2021-2022学年上海市实验学校高一下学期期末考试数学试卷（含详解）

上海实验学校高一期末数学试卷

2022.06

一､填空题（本大题病分40分，本大题共有10题）

1. 已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________.

2. 已知四边形是边长为1的正方形，则________

3. 设复数，则的共轭复数的虚部是______．

4. 已知向量，则在方向上的投影为___________.

5. ______

6. 复数的辐角主值是___________.

7. 已知向量、，，，则的取值范围是______.

8. 在数列中，，，则________．

9. 设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．

10. 定义“二元函数”如下：；例如：，对于奇数m，若任意，存在为正整数，且（彼此不同），满足，则最小的正整数m的值为___________.

二､选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）

11. 在中，""是为钝角三角形的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

12. 已知复数（虚数单位）为纯虚数，则实数（    ）

A. 2 B.  C. 或2 D.

13. 已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是（    ）

A. 与共轭 B.

C  D.

14. 数列满足（，n为正整数），则下列命题中真命题的个数是（    ）

①若数列满足，则（，n为正整数）；

②若（其中p､q､m､n正整数），则；

③一定存在常数d，使得（，n为正整数）都成立；

④一定存在常数q，使得（，n为正整数）都成立.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

三､解答题（体大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）

15. ，依照下列条件求实数k的值.

（1）与相互平行；

（2）与相互垂直.

16. 已知是复数，为实数（为虚数单位），且．

（1）求复数；

（2）若，求实数取值范围．

17. 某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放牌照数.

18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，且等式对任意成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与的项相间排列构成新数列，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和；

（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．

上海实验学校高一期末数学试卷

2022.06

一､填空题（本大题病分40分，本大题共有10题）

1. 已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________.

【答案】##

【分析】设公差为d，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式.

【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：，

解得：，

所以.

故答案为：.

2. 已知四边形是边长为1的正方形，则________

【答案】

【分析】根据平面向量的加法运算求得，进而根据模长的定义即可求出结果.

详解】,

故答案为：.

3. 设复数，则的共轭复数的虚部是______．

【答案】

【分析】根据题意，计算出复数的代数形式，即可求解.

详解】因,

所以，因此的共轭复数的虚部是.

故答案为：.

4. 已知向量，则在方向上的投影为___________.

【答案】##2.2

【分析】求出的值及，由计算即可.

【详解】解：因为，

所以，，

由可得：，

即在方向上的数量投影为：.

故答案为：.

【点睛】理解投影的概念是关键.

5. ______

【答案】

【分析】根据已知条件，利用复数模的公式直接计算即可.

【详解】由，

故答案为：.

6. 复数的辐角主值是___________.

【答案】##

【分析】复数的代数形式化为复数的三角形式即可.

【详解】复数化为复数三角形式，

可得：，

所以复数辐角主值是.

故答案为：

7. 已知向量、，，，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】将展开结合已知条件以及余弦函数的性质即可求解.

【详解】设向量、夹角为，

，

因为，所以，

所以，即，

所以，

故答案为：.

8. 在数列中，，，则________．

【答案】

【分析】先由，得到，求出数列的通项公式，进而可求出结果.

【详解】因为，所以，则，所以数列是以为公差的等差数列，

又，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.

9. 设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．

【答案】

【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解.

【详解】由，得，由，得，

因，所以，即，且，

又因，所以，即，且,

因此.

故答案为：.

10. 定义“二元函数”如下：；例如：，对于奇数m，若任意，存在为正整数，且（彼此不同），满足，则最小的正整数m的值为___________.

【答案】81

【分析】计算得到，故m至少有4个不同的正的奇约数，且4个奇约数中，至少有一个为的形式，找到3为最小的大于1的正奇数，且，从而求出m的值.

【详解】，

由题意可知：存在4组不同的正整数，使得奇数，

故m至少有4个不同的正的奇约数，且4个奇约数中，至少有一个为的形式，

因为3为最小的大于1的正奇数，且，故m的最小值为.

