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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.4 二次函数与一元二次方程、不等式
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.4 二次函数与一元二次方程、不等式，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，常用结论，考点自诊，答案C，答案D，答案A等内容，欢迎下载使用。
案例探究(一) 二次函数的零点分布问题
1.二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为顶点坐标;零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为二次函数的零点.
2.二次函数的图像和性质
3.一元二次方程(1)定义:ax2+bx+c=0(a≠0)可看作令一元二次函数的函数值为0得到的.(2)一元二次方程的根的判别方法:①当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;③当Δ<0时,方程无实数根,但有2个共轭复数根.(3)一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理):
(4)一元二次方程的求解方法:①开平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的开平方求解;②配方法:将二次方程配成(x+m)2=p的形式,再利用开平方法;
4.一元二次不等式(1)定义:ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0),即二次函数的函数值大于0或小于0.(2)求不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解,先求其对应一元二次方程的根,再结合其对应的二次函数的图像确定解的范围.
5.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|xx2}
{x|x10或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.3.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max;a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.4.能成立问题的转化:a>f(x)能成立⇒a>f(x)min;a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2.(2020山东菏泽一模,2)若集合A={x|y= },B={x|x2-x-2≤0},则A∩B=( )A.[-1,1]B.[-1,2]C.[1,2]D.(-1,1]
答案 A 解析 易知A={x|y= }={x|x≤1},B={x|-1≤x≤2},所以A∩B={x|-1≤x≤1}.故选A.
3.(2020山东烟台一模,3)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+2x-3>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A 解析不等式|x-2|<1的解集为(1,3),不等式x2+2x-3>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞).因为(1,3)⊆(-∞,-3)∪(1,+∞),故选A.
4.函数y=x2+ax+6在[ ,+∞）上单调递增,则a的取值范围为( )A.a≤-5B.a≤5C.a≥-5D.a≥5
5.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是 .
答案 [-1,2] 解析 f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4.当x=2时,f(2)=4.由f(x)=-x2+4x=-5,得x=5或 x=-1.所以要使f(x)在[m,5]上的值域是[-5,4],则-1≤m≤2.
【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
解 (方法1)(利用一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
(方法3)(利用两根式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.解得a=-4或a=0(舍去).∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
变式发散1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.
解 设f(x)=ax(x+2).因为函数f(x)的最大值为8,所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.
变式发散2将本例中条件变为:二次函数f(x)的图像经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且∀x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.
解 因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.又f(x)的图像在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又f(x)的图像过点(4,3),所以3a=3,所以a=1.所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
考向1 二次函数的单调性及应用【例2】 (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是 . (2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是单调递减的,则实数a的取值范围是( )A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]
答案 (1)[4,+∞) (2)D 解析 (1)f(x)=-x2+2ax+3对称轴方程为x=a,f(x)在区间(-∞,4)上单调递增,所以a≥4.故a的取值范围为[4,+∞).(2)当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.
解题心得二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论.
对点训练1(1)已知函数 在R上为增函数,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[1,+∞) C.(-∞,2]D.[2,+∞)(2)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)>f(cx)D.与x有关,不确定
答案(1)D (2)A
(2)由题意知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,∴b=2.又f(0)=3,∴c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.
考向2 二次函数的最值问题【例3】 (1)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),x∈R,则函数f(x)的最小值是 . (2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4,则a的值为 .
解析(1)令x+2 016=t,则f(t-2 016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t4-10t2+9=(t2-5)2-16,当t2=5时,有最小值-16,故f(x)的最小值是-16.(2)对函数f(x)=a(x+1)2+1-a,①当a=0时,f(x)在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;
解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.
(2)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a= .
答案(1)D (2)1 解析(1)设x<0,则-x>0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2.又∵f(-x)=f(x),∴当x<0时,f(x)=(x+1)2,依题意,n≤f(x)≤m恒成立,则n≤0,m≥1,即m-n≥1,故m-n的最小值为1.(2)因为函数f(x)=x2-ax-a的图像为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.
