2021-2022学年上海市徐汇区田林三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市徐汇区田林三中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）

1. 一次函数的图象一定不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 下列方程中，有实数根的是

A.  B.
C.  D.

3. 对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定

A.  B.  C.  D.

4. 在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为

A.  B.  C.  D.

5. 点、、、在同一平面内，若从这四个条件中选两个，不能推导出四边形是平行四边形的选项是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）

7. 一次函数的图象与直线平行，且在轴上截距是，则它的表达式是______．
8. 方程的根是______．
9. 已知一次函数的函数值随着自变量的值增大而减小，那么实数的取值范围是______．
10. 如图，一次函数，当函数值时，的取值范围是______．

11. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化成关于的整式方程，这个整式方程是______．
12. 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是：和，试写出一个符合要求的方程组______一个即可．
13. 已知一个多边形的内角和是度，那么这个多边形是______边形．
14. ▱中，周长为，对角线交于点，比的周长多，则边______．
15. 平行四边形两邻边分别是和，其中一边上的高是，则平行四边形的面积是______．
16. 如图，是▱的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是______只要填写一种情况．

17. 当 ______时，函数的图象不经过第四象限．
18. 如图，在中，，点、分别在边、上，且将四边形沿直线翻折，点、的对应点分别是点、，如果四边形是平行四边形，那么 ______ 度．
     

三、解答题（本大题共10小题，共64.0分）

19. 解关于的方程：．
20. 解方程：．
21. 解方程：．
22. 解方程组：．
23. 解方程：．
24. 手机的下载速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快秒，求手机的下载速度．
25. 如图，由正比例函数沿轴的正方向平移个单位而成的一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    求的面积．
     

26. 上周六，小明一家共人从家里出发去公园游玩．小明提议：让爸爸开车载着爷爷、奶奶、外公、外婆去，自己和妈妈坐公交车去，最后在公园门口汇合．图中，分别表示公交车与小轿车在行驶中的路程千米与时间分钟的关系，试观察图象并回答下列问题：
    公交车在途中行驶的平均速度为______千米分钟；此次行驶的路程是______千米．
    写出小轿车在行驶过程中与的函数关系式：______，定义域为______．
    小明和妈妈乘坐的公交车出发______分钟后被爸爸的小轿车追上了．

27. 已知：如图，在平行四边形中，点、分别在边和上，且．
    求证：四边形是平行四边形．

28. 将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成三角形，叫做此一次函数的坐标三角形也称为直线的坐标三角形如图，一次函数的图象与，轴分别交于点，，那么为此一次函数的坐标三角形也称直线的坐标三角形．
    如果点在轴上，将沿着直线翻折，使点落在点上，求直线的坐标三角形的面积；
    如果一次函数的坐标三角形的周长是，求的值；
    在条件下，如果点的坐标是，直线上有一点，使得周长最小，且点正好落在某一个反比例函数的图象上，求这个反比例函数的解析式．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
一次函数的图象不经过第三象限，
故选：．
利用一次函数的性质即可确定直线不经过的象限．
本题题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象经过的象限与，的符号的关系．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
因为算术平方根具有非负性，
此时方程无实数根，故本选项不符合题意；
B.，
方程两边都乘，得，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C.，
，
，
因为不论为何值，都不能为负数，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D.，
，
所以此方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：．
移项后得出，根据算术平方根的非负性即可判断；方程两边都乘得出，再进行检验即可判断选项B；求出，根据偶次方的非负性即可判断选项C；求出的值，再根据根的判别式即可判断选项D．
本题考查了解无理方程，解分式方程，根的判别式等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
为偶数时，已知方程有两个实数根，
，
．
故选A．
根据偶数次方的非负性求解．
本题考查高次方程的解，注意偶数次方的非负性是求解本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：一个凸多边形的内角中，最多有个锐角．
故选：．
根据任意凸多边形的外角和是，可知它的外角中，最多有个钝角，则内角中，最多有个锐角．
本题主要考查了内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析，难度适中．
 

