广西专用高考数学一轮复习考点规范练55古典概型含解析新人教A版文

考点规范练55　古典概型

基础巩固

1.在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)

A. B. C. D.

2.从某班5名学生(其中男生3人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动,则所选3人中至少有1名女生的概率为(　　)

A. B. C. D.

3.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.袋中有5个球,这些球除了颜色和标号外,其余均相同,其中红色球3个,标号分别为1,2,3;蓝色球2个,标号分别为1,2.从袋中任取两个球,则这两个球颜色不同,且标号之和不小于4的概率为(　　)

A. B. C. D.

5.(2021四川泸州诊断)投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏,在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图,

假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者,且甲、乙、丙每次投壶时,投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次,则这3人中至多有1人投中的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

6.(2021贵州毕节三模)一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球,从中有放回地摸球3次,每次摸一个球.用模拟实验的方法,让计算机产生1~9的随机数,若1~4代表白球,5~9代表黑球,每三个为一组,产生如下20组随机数:

917　966　191　925　271　932　735　458　569　683

431　257　393　627　556　488　812　184　537　989

则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为(　　)

A. B. 

C. D.

7.北京公交101路是北京最早的无轨电车之一,最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车,甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车,乙将在神路街站之前的任意一站下车,他们都至少坐一站再下车,则甲比乙后下车的概率为(　　)

A. B.

C. D.

8.某种机器使用三年后即被淘汰,该机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个a元;在机器使用期间,若备件不足再购买,则每个2a元.某人在购买该机器前,搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到柱状图如下图所示.若以频率为概率,估计此人购机时购买20个备件,在机器淘汰时备件有剩余的概率为　　　　　. 

9.已知蒸笼中共蒸有5个外形和大小完全相同的包子,其中2个香菇青菜包、1个肉包、1个豆沙包、1个萝卜丝包,现从蒸笼中任取2个包子,则取出的这2个包子中有香菇青菜包的概率为　　　　　. 

10.(2021云贵川桂第三次联考)某企业有甲、乙、丙三个部门,其员工人数分别为24,16,8.现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查.

(1)现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查,求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率.

(2)将该企业所有员工随机平均分成4组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验;若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验.已知每组化验结果呈阴性的概率都为,记Bi(i=1,2,3,4)为“第i组化验结果呈阴性”,(i=1,2,3,4)为“第i组化验结果呈阳性”,请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率.

11.某游乐园为吸引游客,推出了一项有奖转盘活动.如图,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,每名游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下:

①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况则奖励饮料一瓶.

(1)求在一次活动中小亮获得玩具的概率;

(2)请比较一次活动中小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

能力提升

12.(2021广西钦州模拟)我国古代的《易经》中有两类最基本的符号:“”和“”,若将“”记作二进制中的“1”,“”记作二进制中的“0”.如符号“”对应二进制数1100(2),化为十进制数计算如下:1100(2)=1×23+1×22+0×21+0×20=12.若从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放,则得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为(　　)

A. B. C. D.

13.(2021贵州毕节二模)已知a,b∈{-2,-1,1,2},若向量m=(a,b),n=(1,1),则向量m与n所成的角为锐角的概率是(　　)

A. B. C. D.

14.(2021云南昆明模拟)若从正六边形的6个顶点和中心共7个点中随机选出3个点,以选出的这3个点为顶点构成直角三角形的概率为　　　　. 

15.国际上常用恩格尔系数(食品支出总额占个人消费支出总额的比重)反映一个国家或家庭生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小,对世界各国的生活质量有一个划分标准如下:

下表记录了我国在改革开放后某市A,B,C,D,E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.

(1)从以上五个年份中随机选取一个年份,求在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率;

(2)从以上五个家庭中随机选出两个家庭,求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率;

(3)如果将“贫穷”“温饱”“小康”“相对富裕”“富裕”“极其富裕”六种生活质量分别对应数值:0,1,2,3,4,5.请写出A,B,C,D,E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭(结论不要求证明).

高考预测

16.(2021广西河池模拟)北方某村庄有4个草莓基地,采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美,一上市便成为消费者争相购买的对象.光照是影响草莓生长的关键因素,过去50年的资料显示,该村庄一年当中12个月份的月光照量X(单位:小时)的频率分布直方图如图所示(注:月光照量指的是当月阳光照射总时长).

(1)求月光照量X的平均数和中位数;(取各组数据的中点值)

(2)现准备按照月光照量来分层抽样,抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况,问:应在月光照量X∈[160,240),X∈[240,320),X∈[320,400]的区间内各抽取多少个月份?

(3)假设每年中最热的5,6,7,8,9,10月的月光照量X大于等于240小时,且6,7,8月的月光照量X大于等于320小时,那么,从该村庄2020年的5,6,7,8,9,10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查,求抽取到的2个月份的月光照量X都不低于320的概率.

答案：

1.C　解析由题意可知总的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共4种,

其中数字2是取出的三个不同数的中位数的有(2,0,5),(2,1,5),共2种,

故所求的概率为.

2.A　解析记3名男生分别为a1,a2,a3,2名女生分别为b1,b2,从这5名学生中任选3名学生的情况有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10种,所选的3名学生中至少有1名女生的情况有(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共9种,故所求概率为,选A.

3.B　解析依题意,以(x,y)为坐标的点共有6×6=36(个),其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率为.

4.A　解析设红球为A1,A2,A3,蓝色球为B1,B2,任取两个球,总的事件包括:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A1A2,A1A3,A2A3,B1B2,共10个,

其中满足题意的有A2B2,A3B1,A3B2,共3个,

所以这两个球颜色不同,且标号之和不小于4的概率为.

