2021-2022学年上海市闵行区纪王学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市闵行区纪王学校八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 下列函数中，是一次函数的是

A.  B.  是常数
C.  D.

2. 如果关于的方程无解，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D. 任意实数

3. 下列方程中没有实数解的是

A.  B.
C.  D.

4. 在下列命题中，是真命题的是

A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

5. 一列火车到某站已经晚点分钟，如果将速度每小时加快千米，那么继续行驶千米便可以在下一站正点到达，设火车原来行驶的速度是千米小时，求火车原来行驶的速度可列方程为

A.  B.
C.  D.

6. 在中，点、、分别在、、上，且，，则下列三种说法：
   如果，那么四边形是矩形
   如果平分，那么四边形是菱形
   如果且，那么四边形是菱形
   其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）

7. 一次函数的图象在轴上的截距为______．
8. 如果把直线沿轴向上平移个单位，那么得到的直线的表达式为______．
9. 关于的方程：是二项方程，______．
10. 方程的解是______．
11. 已知一次函数图象过点，那么当的值增大时，函数的值随之______填“增大”或填“减小”
12. 一个多边形的内角和等于度，那么它的边数是______．
13. 如果关于的一次函数的图象不经过第三象限，那么的取值范围______．
14. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程，这个方程是______．
15. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是______．
    
     

16. 已知菱形有一个内角为，一条对角线长为，那么菱形的边长为______．
17. 如图，已知是正方形对角线上一点，且，则度数是______度．
    
     

18. 如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作、，垂足分别为、，如果，，那么的值为______．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

19. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共46.0分）

21. 解方程组：
    
    
    
    
    
    
     
22. 某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要面彩旗．后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加，且必须提前天完成生产任务．该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产面彩旗，请问该厂实际每天生产多少面彩旗？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线经过点，它与轴交于点，点在轴正半轴上，且．
    求直线的函数解析式；
    若直线也经过点，且与轴交于点，如果的面积为，求点的坐标．

24. 一果农带了若干千克自产的苹果进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又半价售完剩下的苹果．售出苹果千克数与他手中持有的钱数含备用零钱的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
    果农自带的零钱是多少？
    降价前他每千克苹果出售的价格是多少？
    降价售完剩余苹果后，这时他手中的钱含备用零钱是元，问果农一共带了多少千克苹果？

25. 如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，过点作，交的延长线于点．
    求证：；
    若，求证：四边形是菱形．

26. 已知：如图，正方形的边长为，动点从点出发，沿着的方向以每秒钟个单位长度的速度匀速运动，当点到达点时运动停止．联结，以为边作正方形设运动的时间为秒．
    如图，当点在边上时，联结，求证：；
    如图，当点在边上时，设正方形与正方形重叠部分的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
    直接写出，在点的运动过程中，对应的点的运动路径的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，不是一次函数，故A不符合题意；
B、 是常数，是一次函数，故B不符合题意；
C、，是二次函数，故C不符合题意；
D、，是一次函数，故D符合题意；
故选：．
根据一次函数的定义，形如 是常数，，即可判断．
本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故选：．
根据等式不相等，可得答案．
本题考查了解一元一次方程，根据题意得出关于的方程是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．，
，
两边平方，得，
解得：，
经检验是原方程的解，
即原方程有实数解，故本选项不符合题意；
B.，
移项，得，
算术平方根具有非负性，
此时方程没有实数根，故本选项符合题意；
C.，
方程两边都乘，得，
即，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，
即原方程有实数解，故本选项不符合题意；
D.，
，
所以方程有实数解，故本选项不符合题意；
故选：．
方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项A；移项后根据算术平方根的非负性即可判断选项B；方程两边乘得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项C；根据根的判别式即可判断选项D．
本题考查了解分式方程，根的判别式和解无理方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程、能把分式方程转化成整式方程和能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；
C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形，为真命题，故选项C是正确的；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D错误；
故选：．
本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的基本判定性质．
基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件，熟练地运用可以为解答更深奥的题目奠定基础．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设火车原来行驶的速度是千米小时，
根据题意得：，
故选：．
设火车原来行驶的速度是千米小时，根据从站到站将速度每小时加快千米，即可解得答案．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形；
，
四边形是矩形；
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
且，
平分，
四边形是菱形；
故正确．
故选A．
根据题意可得四边形是平行四边形；由，得四边形是矩形；由平分，得四边形是菱形；当且时，四边形是菱形．
本题考查了矩形的判定和菱形的判定，还考查了平行四边形的判定和性质．
 

7.【答案】
 

【解析】解：一次函数的图象在轴上的截距为．
故答案为：．
根据截距的定义：直线方程中，就是截距解答．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟记截距的定义是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：沿轴向上平移个单位得到直线：，
故答案是：．
根据上加下减，左加右减的法则可得出答案．
本题考查一次函数的图象变换，注意上下移动改变的是，左右移动改变的是，规律是上加下减，左加右减．
 

9.【答案】
 

【解析】解：二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，另一项是常数项，方程的右边是．
．
故答案为：．
根据二项方程的定义求．
本题考查了二项方程，掌握二项方程的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意可知：
解得：


