2021年中考一轮复习数学《圆综合性压轴题》专题突破训练（含答案）

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2021年中考数学复习《圆综合性压轴题》专题突破训练
1．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为圆O的切线；
（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，
①求证：PC2＝PF•PA
②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．


2．如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求D点的坐标．
（2）求直线AC的函数关系式．
（3）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒，求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？

3．已知：△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，连接OB．
（1）如图1，求证：∠ABD＝∠OBC；
（2）如图2，过点A作AG⊥BC，垂足为G，AG交BD于点F，求证：DE＝EF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、EG，且3∠DBC﹣∠ABD＝90°，若CD＝18，EG＝15，求BE的长．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，

5．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．


6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；
（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．

7．已知，AB、AC为圆O的弦，连接CO并延长，交AB于点D，且∠ADC＝2∠C；

（1）如图1，求证：AD＝CO；
（2）如图2，取弧BC上一点E，连接EB、EC、ED，且∠EDA＝∠ECA，延长EB至点F，连接FD，若∠EDF﹣∠F＝60°，求∠BDF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若CD＝10，EF＝6，求AC的长度．


8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．
（1）求线段AE的长；
（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；
（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．

9．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．
（1）求线段BE的长；
（2）如图2，若BP平分∠ABC，求∠BDE的正切值；
（3）是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．



10．如图，A，B，C三点在⊙O上，＝，AD⊥AB，DE∥AB交BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝ED．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，BF＝10，求tan∠AFD的值．

11．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG中，点E在AB的延长线上，点G在BC上，点O在线段AB上，且AO≥BO．以OF为半径的⊙O与直线AB交于点M，N．
（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在⊙O上，求正方形BEFG的边长．
（2）如图2，若点C在⊙O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
（3）如图3，若点D在⊙O上，求证：DO⊥FO．

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D，AE⊥BO交BO的延长线于点E．
（1）求证：∠AOE＝∠BAE；
（2）若BC＝12，tan∠BAC＝，求⊙O的半径和AE的长．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交边BC于点D，交边AC于点E．过D点作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：CF＝EF；
（3）延长FD交边AB的延长线于点G，若EF＝3，BG＝9时，求⊙O的半径及CD的长．

14．如图，在△ABC中，AC＝AB，点E在BC上，以BE为直径的⊙O经过点A，点D是直径BE下方半圆的中点，AD交BC于点F，且∠B＝2∠D．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：AC为⊙O的切线；
（3）连接DE，若OD＝3，求的值．


15．如图⊙O的半径OA⊥弦BC于点D，E为优弧上一点，弦EA与BC交于点G，F为EA延长线上一点，连结BF，∠FBC＝2∠BEA．
（1）求证：BF为⊙O的切线．
（2）若OA＝25，DG＝6，GC＝18．
①请探究∠EBF与∠EGB的数量关系；
②求BF的长．


16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若，求EM的值．

17．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．
（1）求⊙M的半径r；
（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；
（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．

参考答案
1．证明：（1）∵CE⊥AD于点E，
∴∠DEC＝90°，
∵BC＝CD，
∴C是BD的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OC是△BDA的中位线，
∴OC∥AD，
∴∠OCE＝∠CED＝90°，
∴OC⊥CE，
又∵点C在圆上，
∴CE是圆O的切线；
（2）①连接AC，

∵OC⊥CE，
∴∠ECO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠ECA＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠ACE，
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠OBC﹣∠ABF＝∠ACE﹣∠ACF，
∴∠EBC＝∠ECF，且∠EBC＝∠CAP，
∴∠ECF＝∠CAP，且∠CPF＝∠CPA，
∴△PCF∽△PAC，
∴
∴PC2＝PF•PA
②∵AB是直径，点F在圆上，
∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA，
∵∠EPF＝∠EPA，
∴△PEF∽△PAE，
∴
∴PE2＝PF•PA
∴PE＝PC
在直角△PEF中，sin∠PEF＝．
2．解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∠BAD＝60°，∠AOD＝90°，
∴OD＝OA•tan60°＝2×＝2，
∴点D的坐标为（0，2）；
（2）设直线AC的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（﹣2，0），C（4，2），
∴，
，
故直线AC的解析式为：y＝+；
（3）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB＝∠BAD＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°，
AD＝DC＝CB＝BA＝4，
如图所示：
①点P在AD上与AC相切时，
连接P1E，则P1E⊥AC，P1E＝r，
∵∠1＝30°，
∴AP1＝2r＝2，
∴t1＝2．
②点P在DC上与AC相切时，
CP2＝2r＝2，
∴AD+DP2＝6，
∴t2＝6．
③点P在BC上与AC相切时，
CP3＝2r＝2，
∴AD+DC+CP3＝10，
∴t3＝10．
④点P在AB上与AC相切时，
AP4＝2r＝2，
∴AD+DC+CB+BP4＝14，
∴t4＝14，
∴当t＝2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．

