江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题

绝密★启用前

江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x-3）<0}，B={x|x2>0}，则A∩B=（       ）

A．{0，1，2} B．{-1，0，1，2} C．{-1，1，2} D．{1，2}

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的值为（       ）

A．60 B．120 C．180 D．260

3．某能源汽车制造公司近5年的利润如下表所示：

已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：y=1.2x+0.6，则第四年的随机误差为（       ）A．-0.4              B．0              C．0.4              D．4.8

4．一个质地均匀的正四面体木块，四个面上分别写有数字1，1，2，3，现随机将木块抛掷一次，记朝下一面出现的数字为随机变量ξ，则ξ的数学期望为（       ）

A． B． C．2 D．

5．2022年3月，我国多地爆发新冠肺炎，为加强疫情防控，某小区仅留东西两个大门让居民进出，现有保安6人，各安排3人到两大门执勤，因特殊原因，保安甲，乙不安排在一起，则不同安排方法有（       ）种

A．48 B．24 C．20 D．12

6．学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（       ）

A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65

7．椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C．或 D．或

8．已知函数，对，都有成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

9．已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（       ）

A．当时，的周长最小

B．当λ=0时，三棱锥的体积最大

C．不存在λ使得AM⊥MN

D．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得

10．下列各式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

11．一袋中有大小相同的3个红球和4个白球，现从中任意取出3个球，记事件A：“3个球中至少有一个红球”，事件B：“3个球中至少有一个白球”，事件C：“3个球中有红球也有白球”，下列结论正确的是（       ）

A．事件A与事件B为互斥事件 B．事件A与事件C不是相互独立事件

C． D．

12．已知抛物线C：，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A､B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，O为坐标原点，下列说法正确的是（       ）

A．线段AB长度的最小值为4 B．以AB为直径的圆与直线y=-1相切

C．的取值范围为[-3，+∞） D．∠AMO=∠BMO

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知集合，B={x|-1<x<m+2}，若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是___________.

14．棱长为的正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.

15．甲､乙两人射击，已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，两人射击互相独立.若甲和乙分别射击2次，则甲､乙击中目标次数之和为2的概率为___________.

16．已知函数f（x）的导函数为，对任意的实数x都，且f（0）=1，若f（x）在（-1，3）上有极值点，则实数a的取值范围是___________.

17．设，若此展开式中第三项的二项式系数为15，且第四项的系数.

(1)求实数m，n的值；

(2)求的值.

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，若.

(1)求证：数列是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；

(2)令，设数列{bn}的前n项和为，若，求n的最小值.

19．某市为了解人们对于新颁布的“改造健身中心”方案的支持度，随机调查了60人，他们年龄的频数分布及支持“改造健身中心”方案人数如下表：

(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有95%的把握认为以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性有关系；

下表的临界值表供参考：

参考公式：，其中n=a+b+c+d.

(2)在随机调查的60人中，若对年龄在[30，35），[40，45）的被调查人中各随机选取2人进行调查，记选中的4人中支持“改造健身中心”方案的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB，E､F分别是棱AB､PD的中点.

(1)证明：平面PEC；

(2)若点P到平面AFC的距离为，求平面PAB与平面AFC所成的锐角的余弦值.

21．已知椭圆的离心率为，上顶点为，左焦点为，且直线与圆相切.

(1)求椭圆的方程

(2)是椭圆长轴两个端点，点是异于点的动点，点满足，求证：三角形面积与三角形面积之比为定值.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间：

(2)若在恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

分别求得再求交集即可

【详解】

由题，，，故

故选：D

2．A

【解析】

【分析】

设等差数列{an}的公差为，结合等差数列的通项公式求出的关系，结合通项公式求.

【详解】

设等差数列{an}的公差为，

因为，所以，

所以，

所以，

故选：A.

3．A

【解析】

【分析】

根据线型回归直线方程过样本中心，可解得，代入方程即可求解.

【详解】

，所以样本中心为，将其代入回归直线方程中得：，当时， ，所以第四年的随机误差为

故选：A

4．B

【解析】

【分析】

列出随机变量所有可能的取值以及对应的概率，再求其期望即可.

