x2+y2＝2，得到圆心（0，0），半径r＝，直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2＝2相切，
圆心到直线的距离d＝r，即＝整理得：m＝±2，
∴“m＝2”是“直线y＝x+m与圆x2+y2＝2相切”的充分不必要条件，
故选：A．
4．（5分）函数y＝的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵x∈R，又易知f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）为R上的奇函数，∴排除B；
又当x＞0时，y＝＜1，∴排除C；
又f（1）＝，∴排除D，
故选：A．
5．（5分）已知α∈（0，），sin（α﹣）＝，则sin2α＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：由题知sin2α＝cos（2）＝1﹣
＝1﹣＝．
故选：D．
6．（5分）向量、满足||＝|+|＝|2+|＝1，则||＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵向量、满足||＝|+|＝|2+|＝1，
∴|+|2＝1，|2+|2＝1，
∴1+2+||2＝1，4+4+||2＝1，
两式相减可得2＝﹣3，
代入1+2+||2＝1可得||2＝3，
∴||＝，
故选：C．
7．（5分）疫情期间，某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴A，B，C三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去A检测点，则不同的安排方法有（　　）
A．76 B．88 C．100 D．124
【解答】解：问题可分2类安排，
①先按3，1，1的方式分组，再将含有护士的一组排到B，C中的一个检测点，
最后将余下两组排到剩下的两个检测点，则不同的安排方法数为：，
②先按2，2，1的方式分组，再将含有护士的一组排到B，C中的一个检测点，
最后将余下两组排到剩下的两个检测点，则不同的安排方法数为：＝60，
∴总的不同的安排方法数为：40+60＝100，
故选：C．
8．（5分）已知非零实数a，b满足＝ea，则（　　）
A．a＞b B．a＜b2 C．2b2＞ab D．2a2＞b3
【解答】解：∵＝ea＞0，∴﹣2＜b＜2，
令b＝﹣1，a＝﹣ln3，此时满足＝ea＝，但是﹣1＞﹣ln3，故A错误；
令b＝1，a＝ln3，此时满足＝ea＝3，但是12＜ln3，故B错误；
由此时满足＝ea，两边取对数得a＝ln，
当0＜b＜2，a＝ln＞0，
∴要比较2a2与b3的大小，即比较与的大小，
即ln与的大小，
令h（x）＝ln﹣＝ln（2+x）﹣ln（2﹣x）﹣，（0＜x＜2），
则＝，
令＝t，则16﹣3x（4﹣x2）＝16+3（t4﹣4）＝16+3（t5﹣4t），
令φ（t）＝16+3（5t5﹣4t），t∈（0，），
则φ′（t）＝3（20t4﹣4），∴0＜t＜时，φ′（t）＜0，
当时，φ′（t）＞0，
即φ（t）≥φ（）＝16+3×（﹣3）＞0，
∴2a2＞b3，
当﹣2＜b＜0时，2a2＞0，b3＜0，∴2a2＞b3，综上2a2＞b3，故D正确；
当0＜b＜2，a＝ln＞0，要比较2b2与ab的大小，只需比较2b与a的大小，
令m（b）＝2b﹣a＝2b﹣ln＝2b﹣ln（2+b）+ln（2﹣b），b∈（0，2），
则＝＝，
∴当0时，m′（b）＞0，当时，m′（b）＜0，
当b→2时，2b→4，ln（2+b）→ln4，ln（2﹣b）→﹣∞，
∴m（b）＜0，
此时不满足2b＞a．即2b2＞ab不恒成立，故C错误．
故选：D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+）﹣1，则下列关于函数f（x）描述正确的是（　　）
A．函数f（x）图象关于直线x＝对称
B．函数f（x）图象关于点（，﹣1）中心对称
C．函数f（x）在[，π]单调递增
D．函数f（x）在[0，]上的最大值是1
【解答】解：对于A：∵f（）＝2sin﹣1＝1＝f（x）max，故函数f（x）图象关于直线x＝对称，故A正确；
对于B：∵f（）＝2sinπ﹣1＝﹣1，故函数f（x）图象关于点（，﹣1）中心对称，故B正确；
对于C：当x∈[，π]时，≤2x+≤，所以函数f（x）在[，π]上不单调，故C错误；
对于D：当x∈[0，]，≤2x+≤π，故当2x+＝时，f（x）max＝2sin﹣1＝1，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）已知曲线C：+＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．若曲线C表示双曲线，则k＞5
B．若曲线C表示椭圆，则1＜k＜5且k≠3
C．若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率，则k＝7
D．若曲线C与椭圆+＝1有公共焦点，则k＝4
【解答】解：对于A：若曲线表示双曲线，则（k﹣1）（5﹣k）＜0，解得k＞5或k＜1，故A错误；
对于B：若曲线表示椭圆，则，解得1＜k＜5且k≠3，故B正确；
