2021-2022学年上海市吴淞中学高一下学期期末考试数学试卷（含详解）

吴淞中学12021学年第二学期

高一数学学科期末考试（试卷）

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，拍照上传，得每个空格填对得3分，否则一律得零分．

1. 已知，化简________.

2. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.

3. 若复数满足（为虚数单位），则______.

4. 已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于45°时，则向量在向量上的数量投影是________．

5. 若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．

6 已知，，则________．

7. 空间四边形ABCD中，且AB与CD所成角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为__________．

8. 如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）

9. 已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）区间上有最小值，无最大值，则ω＝_____．

10. 在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为_________．

11. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．

12. 如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则最大值是_________．

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在光大阅卷相应位置得，填上正确的答案，选对得4分，否则一律得零分．

13. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（   ）

A. 者 B. 事 C. 竟 D. 成

14. 为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（    ）

A. 先将图像上所有横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

B. 先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

C. 先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位

D. 先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

15. 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度 （单位：）满足 ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（    ）

A. 36dB B. 63 dB  C. 72 dB  D. 81 dB

16. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（    ）

(参考数据：)

A.  B.  C.  D.

三、解答题（本大题满分48分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，并上传至光大阅卷．

17. 已知关于的方程在复数范围内的两根为、．

（1）若p=8，求、；

（2）若，求的值．

18. 如图，在中，，斜边，D是AB的中点．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且．

（1）求该圆锥的全面积；

（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数表示）

19. 已知函数.

（1）求证：是奇函数；

（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.

20. 在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足（如图1），将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）

（1）求证：平面BEP；

（2）求二面角的余弦值．

21. 已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且满足.

（1）求C；

（2）若，求当函数取最小值时的周长；

（3）求的取值范围．

吴淞中学12021学年第二学期

高一数学学科期末考试（试卷）

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，拍照上传，得每个空格填对得3分，否则一律得零分．

1. 已知，化简________.

【答案】

【解析】

【分析】由幂的运算法则即可求解.

【详解】解：因为，

所以由幂的运算法则得，

故答案为：.

2. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.

【答案】

【解析】

【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解；

【详解】解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为；

故答案为：

3. 若复数满足（为虚数单位），则______.

【答案】

【解析】

【分析】计算出再计算模长即可.

【详解】.故.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了复数的运算以及模长运算,属于基础题型.

4. 已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于45°时，则向量在向量上的数量投影是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量在向量上投影的数量公式求解.

【详解】向量在向量上的数量投影是，

故答案为：

5. 若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．

【答案】

【解析】

【详解】由题意可得，圆柱的高为h=4，不妨设底面圆半径为r,所以，.答案：

6. 已知，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦函数的周期性即可求解.

【详解】解析

，

且，

故答案为：．

7. 空间四边形ABCD中，且AB与CD所成角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为__________．

【答案】或

【解析】

【分析】设的中点为，连接，利用等腰三角形可求EF与AB所成角的大小.

【详解】设中点为，连接，

因为，故，

同理，，

故或其补角为AB与CD所成角，而AB与CD所成角为，

故或，

若，因为，故，故为等边三角形，

故，

因为，故EF与AB所成角即为或其补角，故EF与AB所成角为，

若，则为等腰三角形，故，

因为，故EF与AB所成角即为或其补角，故EF与AB所成角为，

故答案为：或.

8. 如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）

【答案】

【解析】

【分析】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.

【详解】，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，

因AP＝3PN，，则，

所以.

故答案为：

9. 已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝_____．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值.

【详解】对于函数，由得，

函数图象关于对称，

又在区间有最小值，无最大值，

可得，即，又，即

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．

10. 在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值．

【详解】因为，所以，

又三点共线，所以，

所以，当且仅当，妈时等号成立．所以的最小值为．

故答案为：．

【点睛】结论点睛：是平面上不共线三点，是平面上任一点，，

则三点共线，若在线段内部（不含端点），则．

11. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．

【答案】①⑤

【解析】

【分析】根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案.

【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；

当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，

综上可知截面的图形可能是①⑤.

故答案为：①⑤

12. 如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是_________．

【答案】

【解析】

【分析】作出图形，找出直线与平面所成的角，证出平面，得出，得出点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆点除外，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果

【详解】如图，

过点作，交的延长线于点，连接，，
取的中点为，连接，过点作，垂足为，
平面平面，且平面平面，平面，，
，平面，在平面上的射影就是直线，
故就是直线与平面所成的角，即，
，，
又，，，平面，
平面，平面，，
故点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆点除外，
，且，，
设，则，从而，
，如图，

当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值，
取得最大值为：．
故答案为：.

