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2021-2022学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）已知集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{2} D．∅
2．（3分）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与g（x）＝x﹣1
B．f（x）＝2|x|与
C．与
D．与
3．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A． B．y＝cosx C．y＝﹣x2 D．y＝ln|x|
4．（3分）甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则飞行目标被雷达发现的概率为（ ）
A．0.26 B．0.7 C．0.72 D．0.98
5．（3分）已知复数z满足＝1+2i，则z•（3﹣2i）＝（ ）
A．1+8i B．1﹣8i C．﹣1﹣8i D．﹣1+8i
6．（3分）“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（3分）已知向量，若，则＝（ ）
A． B． C．5 D．25
8．（3分）已知，则sinθ﹣cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）设，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
10．（3分）已知角α的终边经过点，则sin（π﹣2α）＝（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）“a＜11”是“∃x∈R，x2﹣2x+a＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（3分）函数g（x）＝的图象向右平移1个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．（3分）设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
14．（3分）如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述中错误的是（ ）
A．直线AD与BC是异面直线
B．过AD只能作一个平面与BC平行
C．直线AD不可能与BC垂直
D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行
15．（3分）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45，30，AB＝60（单位：m），且∠AOB＝30°，则大跳台最高高度OC＝（ ）
A．45m B． C．60m D．
二、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）
（多选）16．（3分）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中a＝0.005
B．此次比赛得分及格的共有55人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50，80）的概率为0.75
D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75
（多选）17．（3分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列说法中正确的是（ ）
A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，m∥α，则n∥α
C．若α∩β＝n，α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γ
D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
（多选）18．（3分）已知函数f（x）＝﹣2x（x＞1），g（x）＝﹣log2x（x＞1）零点分别为a，β，给出以下结论正确的是（ ）
A．α+β＝αβ B．α+2α＝β+log2β
C．α+β＞4 D．α﹣β＞﹣1
三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
19．（3分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且b＝1，A＝45°，B＝30°，则a＝ ，S△ABC＝ ．
20．（3分）已知函数f（x）＝，则方程f（x）＝1的解为 ．
21．（3分）数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，13，35，22的80%分位数为 ．
22．（3分）如图，在△ABC中，M为AB的中点，点O满足＝﹣2，•＝0，若＝8，则+＝ ．
四、解答题（共3小题，满分34分）
23．（10分）已知函数f（x）＝x﹣1．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调增区间．
24．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠PAB＝90°，CB⊥平面PAB，AD∥BC且PB＝BC＝2AD＝2AB＝2，F为PC中点．
（1）求证：DF∥平面PAB；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
25．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2x|x﹣a|+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）在[0，2]上的最小值为0，求a的值；
