华师大版九年级下册3. 圆周角教案

27.1 圆的认识

3.圆周角

教学目标

【知识技能】

1.理解圆周角的定义.

2.理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.

3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算.

【数学思考与问题解决】

1.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行试验、猜想、论证，从而得到新知的能力.

2.通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；培养学生的归纳和逻辑推理能力.

【情感态度】

1.经历探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力.

2.通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.

【重点难点】

重点：圆周角定理及运用.

难点：运用数学分类的思想证明圆周角定理.

教学过程

一、情境导入

如图，同学们能找到圆心角吗?它具有什么样的特征?(顶点在圆心)今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角.

二、问题探究

探究1 圆周角

(1)究竟什么样的角是圆周角呢?像上图(3)中的角就叫做圆周角，而上图中(1)(2)(4)(5)中的角都不是圆周角.上图(3)中的角有哪些特点?同学们可以通过讨论归纳判断一个角是不是圆周角.

师生讨论归纳，得出结论：顶点在圆周上并且两边和圆相交的角叫圆周角.

(2)针对练习1 找出下图中的圆周角.

探究2直径上圆周角的性质

(1)画⊙O与其直径AB，任意画一个圆周角∠ACB，互相交流一下，你们所画的图形完全一样吗?这说明了什么?(不一样，说明一条弦所对的圆周角有无数个.)

(2)用量角器量量看，∠ACB的度数如何?

(90°)

(3)由此你能猜想出什么结论?

(通过测量，让学生初步认识到直径所对的圆周角等于90°.)

(4)请用逻辑推理的方法，说明你的猜想正确.

证明：如右图，因为OA=OB=OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，所以∠ACB=∠OCA+∠OCB==90°.因此，不管点C在⊙O上何处(除点A、B)，∠ACB总等于90°.

归纳：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).反过来也是成立

的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

(5)针对练习2 如图，AB是⊙O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.

探究3 同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系

(1)如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角?它们有何共同点?

(∠ADB、∠ACB分别是⊙O的圆周角；∠AOB是圆心角；它们都是AB所对的角.)

(2)分别量一量上图中AB所对的两个圆周角的度数并比较一下.再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.你发现其中有什么规律吗?

(圆周角的度数没有变化.)

(3)分别量出图中AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么?

(圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.)

(4)由此你能猜想出什么结论?

在同一个圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.

(5)如图所示，你能为你的猜想结论说明理由吗?

因为OA=OC，所以∠A=∠C，又由于∠AOB是△OAC的外角，所以∠AOB=∠A+∠C，所以∠C=∠AOB.

(6)如上图中的圆心角和圆周角都有一边过圆心，这只是一种特殊情况；想一想，并画画看，还可以画出哪些不同的图形?

学生小组合作交流，得出如图①、图②两种情况.

(7)你能证明这两种情况下猜想是否成立吗?

教师指出这两种情况仍然成立，引导学生将图①、图②转化为图③、图④中的情形，为此只需过C作⊙O的直径即可，具体让学生证明.

结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.(圆周角定理)

(8)针对练习3 教材第44页练习第1、2题.

探究4 圆内接四边形及性质

(1)你能根据圆周角与圆心角的关系，解下列问题吗?

(2)已知∠A的度数，你能求出∠C的度数吗?

学生讨论解决，得出要求圆周角的度数需求出相应圆心角的度数.为此需作出相应的圆心角，然后利用圆心角与圆周角的关系求.

学生完成当∠A分别为60°、90°、100°时，求∠C的度数，并归纳出∠A与∠C的关系.

(2)在学生完成的基础上，教师归纳：

①如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.

②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

思考：你能证明圆内接四边形的性质吗?

(3)练习：已知ABCD为圆内接四边形，∠A:∠C=1:2，则∠A=______.

三、巩固运用

【例1】 (教材第44页例3)试分别求出下图中∠x的度数.

【例2】 已知，如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交

AC于E.求证：BD=DE.

说明：例1让学生独立完成，然后统一答案讲评；例2引导学生分析出要证

BD=DE，只需证明它们所对的圆周角相等即可，为此需连结AD，证明∠BAD=∠CAD，然后让学生完成证明过程.

巩固练习

1.教材第44页练习第3题.

2.教材习题27.1第5题.

3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，若∠ABD=40°，则∠BCD=______.

四、本课小结

本节课你有什么收获?

知识总结：本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用它们解决相关问题.

方法归纳：在探索一个新的结论或事物的时候，往往要遵循从感性到理性、从特殊到一般的思想.

五、作业

1.教材习题27.1第6题.

2.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于 (    )

A.140°    B.110°     C.120°     D.130°

3.半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为______.

4.如右图所示，AB是⊙O的直径，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠ABC的度数

5.思考：(1)用尽量多的方法找出图中所示圆的圆心.

(2)在同一个圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?为什么?相等的圆周角所对的弦相等吗?为什么?

板书设计

                        圆周角

半圆或直径所对的圆周角都相等，都为90°，反过来，90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

圆周角定理及推论：

例1：

例2：