2021-2022学年上海市上海中学高一下学期期末考试阶段练习数学试卷（含详解）

上海中学2022学年高一第二学期期末阶段练习

数学试题

高一________班  学号________  姓名________  成绩________

一、填空题（每空3分，共39分）

1. 已知点，向量，则向量__________．

2 已知复数，则__________．

3. 若，则在方向上的数量投影是__________．

4. 在正方体中，棱与平面所成角的余弦值为__________．

5. 设虚数，若，则__________．

6. 在四面体中，若棱与所成角为且，则连接四条棱中点所得四边形的面积为__________．

7. 在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是，则第四个复数是__________．

8. 已知均为非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为__________．

9. 已知方程的两根满足，则__________．

10. 正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．

11. 已知为虚数，且是实数，也是实数，则的值为__________．

12. 已知向量与的夹角为，，在时取得最小值，当时，的取值范围为__________．

13. 中，，则的最大值是___________.

二、选择题（每题4分，共16分）

14. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中，其中正确的是（    ）．

A. 若，则 B. 若，则

C 若，则且 D. 若，则

15. 若非零不共线的向量满足，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

16. 正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　）

A.  B. 2 C.  D.

17. 在等腰三角形中，，M为中点，N为中点，D为边上的一个动点，沿翻折至使，点A在面上的投影为点O，当点D在上运动时，以下说法错误的是（    ）．

A. 线段为定长

B.

C. 存在D的某个位置使得

D. 存在D的某个位置使得

三、解答题（本大题共6题，共48分，解答各题必须写出必要的步骤）

18. 复数，求实数m取值范围使得：

（1）z为纯虚数；

（2）z在复平面上对应的点在第四象限．

19. 已知正方形所在平面外一点P满足平面，E，F分别是的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）若，求与所成角的大小．

20. 已知向量，单位向量与向量的夹角为．

（1）求向量；

（2）若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值．

21. 如图，某钢性“钉”由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，钉尖为．

（1）当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为，要用某种线性材科复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少厘米？

22. 我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.

（1）若，，且，，计算，的值；

（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；

（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.

上海中学2022学年高一第二学期期末阶段练习

数学试题

高一________班  学号________  姓名________  成绩________

一、填空题（每空3分，共39分）

1. 已知点，向量，则向量__________．

【答案】

【分析】首先求出的坐标，再根据向量减法的坐标运算法则计算可得；

【详解】解：因为，所以，

又，所以；

故答案为：

2. 已知复数，则__________．

【答案】

【分析】求出的共轭复数，代入，由复数的乘法运算化简复数，再由复数的模长公式即可得出答案.

【详解】因为，所以，所以，

则.

故答案为：.

3. 若，则在方向上的数量投影是__________．

【答案】

【分析】首先求出、，再根据求出在方向上的数量投影；

【详解】解：因为，所以，

，

所以在方向上的数量投影为；

故答案为：

4. 在正方体中，棱与平面所成角的余弦值为__________．

【答案】

【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案.

【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，

，

则，设平面，

，

则，所以，

棱与平面所成角为，

所以，

则.

故答案为：.

5. 设为虚数，若，则__________．

【答案】

【分析】依题意可得，代入计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以，即，所以，

所以；

故答案为：

6. 在四面体中，若棱与所成角为且，则连接四条棱的中点所得四边形的面积为__________．

【答案】

【分析】空间四边形ABCD中，分别取AB、BC、CD、DA中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，则连接各边中点可得平行四边形，利用平行四边形的面积公式可求出结果．

【详解】如图，空间四边形ABCD中，

若棱与所成角且，

分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，

则EF//GH//AC，且EF＝GH＝AC＝2，

EH//GF//BD，且EH＝GF＝BD＝2，

∴∠HEF＝60°，或∠HEF＝120°，

不妨取∠HEF＝60°

∴连接各边中点所得四边形的面积是：

．

故答案为：．

7. 在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是，则第四个复数是__________．

【答案】##

【分析】设第四个复数对应的点为, 利用与复数对应的向量相等即可求得答案.

