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2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（下）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，则A∩B＝（ ）
A．∞ B．{2} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4，8}
2．（5分）已知f（x）＝，则f（3）＝（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．（5分）设a＝1.50.3，b＝log21.5，c＝log1.50.9，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
4．（5分）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝|x|+ C．y＝tan|x| D．y＝|sinx|
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（cosA，cos（π﹣B）），＝（a，b），则“⊥”是“△ABC是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）函数f（x）＝的大致图像可以为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P﹣ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知平面向量，，满足|2﹣|＝|﹣2|＝1，则﹣4与﹣2所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知实数m＜n，p＜q，且pq≠0，则下列不等式不一定成立的（ ）
A．m+p＜n+q B．mq＜np C．m﹣p＜n﹣q D．mp＜nq
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的一条对称轴是x＝
C．函数f（x）在[﹣，]上单调递增
D．函数f（x）在[﹣2π，2π]内有12个零点
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝x+m﹣nx的零点x0∈（k，k+2），k∈Z，且m，n满足2022m＝2023，2023n＝2022，则k的可能值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
（多选）12．（5分）如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AB＝5，PA＝4，AC＝3，则（ ）
A．圆O所在平面与平面PBC所成角的正弦值为
B．直线PB与平面PAC所成角的正弦值为
C．四面体P﹣ABC的外接球的表面积为41π
D．四面体P﹣ABC的内切球半径为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）计算：eln2﹣log53log925等于 ．
14．（5分）若复数z满足（1﹣i）2i＝2+i，则复数|z|等于 ．
15．（5分）在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BCD＝，BC＝5，AD＝2，则四边形ABCD绕AB旋转一周所成几何体的表面积为 ．
16．（5分）已知实数x≥2y＞0，z＞0，则+的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+b，若f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}．
（1）求b，m的值；
（2）当a为何值时，（a+b）x2+2（a+b）x﹣1＜0的解集为R？
18．（12分）已知f（x）＝．
（1）求；
（2）若α∈（0，π）且，求tanα的值．
19．（12分）镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数＝）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值和中位数；
（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数；
（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
20．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，求△ABC面积的取值范围．
21．（12分）如图，在六面体PABCD中，△PAB是等边三角形，二面角P﹣AB﹣D的平面角为30°，PC＝AB＝BC＝4．
（1）证明：AB⊥PD；
（2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切的最大值．
22．（12分）已知f（x）＝x2﹣2|x﹣m|+m，m＞0．
（1）若f（x）在[0，2]上单调，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）≤|mx﹣1|对x∈[0，4m]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若存在实数a，b，k满足f（a）＝f（b）＝k，且a＜m＜b．当m变化时，求a+b的取值范围．
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，则A∩B＝（ ）