【详解】

的可能取值为1，2，3，

，，，

则的数学期望为，

故选：B.

5．D

【解析】

【分析】

根据分步乘法原理以及分组分配用组合数计算即可.

【详解】

甲，乙不安排在一起，故甲乙两个人一个在东门一个在西门，然后再各安排两个人分别去东西门，故不同的安排方法有

故选：D

6．D

【解析】

【分析】

利用全概率公式求解即可.

【详解】

设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；

则,,,

由全概率公式可知

,

故选：D.

7．C

【解析】

【分析】

根据等腰直角三角形，可知有三种情况：,和，根据几何关系即可求解.

【详解】

当时，为等腰直角三角形，则点位于椭圆的上下顶点，则满足：,

当或者时，此时 ，为等腰直角三角形，则满足 ,

故 ，

故选：C

8．B

【解析】

【分析】

利用导数求函数在区间的最值，根据题意可知，然后解不等式可得.

【详解】

解不等式，得或，

解不等式，得

所以函数在上单调递减，在上单调递增

因为，，

所以在区间的最大值为，最小值为，

因为对，都有成立，

所以，解得

故选：B

9．B

【解析】

【分析】

根据特殊位置即可判断出周长，根据等体积，可判断高最大，体积最大，根据线面垂直可判断线线垂直，根据二面角的向量求法即可作出判断.

【详解】

当时，是的中点， ,当 时，，,             故当时的周长并不是最小的.故A错.

当λ=0时， ,只需要面积最大体积就最大，此时重合，故B对.

当是中点时，平面 ,又平面，则 ，故C 错.

取中点为,则平面,以所在直线为轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为

,故

设平面的法向量为

所以   令 ，则 ，故

，故D不对.

故选：B

10．ACD

【解析】

【分析】

对于A选项，利用组合数连乘式计算即可；对于B、C选项，利用组合数的性质计算；对于D选项，利用二项式定理即可求解所给式子.

【详解】

对于A选项，，，所以，则A选项正确；

对于B选项，

，则B选项错误；

对于C选项，，则C选项正确；

对于D选项，，则D选项正确,

故选：ACD.

11．BCD

【解析】

【分析】

根据题意，取出的3个球的可能情况为：3个红球；1红球2白球；2红球1白球；3白球，进而依次分析事件，事件，事件，及其概率，再讨论各选项即可得答案.

【详解】

解：根据题意，取出的3个球的可能情况为：3个红球；1红球2白球；2红球1白球；3白球；

故事件包含：3个红球；1红球2白球；2红球1白球，且；

事件 包含：1红球2白球；2红球1白球；3白球，且；

事件 包含：1红球2白球；2红球1白球，且；

所以，，

所以，事件A与事件B不为互斥事件，A选项错误；

，故事件A与事件C不是相互独立事件，B正确；

，故C正确；

，故D正确；

故选：BCD

12．ABD

【解析】

【分析】

根据抛物线通径判断A，根据抛物线定义及直线与圆相切的条件判断B，根据向量的坐标运算判断C，利用斜率之和为0判断D.

【详解】

如图，过A、B作准线y=-1的垂线，垂足分别为H、G，设线段AB的中点为C，C在准线上的射影为D.

当线段AB为通径时长度最小为，故A正确；

因为直线为抛物线准线，由抛物线定义可知弦AB的中点到准线的距离CD等于，故圆与直线相切，故B 正确；

由题意，设，，直线方程为，

则可得，所以，

，

故的取值范围为[0，+∞），故C错误；

由C中解答知，,，

所以直线与直线的斜率互为相反数，直线倾斜角互补，所以∠AMO=∠BMO，故D正确.

故选：ABD

13．

【解析】

【分析】

先解出集合A，再列不等式组即可求出.

【详解】

集合.

因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，所以 B.

因为B={x|-1<x<m+2}，所以只需满足：

，解得：.

故答案为：.

14．

【解析】

【分析】

取的中点，连接、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出的三边边长，结合余弦定理即可得解.

