2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第八章 平面解析几何 8.1　坐标法、直线的倾斜角与斜率

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1.平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上两点间的距离公式如果数轴上点A,B的坐标为A(x1),B(x2),则两点之间的距离公式如果M(x)是线段AB的中点,则数轴上的中点坐标公式　　　　　　. (2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= =　　 　　　　　　;若M(x,y)是线段AB的中点,则平面直角坐标系内的中点坐标公式x=　　　　　　,y=　　　　　　. 
2.坐标法通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过　　　　　等解决问题的方法称为坐标法. 3.直线的倾斜角(1)定义:一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按　　　　　方向旋转到　　　　　　时所转的最小　　　　记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角. (2)当直线与x轴平行或重合时,规定该直线的倾斜角为　　. (3)倾斜角θ的取值范围是　　　　　　. 
4.直线的斜率(1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称　　　　　为直线l的斜率;当　　　　时,称直线l的斜率不存在. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当　　　　时,直线l的斜率为 ,当　　　　时,直线l的斜率不存在. 
5.直线的方向向量(1)一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l　　　　　,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作a∥l. (2)如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定　　　　. (3)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则 =　　　　　　是直线l的一个方向向量. 6.直线的法向量一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作v⊥l.
(x2-x1,y2-y1)
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.(　　)(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(　　)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)(4)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.(　　)(5)直线的方向向量与法向量不唯一.(　　)
2.如图所示,直线l的倾斜角为(　　)A.30°　　　　　B.60°C.120°D.以上都不对
答案 C　解析 根据倾斜角的定义知,直线l的倾斜角为30°+90°=120°.
3.已知A(2,4),B(-1,3),则A,B两点间的距离为　　　　. 
4.直线l经过点A(2,1)和B(-5,-2),则直线l的一个方向向量为　　　　. 
答案 (-7,-3)　
5.已知三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,实数a的值为　　　　. 
【例1】 已知△ABC的三个顶点分别是A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.
解题心得判断三角形形状的方法(1)采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.(2)利用两点间的距离公式,分别计算三角形三边的长度,根据三角形边的长度特征,主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.
对点训练1若等腰三角形ABC的顶点A为(3,0),底边BC的长为4,BC边的中点为D(5,4),求等腰三角形ABC的腰长.
【例2】 如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,利用坐标法证明梯形ABCD的对角线|AC|=|BD|.
证明 建立如图所示平面直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).
解题心得利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立平面直角坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;(2)用坐标表示有关的量;(3)将几何关系转化为坐标运算;(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
对点训练2已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系.证明:|AM|= |BC|.
证明 以Rt△ABC的顶点A为坐标原点,直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),斜边BC的中点为M,
【例3】 (多选)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　)A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.α-45°
答案 AB　解析 因为0°≤α