3．解：（1）证明：延长BO交⊙O于M．连接MC．

∵BM是直径，
∴∠BCM＝90°，
∵，
∴∠BAC＝∠BMC，
∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝90°．
∴∠ABD+∠BAC＝90°，
∠CBO+∠BMC＝90°，
∴∠ABD＝∠OBC；
（2）连接AD，

∵，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵AD⊥AC于，AG⊥BC，
∴∠AFE＝∠ACB＝90°﹣∠GAC，
∴∠AFE＝∠ADE，
∴AF＝AD，
∴EF＝ED；
（3）延长AG交⊙O于N，连接BN，DN，过点D作DH⊥BC于H．

由（2）同理可得FG＝GN，BF＝BN，∠FBG＝∠NBG，
由（2）知EF＝DE，
∴EG为△FND的中位线，
∴DN＝2EG＝30，
设∠ABD＝∠OBC＝∠ACD＝3α，
∴∠DBC＝30°+α，∠ACB＝60°﹣α，
∴∠DCB＝60°+2α，
∴∠DCB＝2∠DBC，
∵∠DBN＝∠DNB＝∠DCB＝60°+2α，
∴DB＝DN＝30．
在2倍角△DBC中，
∵DH⊥BC，
∴BH＝CD+CH，
设CH＝x，则BH＝x+18，
∵DB2﹣BH2＝DC2﹣CH2，
∴302﹣（x+18）2＝182﹣x2，
解得x＝7，
∴BH＝25，BC＝32．
∵cos∠DBC＝，
∴，
∴BE＝．
4．解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；

（2）如图2，
连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB•AF；
（3）如图3，
连接OD，由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE+OE＝8+R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，
连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，
∴sin∠AEF＝sinB＝，
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，
∴AF＝
由（2）知，AD2＝AB•AF＝18×＝，
∴AD＝＝．

5．解：（1）如图，连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，
∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠F＝∠EDF，
∴DE＝EF＝6，
∵CE＝4，∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD＝＝2，
∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，
∴△CDE∽△CBD，
∴＝，
∴BD＝＝3，
∴⊙O的直径＝3．

6．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB+∠BDC＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，∠BAE＝∠ADB，
∴∠BAE+∠BAC＝90°，即∠CAE＝90°，
∴AE⊥AC，
AE是⊙O的切线；
（2）解：DM＝BN，理由如下：
∵AN⊥BD，CM⊥BD，∠ADC＝90°，
∴∠AND＝∠ANB＝∠DMC＝∠ADC＝90°，
∴∠ADN+∠MDC＝∠MCD+∠MDC＝90°，
∴∠ADN＝∠MCD，
∴△DMC∽△AND，
∴＝，
∵∠ABN＝∠ACD，∠ANB＝∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△ANB，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴DM＝BN；
（3）解：由（2）知DM＝BN，则BM＝DN，
设DM＝BN＝a，
∵MN＝2DM，BD＝BC，
∴MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，
∵∠BMC＝90°，
∴CM＝＝＝a，
∵AC是⊙O的直径，AN⊥BD，
∴∠ABC＝∠AND＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴△ADN∽△ACB，
∴＝＝＝，
设AN＝3b，AB＝4b（b＞0），
∵∠ANB＝∠ABC＝90°，BN＝a，
∴AN2+BN2＝AB2，即（3b）2+a2＝（4b）2，
解得：b＝a，
∴AN＝a，AB＝a，
∵BC＝4a，
∴AC＝＝＝a，
∴cos∠ACB＝cos∠ADB＝cos∠EAB＝＝＝，
∵AE＝，
∴AB＝AE×cos∠EAB＝×＝＝a，
∴a＝，
∴AC＝，
∴OC＝AC＝，
∵∠ANF＝∠CMF＝90°，∠AFM＝∠MFC，
∴△ANF∽△CMF，
∴＝＝＝，
∴CF＝AC＝，
∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．