（Ⅲ）当a＞0时，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，且n﹣m≤|a﹣1|+|ab﹣1|恒成立，求实数b的取值范围．
2021-2022学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）已知集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{2} D．∅
【解答】解：集合A＝{x|x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：A．
2．（3分）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与g（x）＝x﹣1
B．f（x）＝2|x|与
C．与
D．与
【解答】解：对于A：的定义域是{x|x≠﹣1}，而g（x）＝x﹣1的定义域是R，定义域不相同，∴不是同一函数；
对于B：f（x）＝2|x|的定义域是R，＝2|x|的定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；
对于C：＝|x|的定义域是R，而的定义域是{x|x≥0}，定义域不相同，对应关系也不相同，∴不是同一函数；
对于D：的定义域是{x|﹣1≤x≤1}，而y＝的定义域是{x|1≤x或x≤﹣1}，定义域不相同，∴不是同一函数；
故选：B．
3．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A． B．y＝cosx C．y＝﹣x2 D．y＝ln|x|
【解答】解：对于A，y＝是奇函数，不符合题意；
对于B，y＝cosx是偶函数，在（0，+∞）上不单调，不符合题意；
对于C，y＝﹣x2是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于D，y＝ln|x|是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意．
故选：C．
4．（3分）甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则飞行目标被雷达发现的概率为（ ）
A．0.26 B．0.7 C．0.72 D．0.98
【解答】解：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”，
甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，
∴P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，
∴飞行目标被雷达发现的概率为：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.9+0.8﹣0.9×0.8＝0.98．
故选：D．
5．（3分）已知复数z满足＝1+2i，则z•（3﹣2i）＝（ ）
A．1+8i B．1﹣8i C．﹣1﹣8i D．﹣1+8i
【解答】解：．
故选：C．
6．（3分）“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：设球的半径为R，则圆柱的底面圆半径为R，高为2R，
则圆柱的体积，球的体积，
则．
故选：B．
7．（3分）已知向量，若，则＝（ ）
A． B． C．5 D．25
【解答】解：因为向量，若，
所以2×2+4x＝0，解得x＝﹣1，可得＝（2，﹣1），
所以＝（4，3），
则＝＝5．
故选：C．
8．（3分）已知，则sinθ﹣cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由于，
关系式两边平方得：，
所以；
由于sin2θ＝2sinθcosθ＜0，
所以cosθ＜0，sinθ＞0，
故sinθ﹣cosθ＞0；
所以sinθ﹣cosθ＝|sinθ﹣cosθ|＝＝．
故选：C．
9．（3分）设，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解答】解；∵a＝＜＝0，
b＝＞＝1，
∈（0，1）
∴b＞c＞a．
故选：B．
10．（3分）已知角α的终边经过点，则sin（π﹣2α）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由于角α的终边经过点，
所以，sin；
故sin（π﹣2α）＝sin2α＝2sinαcosα＝2×＝﹣；
故选：A．
11．（3分）“a＜11”是“∃x∈R，x2﹣2x+a＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵∃x∈R，x2﹣2x+a＜0，
∴Δ＝4﹣4a＞0，∴a＜1，
∵（﹣∞，1）⫋（﹣∞，11），
∴a＜11是∃x∈R，x2﹣2x+a＜0的必要不充分条件，
故选：B．
12．（3分）函数g（x）＝的图象向右平移1个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，f（x）＝g（x﹣1）＝，其定义域为{x|x≠0且x≠1}，
且f（﹣1）＝＝﹣lg2＜0，排除A、B，
f（）＝＝﹣lg2＜0，排除C，
故选：D．
13．（3分）设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【解答】解：∵，，A，B，C三点共线，
∴（a﹣1）+＝λ（2b﹣），
∴，∴a+2b＝1，
∴＝（）（a+2b）＝++4≥2+4＝8，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
∴的最小值为8，
故选：A．
14．（3分）如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述中错误的是（ ）
A．直线AD与BC是异面直线
B．过AD只能作一个平面与BC平行
C．直线AD不可能与BC垂直
D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行