对于C：若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为，则，所以c2＝a2+b2＝2k﹣6，则，解得k＝7，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则，则k＞5，则c2＝2k﹣6＝2，解得k＝4（舍去）；
若曲线C表示焦点在轴上的椭圆，则，则3＜k＜5，则c2＝2k﹣6＝2，解得k＝4，符合题意，故k＝4，故D正确；
故选：BCD．
（多选）11．（5分）甲乙两位同学玩纸牌游戏（纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌数分别为X、Y张，则（　　）
A．P（X＝2）＝ B．P（X＝3）＝ C．E（X）＝E（Y） D．D（X）＝D（Y）
【解答】解：甲取出一张红牌为事件A，乙取出一张红牌为事件B，
则，
则X的可能取值为1、2、3，且Y＝3﹣X，
则，
所以E（X）＝＝，
所以，
D（Y）＝D（3﹣X）＝（﹣1）2D（X）＝D（X），
故选：AD．
（多选）12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是正三角形，则（　　）
A．BC与平面ACP所成角的最大值为
B．BC与平面ABP所成角的最小值为
C．若平面PBC⊥平面ABC，则二面角A﹣PB﹣C的最小值为
D．若∠PAC，∠PAB都不小于，则二面角B﹣PA﹣C为锐二面角
【解答】解：对于A：设点B在平面ACP内的射影点为O，取AC的中点E连接BO，OE，BE，OC，

设等边△ABC的边长为a，则BE＝a，∵BO⊥平面ACP，所以直线BC与平面ACP所成角为∠BCO，
∵BO⊥平面ACP，AC⊂平面ACP，则AC⊥OB，
∵△ABC是等边三角形，E为AC的中点，则BE⊥AC，
∵OB∩BE＝B，∴AC⊥平面OBE，∵OE⊂平面OBE，∴AC⊥OE，
∴二面角B﹣AC﹣P的平面角为∠BEO，sin∠BEO＝，∴OB＝BEsin∠BEO，
则sin∠BCO＝＝＝sin∠BEO≤，
即当平面ACP⊥平面ABC时，∠BCO即得最大值为，故A正确，
对于B：由A选项可知，BC与平面ABP所成角的最大值为，故B错误，
对于C：取BC的中点M，过点M在平面PBC内作MN⊥PB，垂足为N，
连接AM，AN，则AM＝a，

∵△ABC为等边三角形，M为BC的中点，则AM⊥BC，
因为平面ABC⊥平面PBC，平面ABC∩平面PBC＝BC，AM⊂平面ABC，
∴AM⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴AM⊥PB，
∵MN⊥PB，AM∩MN＝N，∴PB⊥平面ANM，∵AN⊂平面MNA，∴AN⊥PB，
所以，二面角A﹣PB﹣C的平面角为∠ANM，∵AM⊥平面PBC，MN⊂平面BCP，∴AM⊥MN，
因为MN＝BMsin∠PBC＝sin∠PBC，
所以tan∠ANM＝＝≥，当且仅当PB⊥BC时，等号成立．
故当平面PBC⊥平面PAB时，则二面角A﹣PB﹣C的最小值为，故C正确；
对于D，过点B在平面PAB内作BT⊥PA，垂足为T，
过点C在平面PAC内作CR⊥PA，垂足为点R，则二面角A﹣PB﹣C为＜，＞，

设∠PAB＝α，∠PAC＝β，＝﹣，＝﹣，
•＝||•||cos＝a2，
•＝（﹣）•（﹣）＝•﹣•﹣•+•
＝•﹣（﹣）•﹣（+）•+•
＝a2﹣•＝a2﹣a2cosαcosβ＝a2（﹣cosαcosβ），
取α＝β＝，则•＜0，此时＜，＞为钝角，
即二面角A﹣PB﹣C为钝二面角．故D错误．
故选：AC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（0≤X≤4）＝0.8，则P（X＜0）＝　0.1　．
【解答】解：由已知得对称轴为x＝2，
显然，区间（0，4）关于x＝2对称，
故P（X＜0）＝[1﹣P（0≤X≤4）]＝＝0.1．
故答案为：0.1．
14．（5分）已知（1﹣x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a3+a5+a7+a9＝　﹣512　．
【解答】解：∵（1﹣x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，
∴令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+•••+a10＝0，
再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+•••+a10＝1024，
两式相减除以2，可得a1+a3+a5+a7+a9＝＝﹣512，
故答案为：﹣512．
15．（5分）设数列Am：a1，a2，…，am（m≥2），若存在公比为q的等比数列Bm+1：b1，b2，…，bm+1，使得bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列Bm+1为数列Am的“等比分割数列”．若数列A5的通项公式为an＝3n（n＝1，2，…，5），其“等比分割数列”B6的首项为1，则数列B6的公比q的取值范围是 　　．
【解答】解：由题意可得，qn﹣1＜3n＜qn（n＝1，2，3，⋯，5），
所以q＞3，且qn﹣1＜3n（n＝1，2，3，⋯，5），