舍去或
故答案为：
根据无理方程的解法即可求出答案．
本题考查无理方程的解法，解题的关键是将无理方程转化为整式方程解答，本题属于基础题型．
 

11.【答案】增大
 

【解析】解：把代入，得
，
解得，
所以一次函数图象随的增大而增大．
故答案是：增大．
把点的坐标代入函数解析式求得的值，然后结合的符号确定该函数图象的增减性，由函数图象的增减性填空．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．熟悉一次函数图象的增减性与系数的关系是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
，
解得，
故答案为：．
边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
 

13.【答案】
 

【解析】解：关于的一次函数的图象不经过第三象限，
即图象经过第一、二、四象限或图象经过第二、四象限，
且，
．
故答案为．
由关于的一次函数的图象不经过第三象限，得出此一次函数图象经过第一、二、四象限或二、四象限，根据一次函数与系数的关系得到且，然后写出两个不等式的公共解集即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于，当，时，的图象在第一、二、三象限；，时，的图象在第一、三、四象限；，时，的图象在第一、二、四象限；，时，的图象在第二、三、四象限．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设，则原方程可化为：，
去分母得：，
故答案为．
先把代入原方程，得到关于的方程，然后去分母，移项即可得到答案．
用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分，属于基础题．
首先证明是等边三角形，可以求得的长，然后利用勾股定理求得的长．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
则．
故答案是：．  

16.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，，
四边形是菱形，
，，，，
是等边三角形，
，
故答案为：．
画出图形，根据菱形的性质，可得为等边三角形，进而解答即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分的性质．
 

17.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
．
根据正方形的性质可得到又知，从而可求得的度数，从而就可求得的度数．
此题主要考查了正方形的性质，正方形的每条对角线平分一组对角．
 

18.【答案】
 

【解析】解：过点作，垂足为，如图，
四边形是矩形，
，．
，，
．
由折叠可得：，．
．
，
．
，，
，
四边形是矩形，
．
，
．
，
，
．
由问题情境中的结论可得：，
，
的值为．
故答案是：．
先证，过点作，垂足为，利用问题情境中的结论可得，易证，故只需求出即可．
本题主要考查矩形的性质，翻折变换折叠问题，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和平行线的性质等知识，也考查了运用已有的经验解决问题的能力．
 

19.【答案】解：方程的两边同乘，得
，
解得，．
检验：把代入，
所以是原方程的增根．
把代入，
原方程的解为．
 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，，
经检验：，都是原方程的增根，都舍去，
原方程无解．
 

【解析】先两边平方，整理后再两边平方，据此可得关于的一元二次方程，解之求得的值，再检验即可得．
本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
 

21.【答案】解：，
由得或，
或，
解方程组得：，；
所以原方程组的解为和．
 

【解析】本题考查的是高次方程的解法，把高次方程化为二元一次方程组是解题的关键．
利用因式分解把化为两个二元一次方程，组成两个二元一次方程组，解方程组得到答案．
 

22.【答案】解：设该厂实际需要天完成生产任务，由题意列方程得：
，
解得：，不合题意，舍去，
经检验，是原方程的根，
则顶．
答：该厂实际每天生产帐篷顶．
 

【解析】设实际需要天完成生产任务，根据题目中的关键语句“要求生产总量比原计划增加，且必须提前天完成生产任务”列分式方程即可得到问题答案．
本题考查了分式方程的应用，此类题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
在轴正半轴，
，
设直线解析式为：，
在此图象上，代入得
，
解得．
；
，
，
，
设，
，
，
解得：或，
或．
 

【解析】先求出，再由待定系数法求出直线的解析式；
根据三角形面积公式可求，依此可求点的坐标．
主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握待定系数法．
 

24.【答案】解：由图可知，果农自带的零钱是元；
由图象可得，
元千克，
答：降价前他每千克苹果出售的价格是元千克；
后来又按半价出售，则降价后的售价是元千克，
千克，
千克，
答：果农一共带了千克苹果．
 

【解析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用函数的性质和数形结合的思想解答．
根据函数图象可以得到果农自带的零钱是多少；
根据函数图象中的数据可以得到降价前他每千克苹果出售的价格是多少；
根据中的结果可以得到降价后的售价，再根据图象中的数据及可以解答本题．
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别为、的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形，
；

，
，
为直角三角形，
又为边的中点．
，
又四边形为平行四边形，
四边形是菱形．
 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，又由、分别为边、的中点，易得，，即可判定四边形为平行四边形，则可证得；
由，，易证得为直角三角形，又由为边的中点，即可得，则可证得：四边形是菱形．
此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

26.【答案】解：正方形，正方形，
，，．
．
即：．
在和中，
≌．
．
正方形的边长为，
，．
动点从点出发，沿着的方向以每秒钟个单位长度的速度匀速运动，且运动的时间为秒．
，

所求函数解析式为．
自变量的取值范围是．
如图，

当点在上时，点在直线上，
当点与点重合时，点运动的路径为；
同理，点在上时，
当点与点重合时，点运动的路径为；
，
，
点运动的路径长为．
 

【解析】由正方形的性质得出，，，证出，由证明≌；
利用三角形的面积公式即可得出结论；
由知，当点在上时，点在直线上，当点与点重合时，点的位置如图：点运动的路径为；同理，点在上时，当点与点重合时，点运动的路径为；由勾股定理求出，即可得出结果．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．