【详解】设正方形的三点对应的复数分别为

设

由题意得, , 即

，即第四个复数是.

故答案为:

8. 已知均为非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为__________．

【答案】##

【分析】根据向量垂直的条件以及向量的夹角公式计算即可．

【详解】解：设与的夹角为，

非零向量，满足与互相垂直，与互相垂直，

，，

，，

，，

，

又，

故答案为：

9. 已知方程的两根满足，则__________．

【答案】或

【分析】按照或进行分类讨论，由此求得的所有可能取值.

【详解】已知方程的两根，由韦达定理有：，

若即时，

所以，解得：.

若即时，

所以，

解得：.

综上：或.

故答案为：或.

10. 正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．

【答案】

【分析】根据题意知，到正四面体ABCD四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．

【详解】设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，

则是三棱锥的中截面，

可得平面平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，

、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面；

正四面体ABCD中，象这样的三角形截面共有4个．

正四面体ABCD的棱长为2，可得，

是边长为1的正三角形，可得；

取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，

、GH分别是、的中位线，

,得

四边形EGHI为平行四边形；

又且，，

且，四边形EGHI为正方形，其边长为，

由此可得正方形EGHI的面积；

的中点I在平面EGHI内，、C两点到平面EGHI的距离相等；

同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等，且A、B两点到平面EGHI的距离相等；

、B、C、D到平面EGHI的距离相等，

平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，

且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，

因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于

．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．

11. 已知为虚数，且是实数，也是实数，则的值为__________．

【答案】1

【分析】设，根据已知条件可得且，故可求，从而可求.

【详解】设，因为为虚数，故，

又，

因为，故为实数，

所以，故，

而也为实数，同理可得为实数，

故，，

故，所以，

故，

若，则，

同理若，则，

故答案为：1.

12. 已知向量与的夹角为，，在时取得最小值，当时，的取值范围为__________．

【答案】

【分析】由向量的运算可得，由二次函数可得，解不等可得的取值范围

【详解】由题意可得，

，

所以

，

由二次函数的性质可知，上式取得最小值时，

，

因为，

所以，

因为，所以解得，

即的取值范围为，

故答案为：

13. 中，，则的最大值是___________.

【答案】

【详解】由数量积的定义及余弦定理知

.

类似地，，

..

故已知等式化为

.

由余弦定理及基本不等式得:

,

，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，的最大值.

二、选择题（每题4分，共16分）

14. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中，其中正确的是（    ）．

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则且 D. 若，则

【答案】B

【分析】由线、面位置关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，若，则或与异面，故A错误；

对于B，若，则，由则.故B正确；

对于C，若， ，则或，故C错误；

对于D，若，则，故D错误.

故选：B.

15. 若非零不共线的向量满足，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断

【详解】

                  （2）

由非零向量，满足

当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, ,

则. 在图（1）中, ,

不能比较与的大小;

在图（2）中, 由, 得,

所以 为的直角三角形.

易知,

由三角形中大角对大边, 得.

故选：C

16. 正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【分析】在在上取一点，使得，根据C点的位置，从而求得，找到与的关系即可求得参数.

【详解】连接，，且，

在上取一点，使得，

则四边形为平行四边形，.

设，则，

由图可知，

故

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用向量相等及平行四边形法则，将向量和转化为三角形中的长度关系，从而求得参数值.

17. 在等腰三角形中，，M为中点，N为中点，D为边上的一个动点，沿翻折至使，点A在面上的投影为点O，当点D在上运动时，以下说法错误的是（    ）．

A. 线段为定长

B.