当n＝1时，1＜3成立；
当n＝2，3，⋯，5时，应有成立，
综上q的取值范围是．
故答案为：．
16．（5分）若不等式（1+x2）eax≥ax2+ax+1对任意x∈R均成立，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，0]　．
【解答】解：当a＞0时，x→﹣∞时，（1+x2）eax→0，ax2+ax+1→+∞，
故不满足题意；
当a＜0时，g（x）＝ax2+ax+1图象开口向下，过点（0，1），
又因为g'（x）＝2ax+a，则g'（0）＝a，
所以g（x）在（0，1）处的切线方程为y＝ax+1，
则ax+1≥ax2+ax+1，
下证（1+x2）eax≥ax+1．
令m（x）＝（1+x2）﹣e﹣ax（ax+1），则m'（x）＝2x+a2xe﹣ax＝x（2+a2e﹣ax），
当x＞0时，m'（x）＞0，m（x）单调递增；
当x＜0时，m'（x）＜0，m（x）单调递减；
所以m（x）≥m（0）＝0，
所以1+x2≥e﹣ax（ax+1），
即（1+x2）eax≥ax+1≥ax2+ax+1，
当a＝0时，1+x2≥1，满足题意，
故实数a的取值范围为（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a•cosC+c•cosA＝3bcosB．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若a＝3，b＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由a•cosC+c•cosA＝3bcosB得：
sinAcosC+sinCcosA＝3sinBcosB，
故sin（A+C）＝sinB＝3sinBcosB，又sinB≠0，
故cosB＝，结合B∈（0，π），故sinB＝＝．
（Ⅱ）结合（Ⅰ）得cosB＝，
解得c＝3，或﹣1（舍），
故＝＝3．
18．（12分）某学校为了解高二年级学生数学核心素养，从中抽取a名学生参加数学素养大赛，成绩（单位：分）的分组及根据各组数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间[40，100），且成绩在区间[60，90）的学生人数是37人．
（Ⅰ）求x，a的值；
（Ⅱ）估计这次数学竞赛成绩的75%百分位数和平均分．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：（0.004+0.006+0.02+0.03+x+0.016）×10＝1，
解得：x＝0.024，
所以a＝＝50，
所以x＝0.024，a＝50；
（Ⅱ）成绩位于[40，80）的频率为（0.004+0.006+0.02+0.03）×10＝0.6＜0.75，
成绩位于[40，90）的频率为0.6+0.024×10＝0.84＞0.75，
所以75%分位数位于[80，90），设75%分位数为m，
则0.6+（m﹣80）×0.024＝0.75，解得：m＝86.25，
平均数为45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16＝76.2．
19．（12分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点M为线段CD上的中点，沿AM将△AMD翻折，使得∠PMD＝，点E在线段PB上且满足PE＝2EB．
（Ⅰ）证明：平面APM⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，取AM中点O，连接DO，PO，

因为M为线段CD上的中点，
所以AD＝DM＝2，所以DO⊥AM，
又因为PA＝DA＝2，PM＝DM＝2，
所以PA＝PM＝2，
所以PO⊥AM①，
由题意可得，
，
又因为，
所以△DPM为等边三角形，
所以DP＝2，
所以OP2+OD2＝PD2，
所以OP⊥OD②，
又因OD∩AM＝O③，
由①②③可得OP⊥平面ABCD，
又因为OP⊂平面PAM，
所以平面APM⊥平面ABCD；
解：（2）建立如图所示的坐标系：

则，
又因为PE＝2EB，
所以，
所以，
设平面PAB的法向量＝（x，y，z），
则，所以x＝y＝z，
故取＝（1，1，1），
设直线CE与平面PAB所成角为，
则有＝＝．
20．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）|x﹣a|+1．
（Ⅰ）当a＝4时，写出f（x）的单调区间（不需要说明理由）；
（Ⅱ）若存在x∈[3，5]，使得f（x）＞5，求实数a的取值范围．
【解答】解：（I）当a＝4时，，
故f（x）在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增；
（II）∵存在x∈[3，5]，使得f（x）＞5，∴f（x）max＞5，
∴等价于存在x∈[3，5]，使（x﹣2）|x﹣a|＞4成立，即，
∴或在x∈[3，5]上有解，
即或在x∈[3，5]上有解，
∴或，
∵在[3，5]上递增．∴，
∵住（3，4）上递减，在（4，5）上递增，∴a＞6，
综上所述：或a＞6．
