2023年高考数学(理数)一轮复习课时48《曲线与方程》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时48《曲线与方程》达标练习一 、选择题1.已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)A.x2＋y2=2B.x2＋y2=4C.x2＋y2=2(x≠±)D.x2＋y2=4(x≠±2)【答案解析】答案为：D；解析：MN的中点为原点O，易知|OP|=|MN|=2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2=4(x≠±2)，故选D.2.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则动点P的轨迹是(　　)A.直线        B.圆          C.椭圆        D.双曲线【答案解析】答案为：B解析：设P(x，y)，则=2，整理得x2＋y2－4x=0，又D2＋E2－4F=16＞0，所以动点P的轨迹是圆.3.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3).若点C满足=λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是(　　)A.直线        B.椭圆         C.圆        D.双曲线【答案解析】答案为：A解析：设C(x，y)，因为=λ1＋λ2，所以(x，y)=λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得又λ1＋λ2=1，所以＋=1，即x＋2y=5.所以点C的轨迹为直线.故选A.4.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(　 　)A.x＋y=5      B.x2＋y2=9      C.＋=1     D.x2=16y【答案解析】答案为：B；解析：∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为－=1.A项，直线x＋y=5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B项，x2＋y2=9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋=1的右顶点为(5,0)，故椭圆＋=1与M的轨迹有交点，满足题意；D项，方程代入－=1，可得y－=1，即y2－9y＋9=0，∴Δ＞0，满足题意.5.方程(x2＋y2－2x)=0表示的曲线是(　 　)A.一个圆和一条直线         B.一个圆和一条射线C.一个圆                   D.一条直线【答案解析】答案为：D；解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3=0或②注意到圆x2＋y2－2x=0上的点均位于直线x＋y－3=0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x=0上的点均不满足x＋y－3≥0，即②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3=0.6.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，则点M的轨迹方程是(　　)A.y2＝x－1                B.y2＝2（x－）    C.y2＝2(x－1)                D.y2＝x－【答案解析】答案为：D解析：设M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易求y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0).∵M是FQ的中点，∴⇒又Q是OP的中点，∴⇒∵P在抛物线y2＝4x上，∴(4y)2＝4(4x－2)，所以M点的轨迹方程为y2＝x－.故选D.7.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足O=λ1 O＋λ2 O(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是(　 　)A.直线        B.椭圆        C.圆          D.双曲线【答案解析】答案为：A；解析：设C(x，y)，因为O=λ1O＋λ2O，所以(x，y)=λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得又λ1＋λ2=1，所以＋=1，即x＋2y=5，所以点C的轨迹是直线，故选A.8.已知圆O的方程为x2＋y2=9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为(　　)A.－=1(x≠0)     B.＋=1(x≠0)   C.－=1(y≠0)     D.＋=1(y≠0)【答案解析】答案为：D；解析：设抛物线C的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，且|AA′|＋|BB′|=2|OP|=6.因为抛物线过点A，B，所以|AA′|=|FA|，|FB|=|BB′|，所以|FA|＋|FB|=|AA′|＋|BB′|=6＞|AB|=2，所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为＋=1(y≠0).9.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(　　)A.x＋y=5　　    B.x2＋y2=9       C.＋=1         D.x2=16y【答案解析】答案为：B；解析：因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－=1.A项，直线x＋y=5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2=9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋=1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－=1，可得y－=1，即y2－9y＋9=0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”.10.已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为(　 　)A.x2－=1(x>1)   B.x2－=1(x<－1)    C.x2＋=1(x>0)   D.x2－=1(x>1)【答案解析】答案为：A.解析：设另外两个切点为E，F，如图所示，则|PE|=|PF|，|ME|=|MB|，|NF|=|NB|.从而|PM|－|PN|=|ME|－|NF|=|MB|－|NB|=4－2=2<|MN|，∴P点的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.又∵a=1，c=3，∴b2=8.故P点的轨迹方程为x2－=1(x>1).11.在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)=|x2－x1|＋|y2－y1|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”，则下列命题中：①若A(－1,3)，B(1,0)，则有d(A，B)=5；②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；③若C点在线段AB上，则有d(A，C)＋d(C，B)=d(A，B)；④到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0.真命题的个数为(　 　)A.1          B.2           C.3          D.4【答案解析】答案为：C；解析：①d(A，B)=|－1－1|＋|3－0|=5，对；②设点A(x，y)，则d(A，O)=|x|＋|y|=1，不是圆，错；③若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1，x2之间，y0在y1，y2之间，则d(A，C)＋d(C，B)=|x0－x1|＋|y0－y1|＋|x2－x0|＋|y2－y0|=|x2－x1|＋|y2－y1|=d(A，B)成立，对；④|x＋1|＋|y|=|x－1|＋|y|，由|x＋1|=|x－1|，解得x=0，对.12.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=5，=＋，则点M的轨迹方程为(　　)A.＋=1         B.＋=1   C.＋=1       D.＋=1【答案解析】答案为：A；解析：设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由=＋，得(x，y)=(x0，0)＋(0，y0)，则解得由|AB|=5，得＋=25，化简得＋=1.二 、填空题13.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足=＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________.【答案解析】答案为：y=2x－2解析：设C(x，y)，则=(x，y)，＋t(－)=(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x－2.14.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为－，则点P的轨迹方程是________.【答案解析】答案为：x＋2y＋5=0解析：由=－，知x＋2y=－5，即x＋2y＋5=0.15.已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为________.【答案解析】答案为：＋y2＝1(x≠0且x≠±).解析：由题设知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①直线A2Q的方程为y＝(x－)，②联立①②，解得∴③∴x≠0，且|x|<，因为点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为＋y2＝1(x≠0且x≠±).16.已知点Q在椭圆C：＋=1上，点P满足O=(＋O)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹方程为            .【答案解析】答案为：＋=1；解析：因为点P满足O=(＋O)，所以点P是线段QF1的中点.设P(x，y)，由F1为椭圆C：＋=1的左焦点，得F1(－，0)，故Q(2x＋，2y)，又点Q在椭圆C：＋=1上，则点P的轨迹方程为＋=1，即＋=1.