【解答】解：根据异面直线的判定定理知，直线AD与BC是异面直线，∴A正确；
由上可知直线AD与BC是异面直线，则根据异面直线的性质知，过AD只能作一个平面与BC平行，∴B正确；
当AD恰好为平面α的垂线时，由BC⊂α，可得AD⊥BC，∴C错误；
根据线面垂直的判定定理知，过点D只能作唯一平面与BC垂直，
根据线面平行的判定定理知过点D可作无数个平面与BC平行，∴D正确．
故选：C．
15．（3分）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45，30，AB＝60（单位：m），且∠AOB＝30°，则大跳台最高高度OC＝（ ）
A．45m B． C．60m D．
【解答】解：在△BOC中，OB＝＝OC，
在△AOB中，OA＝＝OC，
在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，
即有3600＝3OC2+OC2﹣2OC2cos30°，
解得OC2＝3600，
则OC＝60，
故选：C．
二、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）
（多选）16．（3分）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中a＝0.005
B．此次比赛得分及格的共有55人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50，80）的概率为0.75
D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75
【解答】解：由图可知，10a+0.035×10+0.030×1+0.020×10+0.010×10＝1，解得a＝0.005，故A正确；
比赛及格的人数为：（0.030+0.020+0.010）×10×100＝60，故B错误；
成绩在[50，80）内的频率为（0.035+0.030+0.020）×10＝0.85，即概率为0.85，故C错误；
设第80百分位数为70+x分，则有（0.005+0.035+0.020×）×10＝0.8，解得x＝5，所以第80百分位数为75分，故D正确；
故选：AD．
（多选）17．（3分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列说法中正确的是（ ）
A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，m∥α，则n∥α
C．若α∩β＝n，α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γ
D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
【解答】解：由线面平行的性质定理可知，A正确；
若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，即B错误；
设a，β的法向量分别为，若α∩β＝n，则，又α⊥γ，β⊥γ，则，所以n⊥γ，即C正确；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则β∥γ，即D正确．
故选：ACD．
（多选）18．（3分）已知函数f（x）＝﹣2x（x＞1），g（x）＝﹣log2x（x＞1）零点分别为a，β，给出以下结论正确的是（ ）
A．α+β＝αβ B．α+2α＝β+log2β
C．α+β＞4 D．α﹣β＞﹣1
【解答】解：由函数得，所以的图象关于直线y＝x对称，
α，β是函数y＝2x和y＝log2x的图象与函数的图象的交点的横坐标，
因此已知，
又，即α+β＝αβ，α+2α＝β+log2β，
因而A、B均正确；
又，当且仅当即α＝2时等号成立，
但，
因而α≠2，上式等号不成立，
所以α+β＞4，C正确；
记，
因此，
而函数在区间（1，+∞）范围内单调递增，
所以，所以D错误．
故选：ABC．
三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
19．（3分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且b＝1，A＝45°，B＝30°，则a＝ ，S△ABC＝ ．
【解答】解：由正弦定理可得＝，
则a＝＝＝，
因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝sin45°cos30°+cos45°sin30°＝×+×＝，
所以S△ABC＝absinC＝×1××＝．
故答案为：，．
20．（3分）已知函数f（x）＝，则方程f（x）＝1的解为 ﹣或1 ．
【解答】解：当x＜0时，f（x）＝1即﹣2x＝1，解得x＝﹣＜0，符合条件；
当x≥0时，f（x）＝1即＝1，解得x＝1＞0，符合条件，
综上：f（x）＝1的解为x＝﹣或x＝1，
故答案为：﹣或1．
21．（3分）数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，13，35，22的80%分位数为 30 ．
【解答】解：从小到大排序后为：13，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35共12个数据，
12×80%＝9.6，则80%分位数是第10个数据为30．
故答案为：30．
22．（3分）如图，在△ABC中，M为AB的中点，点O满足＝﹣2，•＝0，若＝8，则+＝ 2 ．
【解答】解：∵为AB的中点，
∵为AB的中点，
∴，又，
∴
＝，
又，
∴，即，
∴．
故答案为：2．
四、解答题（共3小题，满分34分）
23．（10分）已知函数f（x）＝x﹣1．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调增区间．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以＝＝＝0，
（Ⅱ）因为，
所以＝，
所以f（x）的最小正周期，
