高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案，共9页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
一．直线的点斜式方程和斜截式方程
二．直线l的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的__________．
(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的____________．
三．直线平行、垂直的判断
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1∥l2⇔__________________；(2)l1⊥l2⇔__________________．
思考1：经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
思考2：直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
【小试牛刀】
思辨解析(对的打“√”，错的打“×”).
（1）y轴所在直线方程为y＝0.( )
（2）直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( )
（3）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.( )
（4）直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( )
（5）直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线.( )
【经典例题】
题型一 直线的点斜式方程
点拨：(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；
(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程.
例1 已知点A(3,3)和直线l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2).求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
【跟踪训练】1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
题型二 直线的斜截式方程
点拨：直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可．
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【跟踪训练】2 (1)直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则m的值是( )
A．2或eq \f(1,2) B．2或－eq \f(1,2)
－2或－eq \f(1,2) D．－2或eq \f(1,2)
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
题型三 斜截式方程的应用
例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【跟踪训练】3 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
【当堂达标】
1. (多选)下列四个选项中正确的是( )
A.方程k＝ eq \f(y－2,x＋1) 与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
2．过点(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
4.倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是______ _____。
5.已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．
6.已知直线l的斜率为eq \f(1,6)，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．
【课堂小结】
1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有eq \f(y－y1,x－x1)＝k，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.
2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)．
【参考答案】
【自主学习】
一.k(x－x0) y＝kx＋b
二．纵坐标b 横坐标a
三．k1＝k2且b1≠b2 k1·k2＝－1
思考1: 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.
思考2：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
【小试牛刀】
× √ × × ×
【经典例题】
例1 解 因为直线l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2)，所以该直线的斜率k＝eq \f(3,4).
(1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为y－3＝eq \f(3,4)(x－3).
(2)过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－eq \f(4,3)(x－3).
【跟踪训练】1 解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；
(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2；
(3)y＝－1.
例2 解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).由斜截式可得方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.
【跟踪训练】2 (1) A 解析 令y＝0，解得x＝eq \f(4m＋1,2m2－m＋3).由已知得eq \f(4m＋1,2m2－m＋3)＝1，则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0.解得m＝2或eq \f(1,2)(符合题意)．故选A.
（2）解 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
例3 解 (1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，
∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2＝－1，,2a≠2，))解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)由题意可知，＝2a－1，＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).
故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.
【跟踪训练】3证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3.))
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
【当堂达标】
1.BC 解析：A不正确．方程k＝ eq \f(y－2,x＋1) 不含点(－1，2)；B正确；C正确；D只有k存在时成立．
2.A 解析：所求直线与已知直线垂直，因此其斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.
3.B 解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，
由图知，k>0，b<0.
4. y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3 解析 ∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，
∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，
∴所求直线的斜截式方程是y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.
5.解 (1)∵A，B两点的纵坐标均为1，∴AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)∵AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，kAC＝tan 60°＝eq \r(3)，
kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，
∴直线AC的方程为y－1＝eq \r(3)(x－1)；直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
6.解 设直线l的方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得eq \f(1,2)·|b|·|6b|＝3，即6|b|2＝6，
∴b＝±1.故所求直线方程为y＝eq \f(1,6)x＋1或y＝eq \f(1,6)x－1.课程标准
学科素养
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程(重点).
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题(难点)．
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y－y0＝

适用条件
斜率存在
斜率存在