5.【答案】

【解析】解：、，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，，一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断．
本题考查了平行四边形的判定，属于基础题型，关键要记准平行四边形的判定方法．
 

6.【答案】

【解析】解：直线与轴，轴分别交于，两点．
旋转前后三角形全等．
由图易知点的纵坐标为长，即为，
横坐标为．
故选：．
旋转不改变图形的大小和性质，所得图形与原图形全等，根据全等三角形的性质，即可得到相应线段的长．
要注意，解题的关键是：旋转前后线段的长度不变．
 

7.【答案】

【解析】解：设所求直线解析式为，
一次函数的图象与直线平行，且在轴上截距是，
，，
所求直线解析式为．
故答案为：．
设所求直线解析式为，先根据两直线平行的问题得到，再根据截距的定义得到，由此得到所求直线解析式为．
本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
 

8.【答案】或

【解析】解：，
，，
解方程得：，，
故答案为：或．
根据已知得出方程，，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程和是解此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：关于的一次函数，随着的增大而减小，
，
解得，．
故答案是：．
根据一次函数的增减性来确定的符号．
本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

10.【答案】

【解析】解：根据图象可知：一次函数交轴于点，随的增大而增大，
当函数值时，的取值范围是：．
故答案为：．
根据图象得出一次函数交轴于点，随的增大而增大，根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求出答案．
本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系的应用，解此题的关键是能根据图象理解一次函数与一元一次不等式的关系，题型较好，是一道容易出错的题目．
 

11.【答案】

【解析】解：设，则
所以原方程可变形为：
方程的两边都乘以，得

即
故答案为：
根据题意，用含的式子表示出方程并整理方程即可
本题考查了换元法．换元法解方程一般四步：设元未知数，换元，解元，还元．
 

12.【答案】．

【解析】解：方程组的解是和，
方程组是满足条件的方程组．
故答案为：．
写出的方程符合：一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组，解是和即可．
本题考查了二元二次方程组，掌握二元二次方程组的解法是解决本题的关键．
 

13.【答案】七

【解析】解：设这个多边形是边形，
则，
解得：，
即这个多边形为七边形，
故答案为：七．
设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程组，从而求出边数的值．
本题考查了多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
 

14.【答案】

【解析】解：在▱中
，，，
▱的周长是，
，
的周长比的周长多
即：
，
解得：，
故答案为：．
根据平行四边形的性质，对边相等，对角线互相平分，所以，的周长比的周长多，则，所以可进行求解．
此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的对边相等，对角线互相平分求解是解题关键．
 

15.【答案】或

【解析】解：平行四边形两邻边分别是和，其中一边上的高是，
平行四边形的面积，或，
故答案为：或．
先根据斜边最长得出平行四边形的边，进而利用平行四边形的面积公式解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的面积公式解答．
 

16.【答案】等

【解析】解：答案不唯一．
连接，交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
先连接，交于由于四边形是平行四边形，那么，，而，利用等式性质易得，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是连接，出现两组对角线．
 

17.【答案】

【解析】解：的图象不经过第四象限，
且，
解得，
故答案为：．
根据题意，可得且，解一元一次不等式组即可．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、翻折变换等知识，解题的关键是证明 是等边三角形，属于中考常考题型．只要证明 是等边三角形即可解决问题．
【解答】

解：如图，

四边形 是由四边形 翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为 ．

 

19.【答案】解：时，
去括号，可得：，
移项，可得：，
系数化为，可得：．
时，，方程无解．
关于的方程：的解是：或无解．

【解析】根据题意，分两种情况：，，根据解一元一次方程的方法，求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

20.【答案】解：去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，解得，，
当时，，故是原方程的解；
当时，，故是原方程的增根．
综上可知，是原分式方程的解．

【解析】先把分式方程化为整式方程，再求出的值，代入最减公分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意进行验根．
 

