2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（下）第二次月考数学试卷-（含解析）

2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（下）第二次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 空气的密度为，用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在▱中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，四边形的两条对角线，交于点，，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 在函数为常数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某网店用元购进型小电风扇的台数比用元购进型小电风扇台数少台，且型小电风扇每台进价是型小电风扇每台进价的倍．求，两种型号小电风扇每台的进价．若设型号的小电风扇每台进价为元，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 重庆市南开中学举行了“健康欢乐跑”教职工运动会，陈老师、王老师参加米欢乐跑，其路程单位：米与时间单位：分钟之间的函数图象如图所示，两位老师在欢乐跑中均保持匀速，则下列说法错误的是(    )

A. 王老师的平均速度为米分
B. 到终点前分钟，陈老师的速度比王老师的速度快米分
C. 王老师和陈老师同时达到终点
D. 王老师和陈老师的平均速度相等

9. 如图，四边形是正方形，直线，，分别通过、、三点，且若与之间的距离是，与之间的距离是，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图所示，小明点在操场上跑步，操场由两段半圆形弯道和两段直道构成，若小明从点右侧弯道起点出发以顺时针方向沿着跑道行进．设行进的路程为，小明到右侧半圆形弯道的圆心的距离为，可绘制出如图所示函数图象，那么的值应为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 若使分式有意义，则的取值范围是______．
12. 如图，在▱中，对角线、交于点，，若，，则的长为______．

13. 将直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是______．
14. 如图，面积为的菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上点在点右侧，设点的横坐标为是整数，则______．

15. 如图，在矩形中，，，是上动点，平行于交于是上动点，平行于交于则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：．
    解方程：．
    先化简，后求值，其中．
17. 如图，、为四边形对角线上的两点，于点，于点，，．
    求证：四边形是▱．

18. 已知是的正比例函数，且当时，．
    求这个正比例函数的表达式；
    若点，在该函数图象上，试比较，的大小．
19. 如图，、分别是矩形的边、上的点，且
    求证：四边形是平行四边形；
    若四边形是菱形，且，，求线段的长．

20. 如图，四边形和四边形都是正方形，点，，在一条直线上，点在边上，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，直线经过点，．
    求正方形和正方形的边长；
    若点是的中点，试证明：点，，三点在同一条直线上．

21. 为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某校开展了首届校园数学节活动，让学生体会“学数学其乐无穷，用数学无处不在，爱数学终身受益”现年级决定购买、两种礼品奖励在此次数学活动中的优秀学生，已知种礼品的单价比种礼品的单价便宜元，用元购买种礼品的数量是用元购买种礼品的数量的倍．
    求种礼品的单价；
    根据需要，年级组准备购买、两种礼品共件，其中购买种礼品的数量不超过种礼品的倍．设购买种礼品件，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并求所需的最少经费．
22. 如图，，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点，轴于点．
    根据图象直接回答：在第二象限内，当取何值时，？
    求一次函数解析式及的值；
    是线段上一点，连接，，若和面积相等，求点的坐标．
     

23. 在中，，，点在射线上与、两点不重合，以为边作正方形，使点与点在直线的异侧，射线与直线相交于点．
    若点在线段上，如图，判断：线段与线段的数量关系______，位置关系______；
    如图，
    若点在线段的延长线上，中判断线段与线段的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；
    当为中点，时，求线段的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数可得答案．
此题主要关于轴对称的点的坐标特点，关键是掌握关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、当时，无意义，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质、分式的除法法则、整式的乘法法则、整式的乘方以及零指数幂的意义即可求出答案．
本题考查分式的基本性质、分式的运算、整式的运算，解题的关键是熟练分式的基本性质、分式的除法法则、整式的乘法法则、整式的乘方以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故选：．
先根据平行四边形的性质得出，再根据，可求出的度数．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选：．
根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
函数为常数的图象在二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点，在第二象限，
，
，
点在第四象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，，的大小关系即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设型号的小电风扇每台进价为元，根据题意得：，
故选：．
设型号的小电风扇每台进价为元，根据型小电风扇每台进价是型小电风扇每台进价的倍列出分式方程解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
A.王老师的平均速度为：米分，故本选项不合题意；
B.到终点前分钟，陈老师的速度为：米分，米分，
所以到终点前分钟，陈老师的速度比王老师的速度快米分，故本选项符合题意；
C.王老师和陈老师同时达到终点，故本选项不合题意；
D.王老师和陈老师的平均速度相等，故本选项不合题意；
故选：．
根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：过作直线于，过作直线于，