21．（12分）自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID﹣19开始肆虐全球．人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡，目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为P（0＜p＜1）．
（Ⅰ）若p＝，现对4份样本进行核酸检测，求这4份中检验结果为阳性的份数ξ的分布列及期望；
（Ⅱ）若p＝1﹣2，现有2k（k∈N*，k≥2）份样本等待检验，并提供“k合1”检验方案：将k（k∈N*，k≥2）份样本混合在一起检验．若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用“k合1”检验方案所需的检验次数X的期望E（X）与2k的大小．
【解答】（Ⅰ）解：记阳性人数为ξ，则，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
ξ
0
1
2
3
4
P





所以，；
（Ⅱ）解：记所需化验次数为X，则X的可能取值为2、k+2、2k+2，
∵，则，
所以，
，
，
令，可得，则，
所以，，即，
令，则．
当时，f′（k）＞0，此时函数f（k）单调递增，
当时，f′（k）＜0，此时函数f（k）单调递减，
∵，当时，f（k）＞0恒成立，
∵，则当时，f（k）＞0恒成立，
当k∈（16，+∞）时，f（k）＜0恒成立．
综上所述，当k∈[2，16）且k∈N时，f（k）＞0，则E（X）＜2k，
当k＝16时，f（k）＝0，则E（X）＝2k，
当k∈（16，+∞）且k∈N时，f（k）＜0，则E（X）＞2k．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣sinx﹣ax．
（Ⅰ）若a＝0，求函数f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）当a＞4时，证明：函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），且满足（ⅰ）x1＜；（ⅱ）x1•e＞lna．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝ex﹣sinx，
所以f'（x）＝ex﹣cosx，
因为x∈[0，+∞），所以f'（x）＝ex﹣cosx≥1﹣cosx≥0，
所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（0）＝1．
（Ⅱ）证明：因为f（x）＝ex﹣sinx﹣ax，
所以f'（x）＝ex﹣cosx﹣a，
当x≤0时，f'（x）＝ex﹣cosx﹣a≤1+1﹣a＜0，
所以f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
所以f（x）≥f（0）＝1，即f（x）在（﹣∞，0]上没有零点．
当x＞0时，令f（x）＝0，即ex﹣sinx﹣ax＝0，
所以a＝，
令p（x）＝，x∈（0，+∞），
下面先证p（x）＝a有两个根x1，x2，
p'（x）＝，
令g（x）＝（x﹣1）ex+sinx﹣xcosx，
则g'（x）＝x（ex+sinx）≥x（1+sinx）≥0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（0）＝﹣1，g（1）＝sin1﹣cos1＞0，
所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，
从而p（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又p（1）＝e﹣sin1＜e＜4可知：
当a＞4时，p（x）＝a有两个不同的实数根x1，x2，
且0＜x1＜x0＜1＜x2，
即f（x）有两个不同的零点x1，x2，
（ⅰ）因为＜1，所以x1＜等价于p（x1）＞p（），
等价于a＞p（），即a＞，即2＞﹣sin，
而﹣sin＜＜＜2，故x1＜成立；
（ⅱ）先分别证明x1＞及x2＞lna+lnlna，
一方面由0＜＜1，故x1＞等价于p（x1）＜p（），
等价于a＜p（），即a＜，
即1+sin＜，而1+sin＜1+＜，
故x1＞成立；
另一方面，由lna+lnlna＞lna＞1，
所以x2＞lna+lnlna等价于p（x2）＞p（lna+lnlna），
等价于a＞p（lna+lnlna），即a＞，
即alnlna＞﹣sin（lna+lnlna），而﹣sin（lna+lnlna）≤1，
下面证明alnlna＞1，
令φ（a）＝alnlna，则φ'（a）＝lnlna+＞0，
所以φ（a）在（4，+∞）上单调递增，
故只需φ（4）＝4lnln4≥1，由4lnln4≥1等价于2ln2≥，
令h（x）＝lnx﹣，x∈[1，+∞），
则h'（x）＝﹣＝≥0，
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（1）＝0，
即当x≥1时，有lnx≥．
故ln2≥且ln≥，
所以2ln2≥≥≥，
所以x2＞lna+lnlna．
综上可得：x1•e＞elna+lnlna＝＝lna．
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