2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第八章 平面解析几何 8.6　第2课时　直线与椭圆

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素养提升微专题8　解析几何减少运算量的常见技巧
5.中点弦(1)主要题型:①求中点弦所在直线的方程;②求弦中点的轨迹.(2)处理方法①根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.②“点差法”:若斜率为k的直线l与圆锥曲线C有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),将A,B的坐标代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　　)(3)由直线方程与椭圆方程联立消元可得一元二次方程.若二次项系数恒为正,且方程的Δb>0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则椭圆方程为　　　　　. 
5.(2020山西太原联考)已知椭圆的方程为x2+2y2-4=0,则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程为　　　　. 
答案x+2y-3=0　
【例1】 已知直线l:y=2x+m,椭圆C: .试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.
解题心得判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
对点训练1若直线y=kx+1与椭圆 总有公共点,则m的取值范围是(　　)A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)∪(1,5)D.[1,5)∪(5,+∞)
解题心得1.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长公式的常见形式有如下几种:
2.弦长公式的运用技巧弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程,不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.我们的经验是:若直线经过的定点在y轴上且斜率存在,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算;若直线经过的定点在x轴上且斜率不为0,一般设为my=x-a可以减小运算量.
解析 (方法1)由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1),
考向1　由中点弦确定直线方程或曲线方程
解题心得处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时,常用“点差法”,步骤如下:
考向2　对称问题【例4】 如图,已知椭圆 的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.因为直线AB过椭圆的左焦点F,所以直线AB与椭圆必有两个交点,设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0),
解题心得求解椭圆中对称问题的常用方法(1)将对称两点所在的直线方程与椭圆方程联立,由Δ>0建立不等关系,再由对称两点的中点在所给直线上,建立相等关系,由相等关系消参,由不等关系确定范围.(2)用参数表示中点坐标,利用中点在椭圆内部建立关于参数的不等式,解不等式得参数范围.[提醒]解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外,还要注意“若点A,B关于直线l对称,则l垂直于直线AB且AB的中点在直线l上”的应用.
解题心得解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示,再利用函数、方程知识建立数量关系.(2)利用向量关系转化成相关的等量关系.(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系.
技巧一　巧用平面几何性质
解析 设椭圆C的左焦点为F',则|PF|+|PF'|=4,所以|PF|=4-|PF'|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-4.如图,易知当点P在线段AF'上时,|PA|+|PF'|取最小值
解题心得解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,找到解题的关键.
技巧二　设而不求,整体代换
解题心得本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.
技巧三　巧用“根与系数的关系”,化繁为简【例3】 已知椭圆 +y2=1的左顶点为A,过点A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点.(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.
解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.
技巧四　巧妙“换元”减少运算量
(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,若直线l与椭圆C交于M,N两点,求△OMN面积的最大值.