令，
解得，
所以f（x）的单调增区间为．
故f（x）的最小正周期是π，单调增区间为．
24．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠PAB＝90°，CB⊥平面PAB，AD∥BC且PB＝BC＝2AD＝2AB＝2，F为PC中点．
（1）求证：DF∥平面PAB；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，取PB边的中点E，连接AE，FE，
则三角形中位线可知，EF∥BC且，
由题可知，AD∥BC且，所以AD∥EF且AD＝EF，
所以四边形AEFD为平行四边形，所以DF∥AE，
又因为DF⊏平面PAB，AE⊂平面PAB，
故DF∥平面PAB；
（2）解：过点A作AN⊥PB于点N，
因为CB⊥平面PAB，AN⊂平面PAB，
所以CB⊥AN，因为PB∩CB＝B，所以AN⊥平面PCB，
又AD∥BC，所以D到平面PCB的距离即为AN，
又 ，
所以直线PD与平面PBC所成角为θ，所以．
25．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2x|x﹣a|+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）在[0，2]上的最小值为0，求a的值；
（Ⅲ）当a＞0时，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，且n﹣m≤|a﹣1|+|ab﹣1|恒成立，求实数b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＝x2﹣2x|x+1|+1＝，
由二次函数的单调性可得f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递减，
所以f（x）的递减区间为（﹣∞，+∞）；
（Ⅱ）f（x）＝x2﹣2x|x﹣a|+1＝，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，）递减，[，a]递增，[a，+∞）递减；
①当2≤即a≥6时，f（x）min＝f（2）＝13﹣4a＝0，解得a＝（舍去）；
②由1﹣＝﹣（x﹣a）2+a2+1（x≥a）可得x＝a，当＜2＜a，即a＜a＜6时，
f（x）min＝f（）＝1﹣＝0，解得a＝（负的舍去），符合题意；
③当2≥a，即0＜a≤时，f（x）min＝f（2）＝4a﹣3＝0，解得a＝，符合题意．
综上可得，a＝或a＝；
（Ⅲ）当a＞0时，由3（x﹣）2+1﹣＝a2+1，可得m≥﹣，
由﹣（x﹣a）2+a2+1＝1﹣，可得n≤a，
要使n﹣m≤|a﹣1|+|ab﹣1|恒成立，因为n﹣m≤a+＝a，
又因为|a﹣1|+|ab﹣1|≥|1﹣a+ab﹣1|＝|（b﹣1）a|，
所以|（b﹣1）a|≥a，即|（b﹣1）|≥，
所以b≥或b≤．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/6 14:53:39；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983
2021-2022学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）已知集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{2} D．∅
2．（3分）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与g（x）＝x﹣1
B．f（x）＝2|x|与
C．与
D．与
3．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A． B．y＝cosx C．y＝﹣x2 D．y＝ln|x|
4．（3分）甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则飞行目标被雷达发现的概率为（ ）
A．0.26 B．0.7 C．0.72 D．0.98
5．（3分）已知复数z满足＝1+2i，则z•（3﹣2i）＝（ ）
A．1+8i B．1﹣8i C．﹣1﹣8i D．﹣1+8i
6．（3分）“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（3分）已知向量，若，则＝（ ）
A． B． C．5 D．25
8．（3分）已知，则sinθ﹣cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）设，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
10．（3分）已知角α的终边经过点，则sin（π﹣2α）＝（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）“a＜11”是“∃x∈R，x2﹣2x+a＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（3分）函数g（x）＝的图象向右平移1个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．（3分）设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
14．（3分）如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述中错误的是（ ）
A．直线AD与BC是异面直线
B．过AD只能作一个平面与BC平行
C．直线AD不可能与BC垂直
D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行
15．（3分）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45，30，AB＝60（单位：m），且∠AOB＝30°，则大跳台最高高度OC＝（ ）
A．45m B． C．60m D．