故答案为：81

二､选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）

11. 在中，""是为钝角三角形的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.

【详解】由，可得，

所以为钝角，是钝角三角形，

所以由可以得出为钝角三角形，

若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，

所以在中， ""是为钝角三角形的充分不必要条件，

故选：A.

12. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（    ）

A. 2 B.  C. 或2 D.

【答案】A

【分析】由于复数为纯虚数，所以，从而可求出的值

【详解】解：因为复数（为虚数单位）为纯虚数，

所以，

由，得或，

由，得且，

所以，

故选：A

13. 已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是（    ）

A. 与共轭 B.

C.  D.

【答案】C

【分析】由复数范围内的求根公式结合复数的运算法则依次判断即可.

【详解】由复数范围内的求根公式可得，当时，；当时，，则B错误；

当时，方程有两个不相等的实根，与不共轭，A错误；

当时，易得；当时，，

，C正确；

当时，，

，故，D错误.

故选：C.

14. 数列满足（，n为正整数），则下列命题中真命题的个数是（    ）

①若数列满足，则（，n为正整数）；

②若（其中p､q､m､n为正整数），则；

③一定存在常数d，使得（，n为正整数）都成立；

④一定存在常数q，使得（，n为正整数）都成立.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【分析】对于①：根据数列为递增数列分析判断；对于②：取，，分析判断；对于③：根据进行放缩，取，利用累加法运算处理；对于④：取代入检验判断．

【详解】∵，则

∴数列为递增数列

若，即，可得，则，①为真命题；

取，则

数列为递减数列，数列为递增数列符合题意

若令，则，

∴，②为假命题；

∵对

∴

取常数d满足

则，③为真命题；

取，显然满足

但对，，④为假命题；

故选：B．

三､解答题（体大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）

15. ，依照下列条件求实数k的值.

（1）与相互平行；

（2）与相互垂直

【答案】（1）   

（2）

【分析】（1）根据向量平行坐标表示即可求解；

（2）根据向量垂直的坐标表示即可求解.

【小问1详解】

解：因为，

所以，，

因为与相互平行，

所以，解得；

【小问2详解】

解：因为，

所以，，

因为与相互垂直，

所以，解得.

16. 已知是复数，为实数（为虚数单位），且．

（1）求复数；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出复数的值；

（2）化简复数，利用复数的模长公式可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）设，则，所以，，可得，

为实数，

所以，，解得，因此，；

（2），所以，，可得，

解得，

因此，实数的取值范围是.

17. 某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数.

【答案】（1），   

（2）206万张

【分析】（1）利用等差数列通项公式可得，结合题意可得，根据等比数列通项公式可得，结合题意利用前项和公式判断可得；（2）根据（1）分别求数列、的前17项和，再相加．

【小问1详解】

设当时，数列为等差数列，则

根据题意令，则

∴，则

设当时，数列为等比数列，则

其前项和为递增数列，且

∴，，则

【小问2详解】

根据题意可得到2029年（包含2029年），即为第17年

对于数列的前项和

对于数列的前项和

到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数为（万张）

18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，且等式对任意成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与的项相间排列构成新数列，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和；

（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2），；（3）．

【分析】（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1时，4a1，解得a1，n≥2时，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根据数列{an}的各项均为正数，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差数列的通项公式可得an．

（2）数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得bn．进而得出cn，T2n．

（3）Tn≥λ•cn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，对n分类讨论即可得出．

【详解】（1）由，即，所以，

两式相减得，，

故，     

因为，所以．     

又由得．

所以，数列是首项为，公差为的等差数列．

所以，数列的通项公式为． 

（2）由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，故．

所以，   

数列的前项和，数列的前项和．

所以，． 

（3）当为偶数时，设（），由（2）知，，，

由，得， 

即， 

设，则，

所以，当时，单调递增，当时，单调递减．

因为，当时，，所以，．

所以，． 

当为奇数时，设（），则，

， 

由，得，即，

设，则

，故单调递增，，故．

综上，的取值范围是．

【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．