A．∞ B．{2} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4，8}
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，
∴A∩B＝{1，2，3}∩{2，4，8}＝{2}．
故选：B．
2．（5分）已知f（x）＝，则f（3）＝（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：因为3＞2，所以f（3）＝f（3﹣1）＝f（2）＝2×2+1＝5．
故选：B．
3．（5分）设a＝1.50.3，b＝log21.5，c＝log1.50.9，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【解答】解：a＝1.50.3＞1.50＝1，∴a＞1；
b＝log21.5，log21.5＞log21＝0，log21.5＜log22＝1，∴0＜b＜1；
c＝log1.50.9，log1.50.9＜log1.51＝0，∴c＜0．
∴c＜b＜a．
故选：A．
4．（5分）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝|x|+ C．y＝tan|x| D．y＝|sinx|
【解答】解：对应A，显然y≥0，值域不是R，故A错误；
对于B，易知，值域中不包含0，故B错误；
对于C，定义域为，关于原点对称，且tan|﹣x|＝tan|x|，该函数是偶函数，值域为R，故C正确；
对于D，值域为[﹣1，1]，值域不是R，故D错误．
故选：C．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（cosA，cos（π﹣B）），＝（a，b），则“⊥”是“△ABC是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：＝（cosA，cos（π﹣B））＝（cosA，﹣cosB），
∵⊥，＝（a，b），
∴acosA﹣bcosB＝0，即sinAcosA﹣sinBcosB＝0，
∴sin2A＝sin2B，即2A＝2B或2A+2B＝π，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，故充分性不成立，
△ABC是等腰三角形，可能为a＝c或b＝c，不能推出⊥，故必要性不成立，
综上所述，“⊥”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．（5分）函数f（x）＝的大致图像可以为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（x）＝，x≠0，定义域关于原点对称，
f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，图像关于原点对称，故B、D错误；
当x＞0时，ex﹣e﹣x＞0恒成立，
当0＜ex﹣e﹣x＜1时，f（x）＜0；
ex﹣e﹣x＝1时，f（x）＝0；
ex﹣e﹣x＞1时，f（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，
故A错误，C正确．
故选：C．
7．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P﹣ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设侧棱长为a，则由底面边长为3，高为1，由＝1，可求得a＝2，
如图，设＝λ，则＝＝＝＝λ，且＝＝1﹣λ，于是EH＝2λ，EF＝3（1﹣λ），
所以，SEFGH＝EH•EF＝2λ•3（1﹣λ）＝6λ（1﹣λ）≤6•＝，
当且仅当λ＝1﹣λ，即时取等号．
故四边形的面积最大值为，
故选：C．
8．（5分）已知平面向量，，满足|2﹣|＝|﹣2|＝1，则﹣4与﹣2所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设与的夹角为α，与所成夹角为β，
∵＝（）+2（﹣2），
∴||2＝||2+4||2+4||•||cosα＝5+4cosα，①
（）•（）＝[（）+2（）]•（）＝（）（）+2||2＝2+cosα＞0，②
∵（）•（）＝[（）+2（）]•（）＝||•||cosβ＝||cosβ＞0，∴cosβ＞0，③
∴②③联立得||cosβ＝2+cosα，∴||2•cos2β＝（2+cosα）2，④
①④联立得cos2β＝＝1+＝1+＝+
≥＝，
当且仅当cosα＝﹣时，取等号，
cos2β≥，∴cosβ≥，∵β∈[0，π]，∴，
∴与所成角的最大值为．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知实数m＜n，p＜q，且pq≠0，则下列不等式不一定成立的（ ）
A．m+p＜n+q B．mq＜np C．m﹣p＜n﹣q D．mp＜nq
【解答】解：对于A，∵m＜n，p＜q，
∴由加法的可加性可得，m+p＜n+q，故A正确，
对于B，令m＝1，n＝2，p＝1，q＝2，满足m＜n，p＜q，且pq≠0，但qm＝np，故B错误，
对于C，令m＝1，n＝2，p＝1，q＝2，满足m＜n，p＜q，且pq≠0，但m﹣p＝n﹣q，故C错误，
对于D，令m＝﹣2，n＝﹣1，p＝1，q＝2，满足m＜n，p＜q，且pq≠0，但mp＝nq，故D错误．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的一条对称轴是x＝
C．函数f（x）在[﹣，]上单调递增
D．函数f（x）在[﹣2π，2π]内有12个零点
【解答】解：由图可知，A＞0，∴A＝2，
＝，∴T＝，
T＝＝，∵ω＞0，∴ω＝3，