二、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）
（多选）16．（3分）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中a＝0.005
B．此次比赛得分及格的共有55人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50，80）的概率为0.75
D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75
（多选）17．（3分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列说法中正确的是（ ）
A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，m∥α，则n∥α
C．若α∩β＝n，α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γ
D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
（多选）18．（3分）已知函数f（x）＝﹣2x（x＞1），g（x）＝﹣log2x（x＞1）零点分别为a，β，给出以下结论正确的是（ ）
A．α+β＝αβ B．α+2α＝β+log2β
C．α+β＞4 D．α﹣β＞﹣1
三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
19．（3分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且b＝1，A＝45°，B＝30°，则a＝ ，S△ABC＝ ．
20．（3分）已知函数f（x）＝，则方程f（x）＝1的解为 ．
21．（3分）数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，13，35，22的80%分位数为 ．
22．（3分）如图，在△ABC中，M为AB的中点，点O满足＝﹣2，•＝0，若＝8，则+＝ ．
四、解答题（共3小题，满分34分）
23．（10分）已知函数f（x）＝x﹣1．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调增区间．
24．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠PAB＝90°，CB⊥平面PAB，AD∥BC且PB＝BC＝2AD＝2AB＝2，F为PC中点．
（1）求证：DF∥平面PAB；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
25．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2x|x﹣a|+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）在[0，2]上的最小值为0，求a的值；
（Ⅲ）当a＞0时，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，且n﹣m≤|a﹣1|+|ab﹣1|恒成立，求实数b的取值范围．
2021-2022学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）已知集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{2} D．∅
【解答】解：集合A＝{x|x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：A．
2．（3分）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与g（x）＝x﹣1
B．f（x）＝2|x|与
C．与
D．与
【解答】解：对于A：的定义域是{x|x≠﹣1}，而g（x）＝x﹣1的定义域是R，定义域不相同，∴不是同一函数；
对于B：f（x）＝2|x|的定义域是R，＝2|x|的定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；
对于C：＝|x|的定义域是R，而的定义域是{x|x≥0}，定义域不相同，对应关系也不相同，∴不是同一函数；
对于D：的定义域是{x|﹣1≤x≤1}，而y＝的定义域是{x|1≤x或x≤﹣1}，定义域不相同，∴不是同一函数；
故选：B．
3．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A． B．y＝cosx C．y＝﹣x2 D．y＝ln|x|
【解答】解：对于A，y＝是奇函数，不符合题意；
对于B，y＝cosx是偶函数，在（0，+∞）上不单调，不符合题意；
对于C，y＝﹣x2是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于D，y＝ln|x|是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意．
故选：C．
4．（3分）甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则飞行目标被雷达发现的概率为（ ）
A．0.26 B．0.7 C．0.72 D．0.98
【解答】解：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”，
甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，
∴P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，
∴飞行目标被雷达发现的概率为：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.9+0.8﹣0.9×0.8＝0.98．
故选：D．
5．（3分）已知复数z满足＝1+2i，则z•（3﹣2i）＝（ ）