7．解：（1）如图1，连接AO，则∠DCA＝∠OAC，
∵∠DOA＝∠DCA+∠OAC＝2∠C，而∠ADC＝2∠C，
∴∠ADC＝∠DOA，
∴AD＝AO＝CO；

（2）设∠F＝x，则∠EDF＝60°+x，
∴∠FED＝180°﹣x﹣（60°+x）＝120°﹣2x，
∵∠EDA＝∠ECA，
∴∠EBD＝∠EDB＝（180°﹣120+2x）＝30°+x，
∴∠BDF＝∠EDF﹣∠EDB＝60°+x﹣30°﹣x＝30°；
（3）延长ED交圆于点G，连接OG、OA、AG、BG，作AM⊥OD于点M，作ON⊥BG于点N，

∵∠BEG＝∠BAG＝120°﹣2x，∠ADG＝∠EDB＝∠EBD＝∠AGD＝30°+x，
∴AG＝AD＝OG＝OA，
∴△OGA为等边三角形，
则∠ABG＝AOG＝30°＝∠BDF，
∵EB＝ED，∠FED＝∠GEB，
∴△FED≌△GEB（AAS），
∴EG＝EF＝6，
∴NG＝NE＝3，
∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG＝60°﹣（120°﹣2x）＝2x﹣60°，AD＝AO，
∴∠ADO＝∠AOD＝120°﹣x，
∴∠NDO＝180°﹣∠ADO﹣∠ADG＝180°﹣（120°﹣x）﹣（30°﹣x）＝30°，
∴ON＝OD＝DM＝OM＝a，
∴OC＝OG＝10﹣2a，
在Rt△NOG中，由勾股定理得：（10﹣2a）2+a2+（3）2，
解得：a＝1或（舍去，此时OC＝10﹣2a＜0），
∴CM＝10﹣1＝9，AM＝3，
则AC＝＝12．
8．解：（1）∵点A（0，4），
∴AO＝4，
∵AD是⊙Q的直径，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AOB＝90°，
∵BA垂直平分CD，
∴BC＝BD
∴∠ABO＝∠ABE
在△ABE和△ABO中，，
∴△ABE≌△ABO（AAS）
∴AE＝AO＝4；
（2）设BO＝x，则AB＝x+2，
在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴OB＝BE＝3，AB＝5，
∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠EAB＝∠ACB，
∵∠BFA＝∠AFC，
∴△BFA∽△AFC
∴＝＝，
设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），
∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，
∴32+x2＝[（4+x）]2，
解得：x＝，即EF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝；
（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，
∴∠ADE＝∠FDE，
∴BD垂直平分AF，
∴EF＝AE＝4；
②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，
∴AB∥DF，
∴∠ADF＝∠CAB＝90°，
∴DF相切⊙Q，
∴∠DAE＝∠FDE，
设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：
则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，
∴OG＝FH，
∵△ABE≌△ABO，
∴∠OAB＝∠EAB，
∵AB⊥AD，
∴∠DAE＝∠CAO，
∵∠CAO＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，
∴AG＝AE＝4，
∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，
综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．

9．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，
∴AC＝＝＝3，
∵BP为⊙O的直径，
∴∠BEP＝90°，
∴BE⊥AC，
∵S△ABC＝×AB×AC，
∴BE＝；
（2）∵BP平分∠ABC，
∴∠DBP＝∠ABC＝45°，
连接DP，如图1，

∵BP为⊙O的直径，
∴∠DBP＝∠DPB＝45°，
∴可设DP＝BD＝x，
∵∠CDP＝∠ABC＝90°
∴PD∥AB，
∴△CPD∽△CAB，
∴＝2，
∴CD＝2x，
∴CB＝3x＝6，
∴x＝2，
∴DP＝BD＝2，CD＝4，
∴CP＝＝＝2，
∴CE＝＝＝，
∴tan∠BDE＝tan∠BPE＝＝＝3．
（3）解：存在这样的点P．
由△DCP∽△BCA，得，，
∴CP＝CD，
若△BDE是等腰三角形，可分三种情况：
①当BD＝BE时，BD＝BE＝，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣，
∴CP＝＝3﹣3．
②当BD＝DE时，此时点D是Rt△CBE斜边的中点，
∴CD＝BC＝3，
∴CP＝；
③当DE＝BE时，作EH⊥BC于点H，则H是BD的中点，