【详解】

取的中点，连接、，

因为、都是以为边长的等边三角形，且、分别为、的中点，

则，，则，且，

所以，异面直线与所成角为或其补角，

由余弦定理可得，

因此，异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

将甲乙二人射击击中目标的次数之和为2分解为：（甲0次，乙2次），

（甲1次，乙1次），（甲2次，乙0次），利用独立事件乘法公式求解即可.

【详解】

甲乙二人射击击中目标的次数之和为2分解为：

（甲0次，乙2次），（甲1次，乙1次），（甲2次，乙0次），

设甲击中目标一次为事件A，乙击中目标一次为事件B，

在（甲0次，乙2次）事件中： ，

在（甲1次，乙1次）事件中： ，

在（甲2次，乙0次）事件中： ，

∴甲乙二人射击击中目标的次数之和为2的概率= ；

故答案为： .

16．

【解析】

【分析】

通过变形，可知 进而可得，然后根据极值点的转化为导函数有不同的零点即可求解.

【详解】

由可知：，故，其中为常数.

因此，又 ，因此，

，

设

因为f（x）在（-1，3）上有极值点,则在上有变号的零点，即在上有变号的零点，因为

所以 解得：

故答案为：

17．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）先由第三项的二项式系数求出，再由第四项的系数求出；

（2）利用赋值法分别令和，代入即可得结果.

(1)

由题知：

因为，即，

解得.

(2)

由（1）知：

令：得：.

又令得

18．(1)证明见解析，

(2)3

【解析】

【分析】

（1）利用与之间的关系化简变形即可证明；

（2）由（1）得数列{bn}的通项公式，再运用裂项的方法求其前项和，然后解不等式即可.

(1)

证明：由：①

时，得.

时：②

①②即.

，

数列是首项为2公比为2的等比数列.

.

(2)

由（1）得，

所以，

若，

n的最小值为3.

19．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性有关

(2)分布列见解析，

【解析】

【分析】

（1）根据数据完成二联表，计算观测值，与临界值比较即可求解.

（2）根据组合数的计算求出基本事件数，计算对应事件的概率即可求解.

(1)

假设：以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性无关.

故没有95%的把握认为以40岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性有关

(2)

的可能取值为

分布表为：

20．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，进而证明结论；

（2）由平面平面得平面，再结合几何关系得，进而以为正交基底建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

(1)

解：取中点，连接

由分别为中点，得；

在菱形中为中点，得,

所以，所以为平行四边形，故

又平面平面，

所以平面

(2)

解：因为平面平面，平面平面平面，

所以平面，

又菱形中，，

所以

所以，以为正交基底建立空间直角坐标系

则：，

设，则

，

设平面的一个法向量为

可得，取，

又

则点到平面的距离为，解得，.

所以，又平面的一个法向量为，.

设平面与平面所成的锐角为，则，

所以平面与平面所成的锐角余弦值为

21．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由离心率得出的关系，写出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数的值，得椭圆方程；

（2）设，由垂直写出直线和的方程，联立求得点纵坐标，根据在椭圆上，得出的关系，从而得出结论．

(1)

由得：，解得：

则，则直线，即，

又直线与圆相切得：椭圆的标准方程为.

(2)

设，则直线斜率直线斜率，

直线的方程为：，同理直线的方程为：，

联立上面两直线方程，消去，得，即，

在椭圆上，，即

所以的面积与的面积之比为定值.

22．(1)答案见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）求导后分析导函数的单调性，结合导函数的零点求单调性即可；

（2）参变分离得到，令，再求导结合零点存在定理确定导函数的零点区间，进而根据极值点满足的关系式，代入求出最小值即可

(1)

当时

设，则

即在递减，在递增，

当，当

而当所以当递减；

递增.

故函数增区间为，减区间为

(2)

，

令

在递增，而，

，使，即

当时，在递减，当时，在递增

因为可变形为

又在递增，

由（**）可得

故取值范围为

【点睛】

本题主要考查了利用导数分析函数的单调性，同时也考查了利用导数解决恒成立的问题，需要参变分离，设函数后再求导分析，根据零点存在性定理确定极值点的区间，最后将极值点满足的关系式代入原函数化简求最值.属于难题