A．1+8i B．1﹣8i C．﹣1﹣8i D．﹣1+8i
【解答】解：．
故选：C．
6．（3分）“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：设球的半径为R，则圆柱的底面圆半径为R，高为2R，
则圆柱的体积，球的体积，
则．
故选：B．
7．（3分）已知向量，若，则＝（ ）
A． B． C．5 D．25
【解答】解：因为向量，若，
所以2×2+4x＝0，解得x＝﹣1，可得＝（2，﹣1），
所以＝（4，3），
则＝＝5．
故选：C．
8．（3分）已知，则sinθ﹣cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由于，
关系式两边平方得：，
所以；
由于sin2θ＝2sinθcosθ＜0，
所以cosθ＜0，sinθ＞0，
故sinθ﹣cosθ＞0；
所以sinθ﹣cosθ＝|sinθ﹣cosθ|＝＝．
故选：C．
9．（3分）设，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解答】解；∵a＝＜＝0，
b＝＞＝1，
∈（0，1）
∴b＞c＞a．
故选：B．
10．（3分）已知角α的终边经过点，则sin（π﹣2α）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由于角α的终边经过点，
所以，sin；
故sin（π﹣2α）＝sin2α＝2sinαcosα＝2×＝﹣；
故选：A．
11．（3分）“a＜11”是“∃x∈R，x2﹣2x+a＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵∃x∈R，x2﹣2x+a＜0，
∴Δ＝4﹣4a＞0，∴a＜1，
∵（﹣∞，1）⫋（﹣∞，11），
∴a＜11是∃x∈R，x2﹣2x+a＜0的必要不充分条件，
故选：B．
12．（3分）函数g（x）＝的图象向右平移1个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，f（x）＝g（x﹣1）＝，其定义域为{x|x≠0且x≠1}，
且f（﹣1）＝＝﹣lg2＜0，排除A、B，
f（）＝＝﹣lg2＜0，排除C，
故选：D．
13．（3分）设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【解答】解：∵，，A，B，C三点共线，
∴（a﹣1）+＝λ（2b﹣），
∴，∴a+2b＝1，
∴＝（）（a+2b）＝++4≥2+4＝8，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
∴的最小值为8，
故选：A．
14．（3分）如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述中错误的是（ ）
A．直线AD与BC是异面直线
B．过AD只能作一个平面与BC平行
C．直线AD不可能与BC垂直
D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行
【解答】解：根据异面直线的判定定理知，直线AD与BC是异面直线，∴A正确；
由上可知直线AD与BC是异面直线，则根据异面直线的性质知，过AD只能作一个平面与BC平行，∴B正确；
当AD恰好为平面α的垂线时，由BC⊂α，可得AD⊥BC，∴C错误；
根据线面垂直的判定定理知，过点D只能作唯一平面与BC垂直，
根据线面平行的判定定理知过点D可作无数个平面与BC平行，∴D正确．
故选：C．
15．（3分）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45，30，AB＝60（单位：m），且∠AOB＝30°，则大跳台最高高度OC＝（ ）
A．45m B． C．60m D．
【解答】解：在△BOC中，OB＝＝OC，
在△AOB中，OA＝＝OC，
在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，
即有3600＝3OC2+OC2﹣2OC2cos30°，
解得OC2＝3600，
则OC＝60，
故选：C．
二、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）
（多选）16．（3分）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中a＝0.005
B．此次比赛得分及格的共有55人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50，80）的概率为0.75
D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75
【解答】解：由图可知，10a+0.035×10+0.030×1+0.020×10+0.010×10＝1，解得a＝0.005，故A正确；
比赛及格的人数为：（0.030+0.020+0.010）×10×100＝60，故B错误；
成绩在[50，80）内的频率为（0.035+0.030+0.020）×10＝0.85，即概率为0.85，故C错误；
设第80百分位数为70+x分，则有（0.005+0.035+0.020×）×10＝0.8，解得x＝5，所以第80百分位数为75分，故D正确；
故选：AD．
（多选）17．（3分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列说法中正确的是（ ）
A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，m∥α，则n∥α
C．若α∩β＝n，α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γ
D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
【解答】解：由线面平行的性质定理可知，A正确；
若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，即B错误；