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在光大阅卷相应位置得，填上正确的答案，选对得4分，否则一律得零分．

13. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（   ）

A. 者 B. 事 C. 竟 D. 成

【答案】A

【解析】

【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，结合正方体的结构特征，即可求解．

【详解】根据正方体的表面展开图，换元成正方体，如图所示：

其中“者”在最里面，“有”在最外面．构成对面关系．

故选：A．

14. 为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（    ）

A. 先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

B. 先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

C. 先将图像上所有横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位

D. 先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

【答案】B

【解析】

【分析】根据图像变换逐项计算后可得正确的选项.

【详解】对于A，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得图像的解析式为，

故A错误；

对于B，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故B正确；

对于C，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位,所得图像的解析式为，故C错误；

对于D，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故D错误；

故选：B.

15. 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度 （单位：）满足 ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（    ）

A. 36dB B. 63 dB  C. 72 dB  D. 81 dB

【答案】B

【解析】

【分析】利用题中给出的函数模型，结合对数的运算性质求解即可．

【详解】解：设一般两人小声交谈时声音强度为，

则，即，

所以，

则老师声音的等级约为．

故选：．

16. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（    ）

(参考数据：)

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】易知，当球体与正四面体内切时，球体（蛋黄）的体积最大，用等体积法即可求得.

【详解】如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1交AC于F，易知O1为的中心，点F为边AC的中点.

易得：，则，，

∴，∴，

∵，

∴，

∴球O的体积.

故选：C

三、解答题（本大题满分48分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，并上传至光大阅卷．

17. 已知关于的方程在复数范围内的两根为、．

（1）若p=8，求、；

（2）若，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用求根公式即可求解.

（2）将代入方程即可求解.

【详解】（1）由题意得，，

∴，

∴，．

（2）已知关于x的方程的一根为，

所以，

所以，解得．

18. 如图，在中，，斜边，D是AB的中点．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且．

（1）求该圆锥的全面积；

（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数表示）

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式和圆锥全面积公式进行求解即可；

（2）根据三角形中位线定理，结合异面直线成角定义进行求解即可.

【小问1详解】

在中，，即圆锥底面半径为2．

圆锥的侧面积，圆锥的底面积，

故圆锥的全面积；

【小问2详解】

过D作交BO于点M，连接CM．

则为异面直线AO与CD所成角．

因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC，

所以．

在中，，所以．

由D是AB的中点可知M是OB的中点，所以，则有．

在中，．

所以，即异面直线AO与CD所成角的大小为.

19. 已知函数.

（1）求证：是奇函数；

（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）计算化简，得出即可证明；

（2）根据奇函数得出，再根据单调性得出，进而得出恒成立，令，可得，利用单调性求出的最大值即可.

【详解】（1）证明：的定义城是R，又，

且，

所以，是奇函数.

（2）解：由，

得，

因为是奇函数，

所以，

即.

又因为在R上单调递增，

所以，

即，

所以，对任意，恒成立，

设，.

则.

因为函数在上单调递减，

所以，即，则，

所以，实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用函数是奇函数和单调递增得出恒成立，换元得出，再利用单调性求出最大值.

20. 在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足（如图1），将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）

（1）求证：平面BEP；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）在图1中，由余弦定理求出，根据勾股定理即可得，进而在图2中，可得，又平面平面BEP，从而根据面面垂直的性质定理即可证明平面；

（2）以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出面与面的一个法向量，然后利用向量法即可求解二面角的余弦值.

【小问1详解】

证明：由题意，在图1中，，又，

所以由余弦定理可得，

所以，所以，

所以在图2中，，

因为二面角为直二面角，即平面平面BEP，又平面平面BEP，平面，

所以平面；

【小问2详解】

解：分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，，，，0，，，

，，

设面的法向量为，

则，取，得，，，

设面的法向量为，

则，取，得，1，，

，

由图可知二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为．

21. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且满足.

（1）求C；

（2）若，求当函数取最小值时的周长；

（3）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】（1）先由题中条件，得到，再由正弦定理将该式变形整理，求出，即可得出角；

（2）先将化简整理，得到，确定其取最小值时，，进而可求出各边长，得到三角形的周长；

（3）先由（1）得到，，将所求式子化为，化简整理后，利用三角函数的性质，即可求出其范围.

【详解】（1）由题意可得，

根据正弦定理可得，则，

所以，又为三角形内角，所以，因此，所以；

（2）因为，

由可得，因此；所以当且仅当时，取得最小值，此时；

因为，所以，，

则的周长为；

（3）因，所以，，

因此，

因为，所以，

因此，所以，

即的取值范围是.

【点睛】思路点睛：

求解三角形的相关问题时，一般先利用正弦定理或余弦定理将题中条件进行转化，求出所需角或边；再结合题中条件，进行求解；有时也会利用三角函数的性质或基本不等式求解最值或范围问题.