考向3 与二次函数有关的恒成立问题【例4】 设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )
解题心得由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
对点训练3已知函数f(x)=x2+2(a-2)x+4,若∀x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 .
考向4 二次函数中的双变量问题【例5】 已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈ [-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 .
解析对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)⇔在[-1,2]上g(x)的值域⊆f(x)的值域,g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上的值域为[2-a,2+2a],因为f(x)=x2-2x在[-1,2]的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,即f(x)在[-1,2]的值域为[-1,3].
解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[c,d],使得g(x1)=f(x0)等价于g(x1)在[a,b]上的值域是f(x0)在[c,d]上的值域的子集.
对点训练4(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈(-∞,-1],使f(x1)≤g(x2),则实数a的最大值为( )A.6B.4C.3D.2
考向1 一元二次方程与一元二次不等式【例6】 关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为( )A.-2B.-1C.1D.2
答案 B 解析依题意,得q,1是方程x2+px-2=0的两根,q+1=-p,即p+q=-1,故选B.
考向2 二次函数与一元二次方程【例7】 已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为( )A.{0,-3}B.[-3,0]C.(-∞,-3]∪[0,+∞)D.{0,3}
答案 A 解析 因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以f(x)=0有两个相等的实数根,所以Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,解得m=-3或m=0,所以实数m的取值范围为{0,-3},故选A.
考向3 二次函数与一元二次不等式【例8】 已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x2-3x|,则不等式f(x)≤2的解集为 .
解析x≥0时,f(x)=|x2-3x|,当0≤x≤3时,f(x)=-x2+3x,f(x)≤2即-x2+3x≤2,解得x≤1或x≥2,∴0≤x≤1或2≤x≤3.
解题心得对于二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0),f(x)>0的x的范围即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
对点训练5(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
案例探究(一) 二次函数的零点分布问题
【例1】 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)两个正根;(2)有两个负根;(3)有一正一负根.思考对于(1)(2)(3)都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?
【例2】 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?
解令f(x)=x2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1,故m的取值范围为(-∞,1).
【例3】 将探究2的问题一般化,即关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图像,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m,n)内,另一根在(p,q)内;(2)两个根都在(m,n)内.
解(1)设f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足题意的图像如图,
归纳小结 设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)
案例探究(一) 二次函数的零点分布问题
1.二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为顶点坐标;零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为二次函数的零点.
2.二次函数的图像和性质
3.一元二次方程(1)定义:ax2+bx+c=0(a≠0)可看作令一元二次函数的函数值为0得到的.(2)一元二次方程的根的判别方法:①当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;③当Δ<0时,方程无实数根,但有2个共轭复数根.(3)一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理):
(4)一元二次方程的求解方法:①开平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的开平方求解;②配方法:将二次方程配成(x+m)2=p的形式,再利用开平方法;
4.一元二次不等式(1)定义:ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0),即二次函数的函数值大于0或小于0.(2)求不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解,先求其对应一元二次方程的根,再结合其对应的二次函数的图像确定解的范围.
5.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|x
{x|x1
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2.(2020山东菏泽一模,2)若集合A={x|y= },B={x|x2-x-2≤0},则A∩B=( )A.[-1,1]B.[-1,2]C.[1,2]D.(-1,1]
答案 A 解析 易知A={x|y= }={x|x≤1},B={x|-1≤x≤2},所以A∩B={x|-1≤x≤1}.故选A.
3.(2020山东烟台一模,3)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+2x-3>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A 解析不等式|x-2|<1的解集为(1,3),不等式x2+2x-3>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞).因为(1,3)⊆(-∞,-3)∪(1,+∞),故选A.
4.函数y=x2+ax+6在[ ,+∞）上单调递增,则a的取值范围为( )A.a≤-5B.a≤5C.a≥-5D.a≥5
5.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是 .
答案 [-1,2] 解析 f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4.当x=2时,f(2)=4.由f(x)=-x2+4x=-5,得x=5或 x=-1.所以要使f(x)在[m,5]上的值域是[-5,4],则-1≤m≤2.
【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
解 (方法1)(利用一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
(方法3)(利用两根式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.解得a=-4或a=0(舍去).∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
变式发散1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.