∴f（﹣）＝2sin[3×（﹣）+φ]＝0，
∵，
∴．
∴f（x）＝2sin（3x+）．
对于A，f（x）最小正周期为，A错误；
对于B，f（x）的对称轴为3x+＝+kπ（k∈Z），x＝+（k∈Z），当k＝0时，x＝为f（x）对称轴，B正确；
对于C，﹣+2kπ≤3x+（k∈Z），解得：﹣≤x≤（k∈Z），f（x）的单调增区间为：[﹣，]（k∈Z），当k＝0时，函数f（x）在[﹣，]上单调递增，C正确；
对于D，3x+＝kπ（k∈Z），x＝﹣（k∈Z），﹣2π≤﹣+≤2π（k∈Z），解得：{k∈Z|}，满足条件的k的值有12个，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝x+m﹣nx的零点x0∈（k，k+2），k∈Z，且m，n满足2022m＝2023，2023n＝2022，则k的可能值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【解答】解：∵2022m＝2023，2023n＝2022，
∴m∈（1，2），n∈（0，1），
又∵函数f（x）＝x+m﹣nx，∴f（x）在上R单调递增．
又f（0）＝m﹣1＞0，f（﹣1）＝m﹣1﹣n﹣1＜0，∴x0∈（﹣1，0），
故当k＝﹣2或k＝﹣1，满足题意．
故选：BC．
（多选）12．（5分）如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AB＝5，PA＝4，AC＝3，则（ ）
A．圆O所在平面与平面PBC所成角的正弦值为
B．直线PB与平面PAC所成角的正弦值为
C．四面体P﹣ABC的外接球的表面积为41π
D．四面体P﹣ABC的内切球半径为
【解答】解：对A，∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，又PA⊥圆O所在平面，BC⊂底面圆O，
∴BC⊥PA，又AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PAC即为圆O所在平面与平面PBC所成角，
又PA＝4，AC＝3，PA⊥AC，∴PC＝5，
∴sin∠PAC＝，∴A正确；
对B，又A的分析知直线PB与平面PAC所成角为∠BPC，
又PC＝5，AB＝5，AC＝3，BC⊥AC，∴BC＝4，
又BC⊥PC，∴PB＝，
∴sin∠BPC＝，∴B错误；
对C，由A选项的分析可知，BC⊥PC，PA⊥AB，
∴四面体P﹣ABC的外接球的球心即为PB中点，
PB即为四面体P﹣ABC的外接球的直径2R，
∴2R＝PB＝，
∴面体P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝41π，∴C正确；
对D，设四面体P﹣ABC的内切球的球心为Q，半径为r，
根据等体积算法得VP﹣ABC＝VQ﹣ABC+VQ﹣PAC+VQ﹣PAB+VQ﹣PBC，
∴＝+++，
解得r＝，∴D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）计算：eln2﹣log53log925等于 1 ．
【解答】解：eln2﹣log53log925＝2﹣＝．
故答案为：1．
14．（5分）若复数z满足（1﹣i）2i＝2+i，则复数|z|等于 ．
【解答】解：∵（1﹣i）2i＝2+i，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（5分）在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BCD＝，BC＝5，AD＝2，则四边形ABCD绕AB旋转一周所成几何体的表面积为 ．
【解答】解：将四边形ABCD绕AB旋转一周所成几何体为一圆台挖去一圆锥，
由图可知：圆台的上下底面圆的半径分别为2、5，母线长为3，圆锥的底面圆半径为2，母线长为2，
则此几何体的表面积为π×52＝，
故答案为：．
16．（5分）已知实数x≥2y＞0，z＞0，则+的最小值为 1+ ．
【解答】解：+
＝1++
≥1+2
＝1+2
＝1+2
∵x≥2y＞0，∴，
∴1+2≥1+，
当且仅当x＝2y＝3z时等号成立，
即+的最小值为1+．
故答案为：1+．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+b，若f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}．
（1）求b，m的值；
（2）当a为何值时，（a+b）x2+2（a+b）x﹣1＜0的解集为R？
【解答】解：（1）f（x）＝x2﹣4x+b＜的解集为{x|1＜x＜m}，
∴，解得：m＝b＝3．
（2）将b＝3代入不等式，（a+3）x2+2（a+3）x﹣1＜0，
①当a+3＝0时，﹣1＜0的解集为R，a＝﹣3，满足题意；
②当a+3＜0时，）x，
解得：﹣4＜a＜﹣3；
综上所述，a的取值范围为（﹣4，﹣3]．
18．（12分）已知f（x）＝．
（1）求；
（2）若α∈（0，π）且，求tanα的值．
【解答】解：（1）已知f（x）＝，
则f（x）＝＝，
则＝；
（2）由f（＝，
则sin，
又α∈（0，π），
则，
即cos，
则tan，
则＝．
19．（12分）镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数＝）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值和中位数；
（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数；
（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
