广西专用高考数学一轮复习考点规范练54随机事件的概率含解析新人教A版文

考点规范练54　随机事件的概率

基础巩固

1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A,则下列推断正确的是(　　)

A.事件A发生的概率等于

B.事件A发生的概率等于

C.事件A是不可能事件

D.事件A是必然事件

2.(2021广西防城港模拟)将黑桃A、红心A、方块A、梅花A四张不同花色的扑克牌分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得一张牌,则事件“甲分得黑桃A”与事件“乙分得黑桃A”是(　　)

A.不可能事件 

B.对立事件

C.不是互斥事件 

D.互斥但不对立事件

3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A为“抽到一等品”,事件B为“抽到二等品”,事件C为“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)

A.0.7 B.0.65

C.0.35 D.0.5

4.(2021云南昆明一中模拟)根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为O型49%,A型19%,B型25%,AB型7%.已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任何一种血型的人输血,AB型血的人可以接受任何一种血型的血,其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为B型的病人需要输血,若在该地区任选一人,则能为该病人输血的概率为(　　)

A.25% B.32%

C.74% D.81%

5.(2021广东惠州模拟)某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20 ℃,25 ℃),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1,则x的值为(　　)

A.100 B.300

C.400 D.600

6.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　. 

7.在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在[80,90]的概率是0.48,在[70,80)的概率是0.11,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算:

(1)x的值;

(2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率;

(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.

8.在某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:

(1)P(A),P(B),P(C);

(2)1张奖券的中奖概率;

(3)1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率.

能力提升

9.当调查敏感问题时,一般难以获得到被调查者的合作,所得结果可能不真实,此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查.

为调查某大学学生谈恋爱的比例,提出问题如下:

问题1:你现在谈恋爱吗?问题2:你学籍号尾数是偶数吗?

设计了一副纸牌共100张,其中75张标有数字1,25张标有数字2.随机调查了该校1 000名学生,每名学生任意抽取一张纸牌.若抽到标有数字1的纸牌回答问题1;若抽到标有数字2的纸牌回答问题2,回答“是”或“否”后放回.统计显示共有200名学生回答“是”,估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是(　　)

A.10% B.20%

C.25% D.45%

10.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示.

(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;

(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.

11.袋中有除颜色外其他均相同的12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,分别求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少.

12.(2021四川天府名校5月诊断)成都市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如表所示(单位:吨):

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=450.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.

注:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中为数据x1,x2,…,xn的平均数.

高考预测

13.某中学高一年级有1 000名学生,他们选考科目的情况如表所示:

从这1 000名学生中随机抽取1人,分别设:

事件A=“该生选了物理”;事件B=“该生选了化学”;事件C=“该生选了生物”;事件D=“该生选了思想政治”;事件E=“该生选了历史”;事件F=“该生选了地理”.

(1)求P(B),P(DEF).

(2)求P(C∪E),P(B∪F).

(3)事件A与D是否相互独立?请说明理由.

答案：

1.D　解析因为从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故选D.

2.D　解析甲、乙两人不可能同时分得黑桃A,所以是互斥事件;甲、乙两人可能都得不到黑桃A,所以不是对立事件,因此是互斥但不对立事件.

3.C　解析∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,

∴所求概率为1-P(A)=0.35.

4.C　解析由题意可知,能为B型血病人输血的有O型和B型,因此,在该地区任选一人能为病人输血的概率为49%+25%=74%.

5.B　解析由表格数据知,最高气温低于25℃的频率为=0.1,

所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.

6.0.98　解析由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.

7.解(1)分别记小江的成绩在90分以上,[80,90),[70,80),[60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件.

由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,

由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,

因此x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.

(2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A∪B),

P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.

(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为P()=1-P(E)=1-0.07=0.93.

8.解(1)由题意可知P(A)=,

P(B)=,

P(C)=.

故事件A,B,C的概率分别为.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.

设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C.

∵A,B,C两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=.

故1张奖券的中奖概率为.

(3)设“1张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,

故P(N)=1-P(A∪B)=1-,

即1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率为.

9.A　解析由题意得回答问题2的学生有1000×=250人,

故回答问题2的学生有250×=125人回答是,

则回答问题1的学生有750人,其中200-125=75人回答是,

因此该大学学生现在谈恋爱的百分比是×100%=10%.

故选A.

10.解(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的概率为.

(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是.据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为.

11.解(方法一)从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,

则P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,

P(C∪D)=P(C)+P(D)=,

P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-,解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,

因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是.

(方法二)设红球有n个,则,即n=4,即红球有4个.

又得到黑球或黄球的概率是,所以黑球和黄球共有5个.

又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3个.

又得到黄球或绿球的概率也是,所以黄球和绿球共有5个,而绿球有3个,所以黄球有5-3=2个.所以黑球有12-4-3-2=3个.

因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是.

12.解(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.

(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确.

事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量,即P()==0.8,

所以P(A)=1-0.8=0.2.

(3)当a=450,b=c=0时,s2取得最大值.

因为(a+b+c)=150,

所以s2=×[(450-150)2+(0-150)2+(0-150)2]=45000.

13.解(1)事件B=“该生选了化学”,

由题意得1000名学生中选化学的学生有300+100+100=500(名),

故P(B)=.

事件D=“该生选了思想政治”;事件E=“该生选了历史”;事件F=“该生选了地理”.

由题意得1000名学生中同时选思想政治、历史、地理的学生有200名,

故P(DEF)=.

(2)事件C=“该生选了生物”,事件E=“该生选了历史”,

由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有300+200+200+100=800(名),

故P(C∪E)=.

事件B=“该生选了化学”,事件F=“该生选了地理,

由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有300+200+100+200+100+100=1000(名),

故P(B∪F)==1.

(3)事件A=“该生选了物理”,事件D=“该生选了思想政治”,

事件A与D相互独立.理由如下:

由题意得选择物理与否与选择思想政治无关,

选择思想政治与否与选择物理无关,

故事件A与D相互独立.