则，
直线直线，直线，
，
四边形是正方形，
，，
，
在和中
，
≌，
，
与之间的距离是，与之间的距离是，
，，
在中，由勾股定理得：，
即正方形的面积为，
故选：．
过作直线于，过作直线于，求出，，，根据推出≌，根据全等得出，求出，，在中，由勾股定理求出即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设两段半圆的半径为，根据题意得：
当时，，
当，即小明到左侧半圆弧线中点时，，
．
故选：．
设两段半圆的半径为，根据图象解答即可．
本题考查了动点函数的图象问题，解决本题的关键是利用数形结合的思想解答问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：当分母，即时，分式有意义，
故答案为：．
分母不为零，分式有意义可得，再解即可．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
故答案为：．
首先利用平行四边形的性质求得，然后利用勾股定理求得的长，从而求得答案．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用以及解一元二次方程，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线向上平移个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，
交点在第二象限，
，
解得：．
故答案为：．
直线向上平移个单位后可得：，求出直线与直线的交点，再由此点在第二象限可得出的取值范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于、纵坐标大于．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图．连接，，过点作轴于，过点作轴于，
则，
四边形是菱形，
，是菱形的对称轴，
由于点、在反比例函数第一象限的图象上，且关于对称，
因此也是反比例函数图象的对称轴，
设点，则点，
即，，
，而，
，
即，
解得取正值，
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义可得，由菱形的性质以及反比例函数图象的对称性可得是它们的对称轴，进而得出点、点坐标之间的关系，设出点的坐标，得出点坐标，由，可求出的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义，菱形的性质，理解菱形和双曲线的对称性，用点的坐标表示，是解决问题的关键
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，设交于，连接、、．

四边形是矩形，，，
可得四边形、四边形是矩形，
，，
，
，，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为
如图，设交于，连接、由四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题．
本题考查矩形的性质和判定，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：



；

，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是；




，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 

17.【答案】证明：于点，于点，
，
，
．
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】只要证明≌，可得，，可得，推出即可证明；
本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：设，
把，代入得，解得，
所以这个正比例函数的表达式为；
因为，
所以随的增大而减小，
又因为，
所以． 

【解析】利用待定系数法求正比例函数解析式；
根据正比例函数的性质进行判断．
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：先设出一次函数的解析式为，再把一组对应值代入得到得到正比例函数解析式．也考查了正比例函数的性质．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形；

解：四边形是菱形，
．
在矩形中，，
． 

【解析】根据平行四边形性质得出，且，推出，，根据平行四边形的判定推出即可；
利用勾股定理进行解答即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的性质、矩形的性质以及勾股定理．注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

20.【答案】解：设正方形边长为，正方形边长为，则，，
将代入得，解得，
将代入得，解得，
正方形边长为，正方形边长为；
证明：由知正方形边长为，正方形边长为，
，，，，
点是的中点，
，
设直线解析式为，将，代入得：
，解得，
直线解析式为，
当时，，
在直线上，
点，，三点在同一条直线上． 

【解析】设正方形边长为，正方形边长为，则，，将代入可解得，将代入，可解得，故正方形边长为，正方形边长为；
由可得，，，，即得，设直线解析式为，用待定系数法可得直线解析式为，当时，，即得在直线上，故点，，三点在同一条直线上．
本题考查一次函数综合应用，涉及正方形性质、待定系数法、一次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是求出正方形的边长．
 

21.【答案】解：设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
种礼品的单价为元．
由可知，种笔记本的单价为元，
设购买种礼品件，则购买种礼品件，
由题意得：，
又，
随的增大而减小，
又种礼品的数量不超过种礼品的倍，
，解得：，
为整数，
当时，最小值．
答：所需的最少经费为元． 

【解析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元，根据“用元购买种礼品的数量是用元购买种礼品的数量的倍”建立方程，求解即可；
根据题意得出与的关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，正确的理解题意，找出相应的数量关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
即：，
即一次函数的图象在反比例函数图象的上面，
，
当时，；

图象过，
，
过，，
，解得，
一次函数解析式为；，

设，过作轴于，轴于，
，，
和面积相等，
，
即；，
解得，
 

【解析】观察函数图象得到当时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
先把点坐标代入可计算出的值，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
设点坐标为，利用三角形面积公式可得到，解方程得到，从而可确定点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
 

23.【答案】   

【解析】解：在中，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：，；

中结论仍然成立，
理由：在中，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
如图，

过点作于，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
由，
，
点是的中点，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，．
先判断出，再判断出，，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再判断出，，进而判断出，得出，即可得出结论；
先求出，进而求出，再判断出，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，等式的性质，勾股定理，判断出≌是解本题的关键．