【解答】解：（1）（x+0.015+0.02+0.03+0.025）×10＝1，
解得：x＝0.01，
由图可知中位数位于[80，90），设中位数为m，
则0.1+0.15+0.2+（x﹣80）×0.03＝0.5，
解得：m＝；
（2）低于80分所占的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45，
低于80分的共600×0.45＝270人，
[60，70）分的共90人，应选取[60，70）分的共90×＝10人；
（3）平均认可程度＝55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25＝79.5，
认可系数＝＝0.795＜0.85，
所以需要整改．
20．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，求△ABC面积的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知：＝＝＝＝，
即sinAcosC＝2sinBcosA﹣sinCcosA，移项得sinAcosC+cosAsinC＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，
因为sinB＞0，故cosA＝，结合，故A＝．
（2）因为A＝，a＝4，，
因为锐角三角形，故，故，
又＝，
故＝＝
＝＝，
由于，故sin（2B）∈（]，
故，故＝（，4]，
故△ABC面积的取值范围是（，4]．
21．（12分）如图，在六面体PABCD中，△PAB是等边三角形，二面角P﹣AB﹣D的平面角为30°，PC＝AB＝BC＝4．
（1）证明：AB⊥PD；
（2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切的最大值．
【解答】解：（1）证明：取AB中点M，连接PM，DM，
∵PA＝PB，DA＝DB，∴PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，
∴AB⊥平面PMD，
∵PD⊂平面PMD，∴AB⊥PD．
（2）连接CM，则CM⊥AB，由AC＝BC＝2，AB＝4，可得CM＝2，
∴CM2+PM2＝16＝PC2，∴PM⊥CM，
∵PM⊥AB，AB∩CM＝M，∴PM⊥平面ABC，
以M为坐标原点，MB，MC，MP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则M（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），
由∠CMD＝120°，得D（﹣1，0，），
平面PAB的法向量为＝（1，0，0），
设＝，λ∈[0，1]，则＝（﹣2﹣λ，2﹣2λ，），
设CE与平面PAB所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜＞|＝，
令2+λ＝t，t∈[2，3]，则sinθ＝＝，
令f（t）＝﹣，t∈[2，3]，
由对称轴知，当，即时，f（t）min＝，
（sinθ）max＝＝，∴（tanθ）max＝2．
∴直线CE与平面PAB所成角的正切的最大值为2．
22．（12分）已知f（x）＝x2﹣2|x﹣m|+m，m＞0．
（1）若f（x）在[0，2]上单调，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）≤|mx﹣1|对x∈[0，4m]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若存在实数a，b，k满足f（a）＝f（b）＝k，且a＜m＜b．当m变化时，求a+b的取值范围．
【解答】解：（1），
对于二次函数y＝x2﹣2x+3m来说，
x∈（1，+∞）单调递增，x∈（﹣∞，1）单调递减，
对于二次函数y＝x2+2x﹣m来说，
x∈（﹣1，+∞）单调递增，
故f（x）在[0，2]上单调，那么只能单调递增，
∵f（m）＝m2+m，
如图1所示：只需满足分界线m≥1即可，
故实数m的取值范围为[1，+∞），
（2）若f（x）≤|mx﹣1|对x∈[0，4m]恒成立，
不妨令x＝m，
，
令g（x）＝|mx﹣1|，
下面讨论g（x）的零点与f（x）的零点的位置关系，
故在f（x）的较大零点的右侧，如图2所示，
∵只需满足：，
（3）由（1）知，
①当函数f（x）在m，+∞）上单调时，m∈[1，+∞），
如图3所示故当k＞m2+m时，存在实数a，b满足f（a）＝f（b）＝k，
∴b﹣a＞2m+2，故a﹣b+2＜﹣2m，
，
∴a+b∈（﹣2，0），
②当函数f（x）在m，+∞）上不单调时，m∈（0，1），如图4所示，
当x∈（﹣∞，﹣1），（m，1），函数f（x）单调递减，
当x∈（﹣1，m），（1，+∞），函数f（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝﹣m﹣1＜f（1）＝3m﹣1，故当k≥3m﹣1时，
存在实数a，b满足f（a）＝f（b）＝k，
对于y＝x2﹣2x+3m来说，对称轴为x＝1，其图象是由y＝x2﹣2x的图象向上平移3m个单位，
y＝x2﹣2x+3m与y＝k有两个交点，交点横坐标分别为x1，x2（设x1＜x2），则x1+x2＝2，
那么a＜x1，b＝x2，a+b＜2，
对于y＝x2+2x﹣m来说，对称轴为x＝﹣1，其图象是由y＝x2+2x的图象向下平移m个单位得到，
y＝x2+2x﹣m与y＝k有两个交点，交点横坐标分别为x3，x4（设x3＜x4），x3+x4＝﹣2，
那么a＝x3，b＞x4，a+b＞﹣2，
又∵m≠0⇒f（x）不可能是偶函数，故a+b∈（﹣2，0）∪（0，2），
综上所述：由①和②可得：a+b∈（﹣2，0）∪（0，2）．
