2020-2021学年浙江省衢州市五校联盟高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省衢州市五校联盟高二（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩∁RB＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
2．（4分）已知实数x、y满足，则3x+2y的最小值为（ ）
A．﹣2B．10C．12D．20
3．（4分）平面上动点M到点F（2，0）的距离等于M到直线l：x＝﹣2的距离，则动点M满足的方程是（ ）
A．y2＝4xB．y2＝8xC．x2＝4yD．x2＝8y
4．（4分）函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m⊥n”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（4分）若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
7．（4分）在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为α，直线AB与平面BCD所成的角为β，二面角C﹣AB﹣D的平面角为γ，若a＝csα，b＝csβ，c＝csγ．则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．a＜c＜b
8．（4分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，2π的近似值的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，AD⊥BC，BC＝1，AD＝1．且AB+BD＝AC+CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x﹣m）≥f（x）恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．
C．D．（﹣∞，﹣2]
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ，C的左焦点到其渐近线的距离是 ．
12．（6分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 ，表面积是 ．
13．（6分）已知直线l：mx+y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣m）2＝2，若m＝2，直线l与圆相交于A，B两点，则|AB|＝ ，若直线l与圆相切，则实数m＝ ．
14．（6分）已知x∈R，则函数f（x）＝sinx﹣2|csx|的最小正周期T＝ ，f（x）的值域是 ．
15．（4分）在△ABC中，，AC＝4，BC＝3，则sinB＝ ．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，AD＝1，若M，N是线段BC上的动点，且，则的取值范围为 ．
17．（4分）已知a∈R，函数在区间[﹣3，﹣1]上的最大值10，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB﹣bcsC＝ccsB．
（1）判断△ABC的形状．
（2）若，求f（A）的取值范围．
19．（15分）如图，在平面四边形A'ABC中，∠CAB＝∠CA'A＝90°，M在直线AC上，A'A＝A'C，AB＝AM＝MC，△A'AC绕AC旋转．
（1）若△A'AC所在平面与△ABC所在平面垂直，求证：A'C⊥平面A'AB．
（2）若二面角A'﹣AC﹣B大小为60°，求直线A'B与平面ABM所成角的正弦值．
20．（15分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若d＜0，，求数列{bn}的前n项和Sn．
21．（15分）如图，已知曲线C1：y2＝4x，曲线C2：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点是F1，F2，且F2也是C1的焦点，点P是C1与C2的在第一象限内的公共点且|PF2|＝，过F2的直线l分别与曲线C1、C2交于点A，B和M，N．
（1）求点P的坐标以及C2的方程；
（2）若△F1AB与△F1MN面积分别是S1、S2，求的取值范围．
22．（15分）已知函数f（x）＝x3+klnx（k∈R），f'（x）为f（x）的导函数．
（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k＝6时，求函数的单调区间和极值；
（3）当k≥﹣3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有．
2020-2021学年浙江省衢州市五校联盟高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩∁RB＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，
∴∁RB＝{x|x≤0或x≥3}．
则A∩∁RB＝{﹣1，0}．
故选：A．
2．（4分）已知实数x、y满足，则3x+2y的最小值为（ ）
A．﹣2B．10C．12D．20
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