设a，β的法向量分别为，若α∩β＝n，则，又α⊥γ，β⊥γ，则，所以n⊥γ，即C正确；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则β∥γ，即D正确．
故选：ACD．
（多选）18．（3分）已知函数f（x）＝﹣2x（x＞1），g（x）＝﹣log2x（x＞1）零点分别为a，β，给出以下结论正确的是（ ）
A．α+β＝αβ B．α+2α＝β+log2β
C．α+β＞4 D．α﹣β＞﹣1
【解答】解：由函数得，所以的图象关于直线y＝x对称，
α，β是函数y＝2x和y＝log2x的图象与函数的图象的交点的横坐标，
因此已知，
又，即α+β＝αβ，α+2α＝β+log2β，
因而A、B均正确；
又，当且仅当即α＝2时等号成立，
但，
因而α≠2，上式等号不成立，
所以α+β＞4，C正确；
记，
因此，
而函数在区间（1，+∞）范围内单调递增，
所以，所以D错误．
故选：ABC．
三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
19．（3分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且b＝1，A＝45°，B＝30°，则a＝ ，S△ABC＝ ．
【解答】解：由正弦定理可得＝，
则a＝＝＝，
因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝sin45°cos30°+cos45°sin30°＝×+×＝，
所以S△ABC＝absinC＝×1××＝．
故答案为：，．
20．（3分）已知函数f（x）＝，则方程f（x）＝1的解为 ﹣或1 ．
【解答】解：当x＜0时，f（x）＝1即﹣2x＝1，解得x＝﹣＜0，符合条件；
当x≥0时，f（x）＝1即＝1，解得x＝1＞0，符合条件，
综上：f（x）＝1的解为x＝﹣或x＝1，
故答案为：﹣或1．
21．（3分）数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，13，35，22的80%分位数为 30 ．
【解答】解：从小到大排序后为：13，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35共12个数据，
12×80%＝9.6，则80%分位数是第10个数据为30．
故答案为：30．
22．（3分）如图，在△ABC中，M为AB的中点，点O满足＝﹣2，•＝0，若＝8，则+＝ 2 ．
【解答】解：∵为AB的中点，
∵为AB的中点，
∴，又，
∴
＝，
又，
∴，即，
∴．
故答案为：2．
四、解答题（共3小题，满分34分）
23．（10分）已知函数f（x）＝x﹣1．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调增区间．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以＝＝＝0，
（Ⅱ）因为，
所以＝，
所以f（x）的最小正周期，
令，
解得，
所以f（x）的单调增区间为．
故f（x）的最小正周期是π，单调增区间为．
24．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠PAB＝90°，CB⊥平面PAB，AD∥BC且PB＝BC＝2AD＝2AB＝2，F为PC中点．
（1）求证：DF∥平面PAB；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，取PB边的中点E，连接AE，FE，
则三角形中位线可知，EF∥BC且，
由题可知，AD∥BC且，所以AD∥EF且AD＝EF，
所以四边形AEFD为平行四边形，所以DF∥AE，
又因为DF⊏平面PAB，AE⊂平面PAB，
故DF∥平面PAB；
（2）解：过点A作AN⊥PB于点N，
因为CB⊥平面PAB，AN⊂平面PAB，
所以CB⊥AN，因为PB∩CB＝B，所以AN⊥平面PCB，
又AD∥BC，所以D到平面PCB的距离即为AN，
又 ，
所以直线PD与平面PBC所成角为θ，所以．
25．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2x|x﹣a|+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）在[0，2]上的最小值为0，求a的值；
（Ⅲ）当a＞0时，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，且n﹣m≤|a﹣1|+|ab﹣1|恒成立，求实数b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＝x2﹣2x|x+1|+1＝，
由二次函数的单调性可得f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递减，
所以f（x）的递减区间为（﹣∞，+∞）；
（Ⅱ）f（x）＝x2﹣2x|x﹣a|+1＝，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，）递减，[，a]递增，[a，+∞）递减；
①当2≤即a≥6时，f（x）min＝f（2）＝13﹣4a＝0，解得a＝（舍去）；
②由1﹣＝﹣（x﹣a）2+a2+1（x≥a）可得x＝a，当＜2＜a，即a＜a＜6时，
f（x）min＝f（）＝1﹣＝0，解得a＝（负的舍去），符合题意；
③当2≥a，即0＜a≤时，f（x）min＝f（2）＝4a﹣3＝0，解得a＝，符合题意．
综上可得，a＝或a＝；
（Ⅲ）当a＞0时，由3（x﹣）2+1﹣＝a2+1，可得m≥﹣，
由﹣（x﹣a）2+a2+1＝1﹣，可得n≤a，
要使n﹣m≤|a﹣1|+|ab﹣1|恒成立，因为n﹣m≤a+＝a，
又因为|a﹣1|+|ab﹣1|≥|1﹣a+ab﹣1|＝|（b﹣1）a|，
所以|（b﹣1）a|≥a，即|（b﹣1）|≥，
所以b≥或b≤．
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