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2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，则A∩B＝（ ）
A．∞ B．{2} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4，8}
2．（5分）已知f（x）＝，则f（3）＝（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．（5分）设a＝1.50.3，b＝log21.5，c＝log1.50.9，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
4．（5分）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝|x|+ C．y＝tan|x| D．y＝|sinx|
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（cosA，cos（π﹣B）），＝（a，b），则“⊥”是“△ABC是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）函数f（x）＝的大致图像可以为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P﹣ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知平面向量，，满足|2﹣|＝|﹣2|＝1，则﹣4与﹣2所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知实数m＜n，p＜q，且pq≠0，则下列不等式不一定成立的（ ）
A．m+p＜n+q B．mq＜np C．m﹣p＜n﹣q D．mp＜nq
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的一条对称轴是x＝
C．函数f（x）在[﹣，]上单调递增
D．函数f（x）在[﹣2π，2π]内有12个零点
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝x+m﹣nx的零点x0∈（k，k+2），k∈Z，且m，n满足2022m＝2023，2023n＝2022，则k的可能值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
（多选）12．（5分）如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AB＝5，PA＝4，AC＝3，则（ ）
A．圆O所在平面与平面PBC所成角的正弦值为
B．直线PB与平面PAC所成角的正弦值为
C．四面体P﹣ABC的外接球的表面积为41π
D．四面体P﹣ABC的内切球半径为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）计算：eln2﹣log53log925等于 ．
14．（5分）若复数z满足（1﹣i）2i＝2+i，则复数|z|等于 ．
15．（5分）在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BCD＝，BC＝5，AD＝2，则四边形ABCD绕AB旋转一周所成几何体的表面积为 ．
16．（5分）已知实数x≥2y＞0，z＞0，则+的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+b，若f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}．
（1）求b，m的值；
（2）当a为何值时，（a+b）x2+2（a+b）x﹣1＜0的解集为R？
18．（12分）已知f（x）＝．
（1）求；
（2）若α∈（0，π）且，求tanα的值．
19．（12分）镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数＝）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值和中位数；
（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数；
（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
20．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，求△ABC面积的取值范围．
21．（12分）如图，在六面体PABCD中，△PAB是等边三角形，二面角P﹣AB﹣D的平面角为30°，PC＝AB＝BC＝4．
（1）证明：AB⊥PD；
（2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切的最大值．
22．（12分）已知f（x）＝x2﹣2|x﹣m|+m，m＞0．
（1）若f（x）在[0，2]上单调，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）≤|mx﹣1|对x∈[0，4m]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若存在实数a，b，k满足f（a）＝f（b）＝k，且a＜m＜b．当m变化时，求a+b的取值范围．
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，则A∩B＝（ ）
A．∞ B．{2} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4，8}