C. 存在D的某个位置使得

D. 存在D的某个位置使得

【答案】ABD

【分析】依题意作出图形，结合图形及线面垂直的判定定理一一判断即可；

【详解】解：如图所示，

对于A，为直角三角形，为斜边上的中线，所以为定长，即A正确；

对于B，在时，，，，故B正确；

对于D，因为、，，平面，

所以平面，平面，所以，所以当与重合时，满足，故D正确；

对于C：当点在点右边时，且，故不满足，

当点在点左边时，记二面角的平面角为，则，而，所以，

故C错误；

故选：ABD．

三、解答题（本大题共6题，共48分，解答各题必须写出必要的步骤）

18. 复数，求实数m的取值范围使得：

（1）z为纯虚数；

（2）z在复平面上对应的点在第四象限．

【答案】（1）   

（2）

【分析】（1）根据z为纯虚数，列出方程，即可求解；

（2）根据z在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；

【小问1详解】

，

若z为纯虚数，则，解得：.

【小问2详解】

由题意知，，解得：.

19. 已知正方形所在平面外一点P满足平面，E，F分别是的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）若，求与所成角的大小．

【答案】（1）证明过程见解析；   

（2）

【分析】（1）作出辅助线，构造平行四边形，证明出线面平行；（2）作出辅助线，得到AF与AD所成的角即为与所成角，利用余弦定理求出所成角的余弦值，进而求出所成角的大小.

【小问1详解】

取PD中点G，连接FG，GA，

因为F为PC的中点，所以FG∥CD，且FG=，

因为正方形ABCD中，E为AB的中点，

所以AE∥CD，AE=，

所以FG∥AE，且FG=AE，

所以四边形AEFG是平行四边形，

所以EF∥AG，

因为平面，平面

所以∥平面

【小问2详解】

取AC中点M，连接DM，FM，

因为平面，平面，

所以，

因为，

所以，

设正方形ABCD边长为a，则，

因为平面，

所以平面，且，

由勾股定理得：，

同理可得：，

因为BC∥AD，所以AF与AD所成的角即为与所成角，

由余弦定理得：，

故，故与所成角的大小为

20. 已知向量，单位向量与向量的夹角为．

（1）求向量；

（2）若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值．

【答案】（1）或   

（2），，

【分析】（1）设，向量是单位向量，向量与向量夹角为，解方程组，由此求出．

（2）首先可判断向量，根据向量垂直，得到，即可得到，再由二次函数的性质计算可得．

【小问1详解】

解：设，

向量是单位向量，

．

向量与向量夹角为，

，

，

解方程组，

解得或．

或．

【小问2详解】

解：与坐标轴平行，

向量，又向量与向量垂直，

，

，即．

又

，

即，

因为所以，

所以，；

所以当时，．

21. 如图，某钢性“钉”由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，钉尖为．

（1）当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为，要用某种线性材科复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少厘米？

【答案】（1）   

（2）

【分析】（1）组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，，，，两两连结后得到的四面体为正四面体，延长交平面于B，则平面，连结，则就是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的大小．

（2）推导出，又，从而，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料的长度．

【小问1详解】

设，根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，，，，两两连结后得到的四面体为正四面体，

延长交平面于B，则平面，连结，

则是在平面上的射影，

就是与平面所成角，

设，则，

在中，，

即，

，，

(其中，

，

与平面所成角大小为．

【小问2详解】

，

根据（1）可得，

，

要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料：

(米)．

要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料米

22. 我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.

（1）若，，且，，计算，的值；

（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；

（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.

【答案】（1），；（2）4；（3）.

【分析】（1）根据定义直接计算即可得出答案；

（2）根据题意，得仅有1个1或3个1，再分仅有1个1时，仅有3个1时，时，三种情况分类讨论即可得出结论；

（3）根据时，，则，得只有3种情况，，且成对出现，从而可得出答案.

【详解】解：（1），

；

（2）设，，，

时，为奇数，则仅有1个1或3个1，

时，为偶数，

①当仅有1个1时，，为使为偶数，

则，即不同时为1，

此时，共4个元素，

②当仅有3个1时，，为使为偶数，

则，即不同时为0，

此时，共4个元素，

③当时，则，不符题意，舍去，

综上所述，集合中元素个数的最大值为4；

（3），，

时，，则，

则只有3种情况，，且成对出现，

所以B中最多有个元素，.

【点睛】本题主要考查了向量的新定义及集合间的关系，考查了分类讨论思想及分析问题的能力，难度较大.