令z＝3x+2y，化为y＝﹣，由图可知，
当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×2+2×2＝10．
故选：B．
3．（4分）平面上动点M到点F（2，0）的距离等于M到直线l：x＝﹣2的距离，则动点M满足的方程是（ ）
A．y2＝4xB．y2＝8xC．x2＝4yD．x2＝8y
【解答】解：由条件可知，点M到点F（2，0）的距离与到直线x＝﹣2的距离相等，
所以点M的轨迹是以F（2，0）为焦点，x＝﹣2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x．
故选：B．
4．（4分）函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x＞0时，f（x）＜0，排除BD，
故选：C．
5．（4分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m⊥n”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为m⊥α，n⊂β，若α⊥β，则m与n可能平行或异面或相交，故充分性不成立，
因为m⊥α，n⊂β，若m⊥n，则α与β可能平行或相交，故必要性不成立，
所以“α⊥β”是“m⊥n”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．（4分）若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：由椭圆的离心率可得：e＝，
设c＝2m，（m＞0），则a＝3m，b＝m，
所以，
当且仅当3m＝，即m＝时取等号，
此时的最小值为2，
故选：C．
7．（4分）在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为α，直线AB与平面BCD所成的角为β，二面角C﹣AB﹣D的平面角为γ，若a＝csα，b＝csβ，c＝csγ．则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．a＜c＜b
【解答】解：过A作A在底面的射影O，
∵A﹣BCD是正四面体，∴O是底面的中心，
取BC的中点E，连结OB，OE，AE，
则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β＝∠ABO
二面角C﹣AB﹣D的平面角和侧面ABC与底面BCD所成的角相等，
又侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，∴γ＝∠AEO，
在正四面体A﹣BCD中，AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为α＝90°，
∵sinβ＝sin∠ABO＝，sinγ＝sin∠AEO＝，
∵AB＞AE，
∴＜，即sinβ＜sinγ，则β＜γ＜90°，即β＜γ＜α，
∵a＝csα，b＝csβ，c＝csγ，∴a，b，c的大小关系为a＜c＜b．
故选：D．
8．（4分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，2π的近似值的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：内接正6n边形的边长为，故其周长为，
外切正6n边形的边长为，故其周长为，
两个周长的算术平均数为，
故2π≈．
故选：A．
9．（4分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，AD⊥BC，BC＝1，AD＝1．且AB+BD＝AC+CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，
如图所示：
∵BC＝1，AD＝1，则三棱锥D﹣ABC的体积为：
V＝S△BCE×（AE+DE）＝S△BCE×AD＝וBC•EF•AD＝EF，
故EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值．
由AB+BD＝AC+CD＝2＞1，
可得B，C都在以A，D为焦点的椭圆上．
∵平面BCE与线AD垂直，
∴三角形ADB与三角形ADC全等，即三角形BCE为等腰三角形，
又BC＝1为定值，∴BE取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值．
在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为2，
B在以AD为焦点的椭圆上（长轴、焦距分别为2a、2c），
此时a＝1，c＝，
故BE的最大值为b＝，
此时EF＝，
故三棱锥D﹣ABC的体积的最大值是．
故选：B．
10．（4分）已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x﹣m）≥f（x）恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]B．
C．D．（﹣∞，﹣2]
【解答】解：因为f（x）为奇函数，
所以当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[1﹣2|﹣x﹣|]＝，