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，
∴A∩B＝{1，2，3}∩{2，4，8}＝{2}．
故选：B．
2．（5分）已知f（x）＝，则f（3）＝（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：因为3＞2，所以f（3）＝f（3﹣1）＝f（2）＝2×2+1＝5．
故选：B．
3．（5分）设a＝1.50.3，b＝log21.5，c＝log1.50.9，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【解答】解：a＝1.50.3＞1.50＝1，∴a＞1；
b＝log21.5，log21.5＞log21＝0，log21.5＜log22＝1，∴0＜b＜1；
c＝log1.50.9，log1.50.9＜log1.51＝0，∴c＜0．
∴c＜b＜a．
故选：A．
4．（5分）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝|x|+ C．y＝tan|x| D．y＝|sinx|
【解答】解：对应A，显然y≥0，值域不是R，故A错误；
对于B，易知，值域中不包含0，故B错误；
对于C，定义域为，关于原点对称，且tan|﹣x|＝tan|x|，该函数是偶函数，值域为R，故C正确；
对于D，值域为[﹣1，1]，值域不是R，故D错误．
故选：C．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（cosA，cos（π﹣B）），＝（a，b），则“⊥”是“△ABC是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：＝（cosA，cos（π﹣B））＝（cosA，﹣cosB），
∵⊥，＝（a，b），
∴acosA﹣bcosB＝0，即sinAcosA﹣sinBcosB＝0，
∴sin2A＝sin2B，即2A＝2B或2A+2B＝π，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，故充分性不成立，
△ABC是等腰三角形，可能为a＝c或b＝c，不能推出⊥，故必要性不成立，
综上所述，“⊥”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．（5分）函数f（x）＝的大致图像可以为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（x）＝，x≠0，定义域关于原点对称，
f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，图像关于原点对称，故B、D错误；
当x＞0时，ex﹣e﹣x＞0恒成立，
当0＜ex﹣e﹣x＜1时，f（x）＜0；
ex﹣e﹣x＝1时，f（x）＝0；
ex﹣e﹣x＞1时，f（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，
故A错误，C正确．
故选：C．
7．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P﹣ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设侧棱长为a，则由底面边长为3，高为1，由＝1，可求得a＝2，
如图，设＝λ，则＝＝＝＝λ，且＝＝1﹣λ，于是EH＝2λ，EF＝3（1﹣λ），
所以，SEFGH＝EH•EF＝2λ•3（1﹣λ）＝6λ（1﹣λ）≤6•＝，
当且仅当λ＝1﹣λ，即时取等号．
故四边形的面积最大值为，
故选：C．
8．（5分）已知平面向量，，满足|2﹣|＝|﹣2|＝1，则﹣4与﹣2所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设与的夹角为α，与所成夹角为β，
∵＝（）+2（﹣2），
∴||2＝||2+4||2+4||•||cosα＝5+4cosα，①
（）•（）＝[（）+2（）]•（）＝（）（）+2||2＝2+cosα＞0，②
∵（）•（）＝[（）+2（）]•（）＝||•||cosβ＝||cosβ＞0，∴cosβ＞0，③
∴②③联立得||cosβ＝2+cosα，∴||2•cos2β＝（2+cosα）2，④
①④联立得cos2β＝＝1+＝1+＝+
≥＝，
当且仅当cosα＝﹣时，取等号，
cos2β≥，∴cosβ≥，∵β∈[0，π]，∴，
∴与所成角的最大值为．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知实数m＜n，p＜q，且pq≠0，则下列不等式不一定成立的（ ）
A．m+p＜n+q B．mq＜np C．m﹣p＜n﹣q D．mp＜nq
【解答】解：对于A，∵m＜n，p＜q，
∴由加法的可加性可得，m+p＜n+q，故A正确，
对于B，令m＝1，n＝2，p＝1，q＝2，满足m＜n，p＜q，且pq≠0，但qm＝np，故B错误，
对于C，令m＝1，n＝2，p＝1，q＝2，满足m＜n，p＜q，且pq≠0，但m﹣p＝n﹣q，故C错误，
对于D，令m＝﹣2，n＝﹣1，p＝1，q＝2，满足m＜n，p＜q，且pq≠0，但mp＝nq，故D错误．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的一条对称轴是x＝
C．函数f（x）在[﹣，]上单调递增
D．函数f（x）在[﹣2π，2π]内有12个零点
【解答】解：由图可知，A＞0，∴A＝2，
＝，∴T＝，
T＝＝，∵ω＞0，∴ω＝3，
∴f（﹣）＝2sin[3×（﹣）+φ]＝0，
∵，
∴．
∴f（x）＝2sin（3x+）．