∵∠ABC＝∠EHC＝90°，
∴EH∥AB，
∴，
又∵AE＝AC﹣CE＝3﹣＝，
∴BH＝DH＝＝，
∴CD＝6﹣＝，
∴CP＝．
综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为3﹣3或或．
10．（1）证明：连接BD，
∵AD⊥AB，
∴BD是⊙O的直径，
∵＝，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE．
∴∠CBD＝∠BDE．
∵ED＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD．
∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD＝180°，
∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝90°．
∴OD⊥DF．
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°．
∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
∴CD＝AD＝4，AB＝BC．
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴DE＝EF＝EB＝BF＝5，
∴EC＝＝＝3，EF＝DE＝5．
∴BC＝BE+EC＝8，
∴BD＝＝＝4，
连接AC交BD于H，设BD与AF交于N，
∵＝，
∴AC⊥BD，
∴AH＝CH＝＝＝，
∴DH＝＝，
∵∠DCF＝∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝∠DFC+∠CDF＝90°，
∴∠DBC＝∠CDF，
∴△BDF∽△DCF，
∴＝，
∴DF＝＝2，
∵DF⊥BD，AC⊥BD，
∴AC∥DF，
∴∠CAF＝∠AFD，
∴△AHN∽△FDN，
∴＝，
∴＝，
∴DN＝，
∴tan∠AFD＝＝＝．

11．解：（1）如图1，连接OC，

∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
∴AB＝BC＝1，BE＝EF，∠OEF＝∠ABC＝90°，
∵点O为AB中点，
∴OB＝AB＝，
设BE＝EF＝x，则OE＝x+，
在Rt△OEF中，∵OE2+EF2＝OF2，
∴，
在Rt△OBC中，∵OB2+BC2＝OC2，
∴＝OC2，
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC＝OF，
∴，
解得：x＝，
∴正方形BEFG的边长为；
（2）证明：如图2，连接OC，

设OB＝y，BE＝EF＝x，
同（1）可得，OE2+EF2＝OF2，OB2+BC2＝OC2，
∴OF2＝x2+（x+y）2，OC2＝y2+12
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC＝OF，
∴x2+（x+y）2＝y2+12，
∴2x2+2xy＝1，
∴x2+xy＝，
即x（x+y）＝，
∴EF×OE＝，
∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为．
（3）证明：连接OD，设OA＝a，BE＝EF＝b，则OB＝1﹣a，则OE＝1﹣a+b，

∵∠DAO＝∠OEF＝90°，
∴DA2+OA2＝OD2，OE2+EF2＝OF2，
∴12+a2＝OD2，（1﹣a+b）2+b2＝OF2，
∵OD＝OF，
∴12+a2＝（1﹣a+b）2+b2，
∴（b+1）（a﹣b）＝0，
∵b+1≠0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴OA＝EF，
在Rt△AOD和Rt△EFO中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），
∴∠FOE＝∠ODA，
∵∠DAO＝90°，
∴∠ODA+∠AOD＝90°，
∴∠FOE+∠AOD＝90°，
∴∠DOF＝90°，
∴DO⊥FO．
12．（1）证明：连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥OC，
∵OC＝OD，
∴BO为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠OBC，
∵AE⊥BO，
∴∠E＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BOC+∠OBC＝90°，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴∠OBC＝∠OAE，
∴∠ABE＝∠OAE，
∵∠BAE+∠ABE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠AOE＝∠BAE；
（2）解：∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠DOA+∠BAC＝90°，
∴∠DOA＝∠ABC，
∵tan∠BAC＝，BC＝12，
∴AC＝＝16，
∴AB＝＝＝20，
∴sin∠BAC＝＝＝，
∴sin∠BAC＝，
∴OD＝6，
∵BC＝12，OC＝OD＝6，
∴BO＝＝＝6，
∵BC＝12，OC＝OD＝6，AC＝16，
∴AO＝10，
∵∠AOE＝∠BOC，∠E＝∠C＝90°，
∴△AOE∽△BOC，
∴，即＝，
∴AE＝4．