当x∈[1，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，﹣1]，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（1﹣e﹣1+x）＝ex﹣1﹣1，
作出函数f（x）的图象如图所示，
当m＞0时，f（x）的图象向右平移m的单位得到f（x﹣m）的图象，如图，f（x﹣m）≥f（x）不可能成立；
当m＜0时，f（x）的图象向左平移|m|个单位得到f（x﹣m）的图象，如图，
当f（x﹣m0）的最右端图象与f（x）的图象在x≤相切时，，此时f（x）图象上对应直线的斜率为2，
又，可得x＝ln2+1+m0，此时，
又切点在直线y＝2x上，所以切点为，即x＝ln2+1+m0＝，所以m0＝，
所以当m≤m0＝时，不等式f（x﹣m）≥f（x）恒成立，
综上所述，m的取值范围为．
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 （，0） ，C的左焦点到其渐近线的距离是 ．
【解答】解：双曲线，则C的右焦点的坐标为（，0），
C的左焦点的坐标为（﹣，0），渐近线方程为：x﹣y＝0，
C的左焦点到其渐近线的距离是：＝．
故答案为：（，0）；．
12．（6分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 ，表面积是 ．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥体组成．
如图所示：
故＝．
，
故答案为：．
13．（6分）已知直线l：mx+y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣m）2＝2，若m＝2，直线l与圆相交于A，B两点，则|AB|＝ ，若直线l与圆相切，则实数m＝ ．
【解答】解：当m＝2时，直线l：2x+y﹣2＝0，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，
圆心坐标为（1，2），半径为，
圆心到直线2x+y﹣2＝0的距离d＝，
则|AB|＝；
直线l与圆相切，则（1，m）到直线mx+y﹣2＝0的距离d＝，
整理得：m2﹣4m+1＝0，解得m＝2．
故答案为：；2．
14．（6分）已知x∈R，则函数f（x）＝sinx﹣2|csx|的最小正周期T＝ 2π ，f（x）的值域是 [﹣，1] ．
【解答】解：∵函数y＝sinx的最小正周期是2π，y＝|csx|的最小正周期是π，
则函数f（x）的最小正周期是2π，
在一个周期[﹣，]内，
当﹣≤x≤时，csx≥0，
此时f（x）＝sinx﹣2csx＝，
其中φ为锐角，且，
因为x﹣φ，
所以，
，
故；
当≤x≤时，csx≤0，
此时f（x）＝sinx+2csx＝，
其中φ为锐角，且，
因为x+φ，
所以，
，
故；
综上所述，f（x）的值域为．
故答案为：2π；．
15．（4分）在△ABC中，，AC＝4，BC＝3，则sinB＝ ．
【解答】解：在△ABC中，，AC＝4，BC＝3，
由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•csC＝42+32﹣2×4×3×＝9；
故AB＝3；
csB＝＝＝，
可得sinB＝＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，AD＝1，若M，N是线段BC上的动点，且，则的取值范围为 ．
【解答】解：以B为坐标原点，BC所在直线为x'轴建立平面直角坐标系如图所示，
因为AD∥BC，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，AD＝1，且M，N是线段BC上的动点，，
则，
设MN的中点为Q（a，0），则，
所以，
则
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
因为，
所以当a＝2时，的最小值为，
当时，的最大值为15，
故的取值范围为．
故答案为：．
17．（4分）已知a∈R，函数在区间[﹣3，﹣1]上的最大值10，则a的取值范围是 [﹣8，+∞） ．
【解答】解：∵函数在区间[﹣3，﹣1]上的最大值10，
∴当x∈[﹣3，﹣1]时，≤10+a，则10+a≥0，即a≥﹣10；
∴﹣a﹣10≤≤10+a，即﹣2a﹣10≤≤10，
∵x∈[﹣3，﹣1]，∴x2∈[1，3]，当x2＝1时，有最大值10，当x2＝3时，有最小值6．
∴﹣2a﹣10≤6，即a≥﹣8，
综上所述，a的取值范围是[﹣8，+∞）．
故答案为：[﹣8，+∞）．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB﹣bcsC＝ccsB．
（1）判断△ABC的形状．
（2）若，求f（A）的取值范围．
【解答】解：（1）∵asinB﹣bcsC＝ccsB，
∴sinAsinB﹣sinBcsC＝sinCcsB，sinAsinB＝sinBcsC+sinCcsB＝sin（B+C），
∴sinAsinB＝sin（π﹣A）＝sinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝1，
∴．△ABC为直角三角形．
（2）∵，
∴，
∵，，，
可得，
综上所述，1＜f（A）≤2．
19．（15分）如图，在平面四边形A'ABC中，∠CAB＝∠CA'A＝90°，M在直线AC上，A'A＝A'C，AB＝AM＝MC，△A'AC绕AC旋转．
（1）若△A'AC所在平面与△ABC所在平面垂直，求证：A'C⊥平面A'AB．