对于A，f（x）最小正周期为，A错误；
对于B，f（x）的对称轴为3x+＝+kπ（k∈Z），x＝+（k∈Z），当k＝0时，x＝为f（x）对称轴，B正确；
对于C，﹣+2kπ≤3x+（k∈Z），解得：﹣≤x≤（k∈Z），f（x）的单调增区间为：[﹣，]（k∈Z），当k＝0时，函数f（x）在[﹣，]上单调递增，C正确；
对于D，3x+＝kπ（k∈Z），x＝﹣（k∈Z），﹣2π≤﹣+≤2π（k∈Z），解得：{k∈Z|}，满足条件的k的值有12个，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝x+m﹣nx的零点x0∈（k，k+2），k∈Z，且m，n满足2022m＝2023，2023n＝2022，则k的可能值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【解答】解：∵2022m＝2023，2023n＝2022，
∴m∈（1，2），n∈（0，1），
又∵函数f（x）＝x+m﹣nx，∴f（x）在上R单调递增．
又f（0）＝m﹣1＞0，f（﹣1）＝m﹣1﹣n﹣1＜0，∴x0∈（﹣1，0），
故当k＝﹣2或k＝﹣1，满足题意．
故选：BC．
（多选）12．（5分）如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AB＝5，PA＝4，AC＝3，则（ ）
A．圆O所在平面与平面PBC所成角的正弦值为
B．直线PB与平面PAC所成角的正弦值为
C．四面体P﹣ABC的外接球的表面积为41π
D．四面体P﹣ABC的内切球半径为
【解答】解：对A，∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，又PA⊥圆O所在平面，BC⊂底面圆O，
∴BC⊥PA，又AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PAC即为圆O所在平面与平面PBC所成角，
又PA＝4，AC＝3，PA⊥AC，∴PC＝5，
∴sin∠PAC＝，∴A正确；
对B，又A的分析知直线PB与平面PAC所成角为∠BPC，
又PC＝5，AB＝5，AC＝3，BC⊥AC，∴BC＝4，
又BC⊥PC，∴PB＝，
∴sin∠BPC＝，∴B错误；
对C，由A选项的分析可知，BC⊥PC，PA⊥AB，
∴四面体P﹣ABC的外接球的球心即为PB中点，
PB即为四面体P﹣ABC的外接球的直径2R，
∴2R＝PB＝，
∴面体P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝41π，∴C正确；
对D，设四面体P﹣ABC的内切球的球心为Q，半径为r，
根据等体积算法得VP﹣ABC＝VQ﹣ABC+VQ﹣PAC+VQ﹣PAB+VQ﹣PBC，
∴＝+++，
解得r＝，∴D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）计算：eln2﹣log53log925等于 1 ．
【解答】解：eln2﹣log53log925＝2﹣＝．
故答案为：1．
14．（5分）若复数z满足（1﹣i）2i＝2+i，则复数|z|等于 ．
【解答】解：∵（1﹣i）2i＝2+i，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（5分）在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BCD＝，BC＝5，AD＝2，则四边形ABCD绕AB旋转一周所成几何体的表面积为 ．
【解答】解：将四边形ABCD绕AB旋转一周所成几何体为一圆台挖去一圆锥，
由图可知：圆台的上下底面圆的半径分别为2、5，母线长为3，圆锥的底面圆半径为2，母线长为2，
则此几何体的表面积为π×52＝，
故答案为：．
16．（5分）已知实数x≥2y＞0，z＞0，则+的最小值为 1+ ．
【解答】解：+
＝1++
≥1+2
＝1+2
＝1+2
∵x≥2y＞0，∴，
∴1+2≥1+，
当且仅当x＝2y＝3z时等号成立，
即+的最小值为1+．
故答案为：1+．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+b，若f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜m}．
（1）求b，m的值；
（2）当a为何值时，（a+b）x2+2（a+b）x﹣1＜0的解集为R？
【解答】解：（1）f（x）＝x2﹣4x+b＜的解集为{x|1＜x＜m}，
∴，解得：m＝b＝3．
（2）将b＝3代入不等式，（a+3）x2+2（a+3）x﹣1＜0，
①当a+3＝0时，﹣1＜0的解集为R，a＝﹣3，满足题意；
②当a+3＜0时，）x，
解得：﹣4＜a＜﹣3；
综上所述，a的取值范围为（﹣4，﹣3]．
18．（12分）已知f（x）＝．
（1）求；
（2）若α∈（0，π）且，求tanα的值．
【解答】解：（1）已知f（x）＝，
则f（x）＝＝，
则＝；
（2）由f（＝，
则sin，
又α∈（0，π），
则，
即cos，
则tan，
则＝．
19．（12分）镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数＝）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值和中位数；
（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70）的学生人数；
（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
【解答】解：（1）（x+0.015+0.02+0.03+0.025）×10＝1，
解得：x＝0.01，