13．（1）证明：如图1，连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接DE，

∵四边形AEDB为圆内接四边形，
∴∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠CED＝∠C，
∴CD＝DE，
∵DF⊥CE，
∴CF＝EF；
（3）解：如图3，连接AD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∵OD∥AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴，
∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，
∴AF＝2r﹣3，OG＝9+r，AG＝9+2r，
∴，
∴r＝，
即⊙O的半径是．
∴AC＝AB＝9，
∵∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠ACB，
∴△CED∽△CBA，
∴，
∴，
∴CD＝3．
14．解：（1）如图1，连接OA，
∵点D是直径BE下方半圆的中点，
∴，
∴∠BOD＝∠EOD＝90°，
∴∠BAD＝∠BOD＝45°，
∴∠BAO+∠DAO＝45°，
∵OA＝OB＝OD，
∴∠DAO＝∠D，∠BAO＝∠B，
∴∠B+∠D＝45°，
∵∠B＝2∠D，
∴∠B＝30°；
（2）由（1）知，∠B＝30°，
∵AC＝AB，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，
∴∠CAO＝180°﹣∠C﹣∠AOC＝90°，
∵OA为⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
（3）如图2，连接OA，AE，则∠BAE＝90°，
在Rt△ACO中，∠CAO＝90°，∠C＝30°，AO＝OE＝DO＝3，
∴，OC＝2AO＝6，
∴CE＝OC﹣OE＝3，
∴CE＝OE＝3，
由（2）知，∠CAO＝90°，
∴AE＝OC＝3，
∵∠CAO＝∠COD＝90°，∠OAD＝∠ODA＝∠B＝15°，
∴∠CAF＝∠OFD＝75°，
∵∠CFA＝∠OFD，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝3，
∴，
连接DE，
∴∠DEF＝∠BAD＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，
∴∠DEF＝∠DAE，
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△EDF∽△ADE，
∴．


15．解：（1）证明：如图1，连接BO，

∵OA⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OBD+∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝2∠BEA，∠FBC＝2∠BEA，
∴∠BOD＝∠FBC，
∴∠OBD+∠FBC＝90°，
即∠OBF＝90°，
∴BF⊥OB，
∴BF为⊙O的切线；
（2）①∠EBF＝∠EGB，
理由如下：
如图2，连接BO，AB，OE，过点B作BH⊥AG于点H，

∵OA⊥BC，
∴BD＝CD＝DG+CG＝6+18＝24，
在Rt△OBD中，OB＝OA＝25，BD＝24，
∴OD＝＝7，
∴AD＝OA﹣OD＝25﹣7＝18．
在Rt△BDA中，由勾股定理可得，AB＝＝30，
∵BG＝BD+DG＝30，
∴AB＝BG，
∴∠BAG＝∠BGA，
∵BH⊥AG，
∴∠BGA+∠GBH＝90°，
∴∠BAG+∠GBH＝90°，
∵∠BOE+2∠EBO＝180°，∠BOE＝2∠BAG，
∴2（∠BAG+∠EBO）＝180°，
∴∠BAG+∠EBO＝90°，
∴∠EBO＝∠GBH，
∴∠EBO+∠OBF＝∠GBH+∠BHG，
即∠EBF＝∠EGB．
②如图2，在Rt△DAG中，由勾股定理得，AG＝＝6，
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠BEA＝∠GBA，
∵∠BAE＝∠GAB，
∴△ABE∽△AGB，
∴，
∴＝，
∴AE＝BE＝15，
∴EG＝AE﹣AG＝9，
∵∠EBF＝∠EGB，∠BEF＝∠GEB，
∴△EBF∽△EGB，
∴，
∴，
∴BF＝50．
16．（1）证明：如图1中，

∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ECG，
∴△ECF∽△GCE；
（2）证明：如图2中，连接OE，

∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝，
∵AH＝3，
∴HC＝4，
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，
∴（r﹣3）2+（4）2＝r2，
∴r＝，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝．
17．解：（1）如图1，连接MH，

∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），
∴OE＝5，OF＝，EM＝4，
∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，
∴∠OEF＝30°，
∵EF是⊙M的切线，
∴∠EHM＝90°，
∴sin∠MEH＝sin30°＝，
∴MH＝ME＝2，
即r＝2；
（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．
∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，
∴△PCH∽△PQD，
∴，
由（1）可知，∠HEM＝30°，
∴∠EMH＝60°，
∵MC＝MH＝2，
∴△CMH为等边三角形，
∴CH＝2，
∵CD是⊙M的直径，
∴∠CQD＝90°，CD＝4，
∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，
∴QD＝CD＝3，
∴；
（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），
∴MG＝CM＝1，
∴，
又∵∠PMG＝∠EMP，
∴△MPG∽△MEP，
∴，
∴PG＝PE，
∴PF+PE＝PF+PG，
当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，
在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，
∴FG＝＝＝．
∴PF+PE的最小值为