5.C　解析甲、乙、丙3人投中与否的所有情况为:(中,中,中),(中,中,不中),(中,不中,中),(中,不中,不中),(不中,中,中),(不中,中,不中),(不中,不中,中),(不中,不中,不中),共8种,其中至多有1人投中的有4种,故所求概率为.

6.B　解析20组随机数恰好有两个是1,2,3,4球的有191,271,932,393,812,184共6个,因此概率为P=.

7.D　解析甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站,关东店站,东大桥路口西站、神路街站,

乙下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站.

所以甲、乙下车的所有情况共有20种,其中甲比乙后下车的情况共有10种.

故甲比乙后下车的概率为P=.故选D.

8.　解析三年使用期内更换的易损零件数小于20个的频率为,此人购机时购买20个备件,在机器淘汰时备件有剩余的概率为.

9.　解析不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.

记“取出的2个包子中有香菇青菜包”为事件A,

则事件A包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7个.

故所求的概率为P(A)=.

10.解(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶1,

由于采用分层抽样的方法从中抽取6人,

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、1人.

该企业总共有24+16+8=48名员工,

记事件A:“任意一位被抽到”,由于每位员工被抽到的概率相等,所以每一位被抽到的概率为P(A)=.

(2)记“恰有两个组需要进一步逐个化验”为事件B,

所有分组的化验结果有16种,分别为:(B1,B2,B3,B4),(,B2,B3,B4),(B1,,B3,B4),(B1,B2,,B4),(B1,B2,B3,),(,B3,B4),(,B2,,B4),(,B2,B3,),(B1,,B4),(B1,,B3,),(B1,B2,),(,B4),(,B3,),(,B2,),(B1,),(),其中恰有两个组化验结果呈阳性﹐即需要进一步逐个化验的情况有6种,分别为:(,B3,B4),(,B2,,B4),(,B2,B3,),(B1,,B4),(B1,,B3,),(B1,B2,).

每组化验结果呈阴性与阳性互为对立,所以每组化验结果呈阳性的概率都为,

则上述每个结果出现的可能性都相等,

所以恰有两个组需要进一步逐个化验的概率P(B)=.

11.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,

则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.

因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数为n=16.

记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共有5个,

即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=,故小亮获得玩具的概率为.

(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,则事件B包含的基本事件共有6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),

所以P(B)=.

同理可得,事件C包含的基本事件共有5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=.

因为,所以一次活动中小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

12.B　解析根据题意,从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放,即是由两个1和两个0构成二进制数,所有情况如下:

0011(2)=1×21+1×20=3,0101(2)=1×22+1×20=5,

0110(2)=1×22+1×21=6,1001(2)=1×23+1×20=8,

1010(2)=1×23+1×21=10,1100(2)=1×23+1×22=13,

得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为.

13.B　解析向量m与n所成的角为锐角等价于m·n>0,且m与n不同向,

则m·n=(a,b)·(1,1)=a+b>0,则满足的向量m有(-1,2),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其中m=(1,1)或(2,2)时,与n同向,故舍去,共有4种情况满足条件.

又m的取法共有4×4=16种,则向量m与n所成的角为锐角的概率是.

14.　解析如图,

正六边形的中心和顶点共7个点,随机选3个点,共有=35种方法.

在一条直线上的三点有3种情况,故符合题意的三角形有35-3=32个.

能构成直角三角形的,如图所示,以AB为例,以AB为直角边的三角形有△ABE,△ABD,

同理,每条边上都有2个,共有6×2=12个,

所以,以选出的这3个点为顶点构成直角三角形的概率为P=.

15.解(1)从以上五个年份中随机选取一个年份,基本事件总数n=5,

在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本事件个数m=1,故在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率P=.

(2)在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A,B,C三个家庭,从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种,其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE共有9种.

记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M,

则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率P(M)=.

(3)如果将“贫穷”“温饱”“小康”“相对富裕”“富裕”“极其富裕”六种生活质量分别对应数值:0,1,2,3,4,5.

则得到:

生活质量方差最大的家庭是C,方差最小的家庭是E.

16.解(1)根据各频率之和为1,则0.00625×80+(a+a)×80=1,解得a=0.003125.

月光照量X的平均数=80×(200×0.00625+280×0.003125+360×0.003125),

所以=260.

设月光照量X的中位数为X0,则X0∈[240,320].

根据中位数的定义,其左右两边的频率相等,都为0.5,可得0.00625×80+(X0-240)×0.003125=0.5,解得X0=240.

所以月光照量X的中位数为240.

(2)因为月光照量X∈[160,240),X∈[240,320),X∈[320,400]的频率之比为,

所以若准备按照月光照量来分层抽样,抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况,

那么,抽取的月光照量X∈[160,240),X∈[240,320),X∈[320,400]的月份数分别为4×=2,4×=1,4×=1.

(3)由题意,月光照量X∈[240,320)的有5,9,10月,月光照量X∈[320,400]的有6,7,8月,故从该村庄2020年的5,6,7,8,9,10月份之中随机抽取2个月份的月光照量X进行调查,所有的情况有:(5,9),(5,10),(5,6),(5,7),(5,8),(9,10),(9,6),(9,7),(9,8),(10,6),(10,7),(10,8),(6,7),(6,8),(7,8),共15种.

其中,抽取到的2个月份的月光照量X都不低于320的情况有:(6,7),(6,8),(7,8),共3种.

故所抽取到的2个月份的月光照量X都不低于320的概率P=.