高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念第1课时教案

《5.2.1三角函数的概念》

第1课时  三角函数的概念  教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广到任意角的三角函数,有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的。

任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。

三、学习目标

 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，培养数学抽象的核心素养；

2.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切，提升数学运算的核心素养；

3.掌握公式并会应用，强化逻辑推理的核心素养。

四、教学重点

1.重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；

2.难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

五、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.

2.探索交流，解决问题

【思考1】该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变,其三角函数值是否也改变呢?

【提示】不变.

【思考2】对于一个任意角，如何求得三角函数值？

【提示】我们需将三角函数的定义推广到任意角。

【设计意图】通过复习初中所学锐角的三角函数的定义，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

（二）三角函数的概念

【探究1】角的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，当时，点P的坐标是什么？当 时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？

【提示】当时，点P的坐标为。

当时，点P的坐标为。

当时，点P的坐标为。

【探究2】一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？

【提示】唯一确定

三角函数的定义：

设角它的终边OP与单位圆交于点。

（1）把点P的纵坐标y叫做 的正弦函数，记作sin ,即y=sin

(2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα

（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．

是 以角α为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数y＝sin x，x∈R；

余弦函数y＝cos x，x∈R；

正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)．

【探究3】如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，是否可以用点P的坐标表示角 的三角函数？

【提示】利用角α终边上一点的坐标定义三角函数，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中r＝.

【思考】三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？

【提示】　三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．

【做一做】若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.

解析：∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，

则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.

【设计意图】通过探究让学生理解任意角的三角函数定义，培养数学抽象的核心素养。

（三）典型例题

1.利用单位圆求三角函数值

例1.求π的正弦、余弦和正切值．

[解析]　在直角坐标系中作∠AOB＝π，如图．

∠AOB的终边OB与单位圆的交点B.

坐标为，

∴sinπ＝－，cosπ＝－，tanπ＝.

变式：把角改为呢？

【解析】 

【巩固练习1】已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0)，则tan α＝        .

【解析】因为点P(y<0)在单位圆上，则＋y2＝1，所以y＝－，所以tan α＝－.

【答案】－

2.利用角终边上点求三角函数值

例2.已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．

【解析】设射线y＝2x(x≥0)上任一点P(x0，y0)，则|OP|＝r＝，

∵y0＝2x0，∴r＝x0，

∴sin α＝＝，cos α＝＝.

变式探究1：已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．

【解析】　法一：(单位圆)设直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得

①当角α的终边在第一象限时，cos α＝x1＝，sin α＝y1＝，tan α＝＝2.

②当角α的终边在第三象限时，cos α＝x2＝－，sin α＝y2＝－，tan α＝＝2.

法二：(定义法)在直线y＝2x上任取一点P(t,2t)(t≠0)，则r＝＝|t|.

①若t＞0时，则r＝t，从而sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2.

②若t＜0，则r＝－t，从而sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝2.

【变式探究2】已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.

【解析】由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝.

又∵cos θ＝x，∴＝x.∵x≠0，∴x＝±1.

当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.

当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.

【类题通法】已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法

(1)如果利用单位圆，需求出角的终边与单位圆的交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．

(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．

（3）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.

【巩固练习2】已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝        .

【解析】因为r＝＝5|a|，

①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．

sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，

所以2sin α＋cos α＝－＝1.

②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，

sin α＝＝－，cos α＝＝.

所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.

【答案】　1或－1

（四）操作演练  素养提升

1．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)

A．1　　　　 B．－1

C.   D．－

2．设角α的终边上有一点P(a，3)，则    

3．已知角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为________．

4.已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝，求sin α＋cos α的值．

【答案】1.B  2. 3.3  4. 

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、布置作业

完成教材：第179页  练习     第1，2，3,4题

         第184 页   习题5.2  第2题