解 设f(x)=ax(x+2).因为函数f(x)的最大值为8,所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.
变式发散2将本例中条件变为:二次函数f(x)的图像经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且∀x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.
解 因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.又f(x)的图像在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又f(x)的图像过点(4,3),所以3a=3,所以a=1.所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
考向1 二次函数的单调性及应用【例2】 (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是 . (2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是单调递减的,则实数a的取值范围是( )A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]
答案 (1)[4,+∞) (2)D 解析 (1)f(x)=-x2+2ax+3对称轴方程为x=a,f(x)在区间(-∞,4)上单调递增,所以a≥4.故a的取值范围为[4,+∞).(2)当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.
解题心得二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论.
对点训练1(1)已知函数 在R上为增函数,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[1,+∞) C.(-∞,2]D.[2,+∞)(2)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)>f(cx)D.与x有关,不确定
答案(1)D (2)A
(2)由题意知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,∴b=2.又f(0)=3,∴c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.
考向2 二次函数的最值问题【例3】 (1)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),x∈R,则函数f(x)的最小值是 . (2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4,则a的值为 .
解析(1)令x+2 016=t,则f(t-2 016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t4-10t2+9=(t2-5)2-16,当t2=5时,有最小值-16,故f(x)的最小值是-16.(2)对函数f(x)=a(x+1)2+1-a,①当a=0时,f(x)在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;
解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.
(2)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a= .
答案(1)D (2)1 解析(1)设x<0,则-x>0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2.又∵f(-x)=f(x),∴当x<0时,f(x)=(x+1)2,依题意,n≤f(x)≤m恒成立,则n≤0,m≥1,即m-n≥1,故m-n的最小值为1.(2)因为函数f(x)=x2-ax-a的图像为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.
考向3 与二次函数有关的恒成立问题【例4】 设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )
解题心得由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
对点训练3已知函数f(x)=x2+2(a-2)x+4,若∀x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 .
考向4 二次函数中的双变量问题【例5】 已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈ [-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 .
解析对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)⇔在[-1,2]上g(x)的值域⊆f(x)的值域,g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上的值域为[2-a,2+2a],因为f(x)=x2-2x在[-1,2]的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,即f(x)在[-1,2]的值域为[-1,3].
解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[c,d],使得g(x1)=f(x0)等价于g(x1)在[a,b]上的值域是f(x0)在[c,d]上的值域的子集.
对点训练4(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈(-∞,-1],使f(x1)≤g(x2),则实数a的最大值为( )A.6B.4C.3D.2
考向1 一元二次方程与一元二次不等式【例6】 关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为( )A.-2B.-1C.1D.2
答案 B 解析依题意,得q,1是方程x2+px-2=0的两根,q+1=-p,即p+q=-1,故选B.
考向2 二次函数与一元二次方程【例7】 已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为( )A.{0,-3}B.[-3,0]C.(-∞,-3]∪[0,+∞)D.{0,3}
答案 A 解析 因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以f(x)=0有两个相等的实数根,所以Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,解得m=-3或m=0,所以实数m的取值范围为{0,-3},故选A.
考向3 二次函数与一元二次不等式【例8】 已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x2-3x|,则不等式f(x)≤2的解集为 .
解析x≥0时,f(x)=|x2-3x|,当0≤x≤3时,f(x)=-x2+3x,f(x)≤2即-x2+3x≤2,解得x≤1或x≥2,∴0≤x≤1或2≤x≤3.
解题心得对于二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0),f(x)>0的x的范围即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
对点训练5(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
案例探究(一) 二次函数的零点分布问题
【例1】 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)两个正根;(2)有两个负根;(3)有一正一负根.思考对于(1)(2)(3)都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?
【例2】 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?
解令f(x)=x2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1,故m的取值范围为(-∞,1).
【例3】 将探究2的问题一般化,即关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图像,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m,n)内,另一根在(p,q)内;(2)两个根都在(m,n)内.
解(1)设f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足题意的图像如图,
归纳小结 设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)
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