21.【答案】解：移项得
平方得


，
经检验为增根，舍去；
为原方程的解．
原方程的解为．

【解析】根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根．
 

22.【答案】解：原方程组可化为如下个方程组
，，，，
解方程组得，
解方程组得，
解方程组得，
解方程组得．
故原方程组的解为，，，．

【解析】首先对原方程组进行化简，然后分别重新组合，成为个方程组，最后解这两个方程组即可．
本题主要考查解高次方程，关键在于对原方程组的两个方程进行化简，重新组合．
 

23.【答案】解：设，，则原方程组可化为：
，
，得，
解得，
把代入，得，
，，
，
解得．

【解析】利用换元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握换元法是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：设手机的下载速度是秒，则下载速度是秒，
根据题意得，
解得：，不合题意，舍去，
经检验，是原方程的解，
答：手机的下载速度是每秒．

【解析】设手机的下载速度是秒，则下载速度是秒，根据“比要快秒”列出方程，求解即可．
本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：正比例函数沿轴的正方向平移个单位得到一次函数，
一次函数的解析式为．
点在直线上，
，
．
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．

联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，
，解得：，，
．
设直线与轴的交点为，与轴的交点为，
，，
．

【解析】根据“上加下减”即可求出一次函数的解析式，将代入一次函数解析式中求出值，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式；
联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点的坐标，设直线与轴的交点为，与轴的交点为，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，根据三角形的面积结合即可求出的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标；利用分割图形求面积法求出的面积．
 

26.【答案】；；
；；
．

【解析】解：千米分钟，
千米．
故答案为：；．
设小轿车在行驶过程中与的函数关系式为，
将、代入，
，解得：，
小轿车在行驶过程中与的函数关系式为．
故答案为：；．
公交车在行驶中与的函数关系式为．
联立两函数关系式成方程组，
，解得：，
小明和妈妈乘坐的公交车出发分钟后被爸爸的小轿车追上了．
故答案为：．
根据速度路程时间可求出公交车在途中行驶的平均速度，再由路程速度时间可求出此次行驶的路程；
观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出小轿车在行驶过程中与的函数关系式，观察图象即可找出其定义域；
先求出公交车在行驶中与的函数关系式，再联立两函数关系式成方程组，解方程组即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：根据数量关系，列式计算；观察图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；联立两函数关系式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．
 

27.【答案】证明：在平行四边形中，
，，
．
，
．
．
．
，
四边形是平行四边形．

【解析】平行四边形的对边平行，对角相等，根据此可求出四边形另一组对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，从而可证明．
本题考查平行四边形的性质定理和判定定理，以及平行线的判定定理，本题用两组对边平行的四边形是平行四边形进行证明．
 

28.【答案】解：将代入得，
．
．
又，
．
．
由翻折的性质可知；．
，，
．
直线的坐标三角形的面积．
设，则．
在中，由勾股定理得：，即，解得：，
．
将点的坐标代入得：，解得：，
直线的解析式为．
如图：连接交于点．

点与点关于对称，
．
．
当点、、在一条直线上时，有最小值．
又的长度不变，
当点、、在一条直线上时，的周长最小．
设直线的解析式为．
将，代入得：，解得：，，
直线的解析式为．
点与点关于对称，
直线与的交点坐标为．
将代入得：，解得：．
直线的解析式为．
将与联立，解得：，
．
设反比例函数的解析式为．
，
反比例函数的解析式为．

【解析】先求得点的坐标，从而得到，由翻折的性质可知，依据勾股定理可求得的长，依据三角形的面积公式求解即可；
设，则，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到点的坐标，由、的坐标可求得直线的解析式；
连接交于点，由轴对称的性质可知当点、、在一条直线上时，的周长最小，然后再求得直线的解析式，将的解析式与的解析式联立可求得点的坐标，从而可求得反比例函数的解析式．
本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，明确当点、、在一条直线上时，的周长最小是解题的关键．