由图可知中位数位于[80，90），设中位数为m，
则0.1+0.15+0.2+（x﹣80）×0.03＝0.5，
解得：m＝；
（2）低于80分所占的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45，
低于80分的共600×0.45＝270人，
[60，70）分的共90人，应选取[60，70）分的共90×＝10人；
（3）平均认可程度＝55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25＝79.5，
认可系数＝＝0.795＜0.85，
所以需要整改．
20．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，求△ABC面积的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知：＝＝＝＝，
即sinAcosC＝2sinBcosA﹣sinCcosA，移项得sinAcosC+cosAsinC＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，
因为sinB＞0，故cosA＝，结合，故A＝．
（2）因为A＝，a＝4，，
因为锐角三角形，故，故，
又＝，
故＝＝
＝＝，
由于，故sin（2B）∈（]，
故，故＝（，4]，
故△ABC面积的取值范围是（，4]．
21．（12分）如图，在六面体PABCD中，△PAB是等边三角形，二面角P﹣AB﹣D的平面角为30°，PC＝AB＝BC＝4．
（1）证明：AB⊥PD；
（2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切的最大值．
【解答】解：（1）证明：取AB中点M，连接PM，DM，
∵PA＝PB，DA＝DB，∴PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，
∴AB⊥平面PMD，
∵PD⊂平面PMD，∴AB⊥PD．
（2）连接CM，则CM⊥AB，由AC＝BC＝2，AB＝4，可得CM＝2，
∴CM2+PM2＝16＝PC2，∴PM⊥CM，
∵PM⊥AB，AB∩CM＝M，∴PM⊥平面ABC，
以M为坐标原点，MB，MC，MP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则M（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），
由∠CMD＝120°，得D（﹣1，0，），
平面PAB的法向量为＝（1，0，0），
设＝，λ∈[0，1]，则＝（﹣2﹣λ，2﹣2λ，），
设CE与平面PAB所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜＞|＝，
令2+λ＝t，t∈[2，3]，则sinθ＝＝，
令f（t）＝﹣，t∈[2，3]，
由对称轴知，当，即时，f（t）min＝，
（sinθ）max＝＝，∴（tanθ）max＝2．
∴直线CE与平面PAB所成角的正切的最大值为2．
22．（12分）已知f（x）＝x2﹣2|x﹣m|+m，m＞0．
（1）若f（x）在[0，2]上单调，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）≤|mx﹣1|对x∈[0，4m]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若存在实数a，b，k满足f（a）＝f（b）＝k，且a＜m＜b．当m变化时，求a+b的取值范围．
【解答】解：（1），
对于二次函数y＝x2﹣2x+3m来说，
x∈（1，+∞）单调递增，x∈（﹣∞，1）单调递减，
对于二次函数y＝x2+2x﹣m来说，
x∈（﹣1，+∞）单调递增，
故f（x）在[0，2]上单调，那么只能单调递增，
∵f（m）＝m2+m，
如图1所示：只需满足分界线m≥1即可，
故实数m的取值范围为[1，+∞），
（2）若f（x）≤|mx﹣1|对x∈[0，4m]恒成立，
不妨令x＝m，
，
令g（x）＝|mx﹣1|，
下面讨论g（x）的零点与f（x）的零点的位置关系，
故在f（x）的较大零点的右侧，如图2所示，
∵只需满足：，
（3）由（1）知，
①当函数f（x）在m，+∞）上单调时，m∈[1，+∞），
如图3所示故当k＞m2+m时，存在实数a，b满足f（a）＝f（b）＝k，
∴b﹣a＞2m+2，故a﹣b+2＜﹣2m，
，
∴a+b∈（﹣2，0），
②当函数f（x）在m，+∞）上不单调时，m∈（0，1），如图4所示，
当x∈（﹣∞，﹣1），（m，1），函数f（x）单调递减，
当x∈（﹣1，m），（1，+∞），函数f（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝﹣m﹣1＜f（1）＝3m﹣1，故当k≥3m﹣1时，
存在实数a，b满足f（a）＝f（b）＝k，
对于y＝x2﹣2x+3m来说，对称轴为x＝1，其图象是由y＝x2﹣2x的图象向上平移3m个单位，
y＝x2﹣2x+3m与y＝k有两个交点，交点横坐标分别为x1，x2（设x1＜x2），则x1+x2＝2，
那么a＜x1，b＝x2，a+b＜2，
对于y＝x2+2x﹣m来说，对称轴为x＝﹣1，其图象是由y＝x2+2x的图象向下平移m个单位得到，
y＝x2+2x﹣m与y＝k有两个交点，交点横坐标分别为x3，x4（设x3＜x4），x3+x4＝﹣2，
那么a＝x3，b＞x4，a+b＞﹣2，
又∵m≠0⇒f（x）不可能是偶函数，故a+b∈（﹣2，0）∪（0，2），
综上所述：由①和②可得：a+b∈（﹣2，0）∪（0，2）．
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