（2）若二面角A'﹣AC﹣B大小为60°，求直线A'B与平面ABM所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠CA'A＝90°，∴AB⊥AC，
∵平面A'AC⊥平面ABC，平面A'AC∩平面ABC＝AC，AB⊂平面ABC，
∴AB⊥平面A'AC，A'C⊂平面A'AC，
∴AB⊥A'C，A'C⊥AA'，AB⊂平面A'AB，AA'⊂平面A'AB，A'A∩A'B＝A'，
∴A'C⊥平面A'AB．
（2）解：取BC的中点N，连结A'M，A'N，MN，
设AB＝1，则，∵点M为中点，∴A'M⊥AC，
∵MN∥AB，∴MN⊥AC，
∴∠A'MN为二面角A'﹣AC﹣B的平面角，∴∠A'MN＝60°，
∵，∴A'M＝1，∵，
∴A'M2＝A'N2+MN2，∴A'N⊥MN，A'N⊥AC，MN∩AC＝M，
∴A'N⊥平面ABC，∴∠A'BN为直线A'B与平面ABM所成角，
．
20．（15分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若d＜0，，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）∵a1，2a2+2，5a3成等比数列，
∴，整理得d2﹣3d﹣4＝0，
解得d＝﹣1或d＝4，（4分）
当d＝﹣1时，an＝10﹣（n﹣1）＝﹣n+11；
当d＝4时，an＝10+4（n﹣1）＝4n+6．
所以an＝﹣n+11或．（7分）
（2）设数列{an}前n项和为Sn，
∵d＜0，∴d＝﹣1，an＝﹣n+1（18分）
，
当n＝1时，，（9分）
当n≥2时，，
令，则，
两式相减可得，（12分）
整理可得，
则，（14分）
且满足上式，
综上所述：，n∈N*（15分）
21．（15分）如图，已知曲线C1：y2＝4x，曲线C2：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点是F1，F2，且F2也是C1的焦点，点P是C1与C2的在第一象限内的公共点且|PF2|＝，过F2的直线l分别与曲线C1、C2交于点A，B和M，N．
（1）求点P的坐标以及C2的方程；
（2）若△F1AB与△F1MN面积分别是S1、S2，求的取值范围．
【解答】解：（1）F2（1，0），设P（x0，y0），据题意有，
则，（2分）
点P在椭圆上及F2就是C1的焦点，则，解之得：，
所以C2的方程是． （6分）
（2）易知，当l不垂直于x轴时，设l的方程是y＝k（x﹣1）（k≠0），
联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，；（8分）
联立得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，，
设M（x3，y3），N（x4，y4），则，，，（10分）
（或）
则，（13分）
当l垂直于x轴时，易知|AB|＝4，，
此时，所以．
综上所述的取值范围是．（15分）
22．（15分）已知函数f（x）＝x3+klnx（k∈R），f'（x）为f（x）的导函数．
（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k＝6时，求函数的单调区间和极值；
（3）当k≥﹣3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有．
【解答】解：（1）当k＝2时，f（x）＝x3+2lnx，，可得f（1）＝1，f'（1）＝5，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝5（x﹣1），
即y＝5x﹣4．
（2）依题意，，
从而可得，整理可得：，
令g'（x）＝0，解得x＝1，
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：
所以，函数g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
g（x）的极小值为g（1）＝0，无极大值．
（3）证明：由f（x）＝x3+klnx，得．
对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，令，
则（x1﹣x2）（f'（x1）+f'（x2））﹣2（f（x1）﹣f（x2））
＝
＝
＝①，
令，x∈[1，+∞），
当x＞1时，，
由此可得h（x）在[1，+∞）单调递增，
所以当t＞1时，h（t）＞h（1），即，
因为x2≥1，t3﹣3t2+3t﹣1＝（t﹣1）3＞0，k≥﹣3，
所以（t3﹣3t2+3t﹣1）+k（t﹣﹣2lnt）≥t3﹣3t2+3t﹣1﹣3（t﹣﹣2lnt）＝②，
由（1）、（2）可知，当t＞1时，g（t）＞g（1），即，
故③，
由①②③可得（x1﹣x2）（f'（x1）+f'（x2））﹣2（f（x1）﹣f（x2））＞0，
故当k≥﹣3时，任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有．
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日期：2022/1/5 13:12:10；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.cm；学号：28144983x
（0，1）
x＝1
（1，+∞）
g'（x）
﹣
0
+
g（x）
单调递减
极小值
单调递增