江苏省南京市联合体2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析）

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2020-2021学年江苏省南京市联合体八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A. x≥2 B. x≤2
C. x＞2 D. x＜2
【答案】A
【解析】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．
3. 一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5．则可估计袋中白球的个数是（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】利用频率得到摸到白球的频率为1-0.3-0.5=0.2，然后根据频率公式计算即可．
【详解】解：∵摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5，
∴摸到白球的频率为1﹣0.3﹣0.5=0.2，
设袋子中，白球有x个，
根据题意，得：=0.2，
解得：x=10，
即布袋中白球可能有10个，
故选：A．
【点睛】本题考查了频率与频数，熟练掌握频数、频率、总数间的关系是解题的关键．
4. 已知反比例函数y＝（k＜0）的图象经过点A（1，a）、B（3，b），则a与b的关系正确的是（　　）
A. a＜0＜b B. b＜a＜0 C. a＜b＜0 D. 0＜a＜b
【答案】C
【解析】
【分析】利用反比例函数的增减性可判断a和b的大小关系，可求得答案．
【详解】解：∵k＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∴当x＞0时，反比例函数y随x增大而增大，
∵反比例函数y＝（k＜0）的图象经过点A（1，a）、B（3，b），且1＜3，
∴a＜b＜0，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数在各象限内的增减性是解题的关键．
5. 下列式子从左到右变形不正确的是（　　）
A. ＝ B. ＝﹣
C. ＝a+b D. ＝﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的性质逐项分析即可
【详解】A．将的分子、分母都除以3可得，不符合题意；
B．将的分子、分母都乘以﹣1可得，不符合题意；
C．将的分子、分母都除以a+b不等于a+b，符合题意；
D．将的分子、分母都除以1﹣a可得﹣1，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
6. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　）

A. 逐渐增大 B. 逐渐减小
C. 不变 D. 先增大，再减小
【答案】C
【解析】
【分析】设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，根据S平行四边形EFGH=S矩形ABCD-2()=，由E是AB的中点可得,即可得出判断．
【详解】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，

∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形和平行四边形的性质，解题关键是掌握矩形和平行四边形的性质．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7. 计算：（）2＝___，＝___．
【答案】 ①. 3， ②. 3
【解析】
【分析】依题意，依据根式的化简原则，进行根式的化简求解；
【详解】，；
故填：3，3．
【点睛】本题考查根式的定义、化简；重点在理解根式下，先化简然后进行根式的求解；
8. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】∵分式在实数范围内有意义，
∴x−1≠0，
解得：x≠1.
故答案为x≠1.
【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义.
9. 给出下列3个分式：，它们的最简公分母为__________．
【答案】a2bc
【解析】
【详解】解：观察得知，这三个分母都是单项式，确定这几个分式的最简公分母时，相同字母取次数最高的，不同字母连同它的指数都取着，系数取最小公倍数，所以它们的最简公分母是a2bc．
故答案为：a2bc．
10. 如果反比例函数y＝的图象经过点(1，3)，那么它一定经过点(﹣1，____)．
【答案】－3
【解析】
【分析】由于反比例函数y=图象经过点（1，3），代入即可确定k的值，然后把x=-1代入函数解析式中即可求出所经过的另一个点的坐标．
【详解】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，3），
∴3×1=k，
∴k=3，
当x=-1时，y=-3，
∴那么它一定经过点（-1，-3）．
故答案为 -3．
11. 为了解某市八年级学生每天睡眠时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，该调查中的个体是 __________________．
【答案】该市八年级每个学生每天的睡眠时间
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【详解】解：为了解某市八年级学生每天的睡眠时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，该调查中的个体是该市八年级每个学生每天的睡眠时间，
故答案为：该市八年级每个学生每天的睡眠时间．
【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
12. 比较大小：_____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较大小即可．
【详解】∵=，=，＜，
∴＜，
故答案为：＜
【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
13. 若关于x分式方程＝有增根，则实数m的值是 ___．
【答案】5
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x-1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母得：3x+2=m，
由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程得：3+2=m，
解得：m=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14. 如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝110°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于_________°．

【答案】15
【解析】
【分析】利用菱形是轴对称图形，可得∠ADF=∠ABF，求出∠ABF，∠ADC即可解决问题.
【详解】如图，连接BF．

∵四边形是菱形，
∴∠BCD=∠BAD=110°，
∴∠CAB=∠CAD=55°，∠ADC=∠ABC=70°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴FB=FA，
∴∠FBA=∠FAB=55°，
∵B、D关于直线AC对称，
∴∠ADF=∠ABF=55°，
∴∠CDF=∠CDA-∠ADF=70°-55°=15°.
故选答案为：15.．
【点睛】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解菱形是轴对称图形
15. 如图，在矩形ABCD中，P为矩形ABCD的边BC上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝5，BC＝12，PE+PF＝__．

【答案】
【解析】
【分析】设对角线AC、BD相交于点O，连接PO，利用矩形ABCD可得AC＝13，进而可得S△BOC＝S△BOP+S△POC，求解可得PE+PF；
【详解】解：设对角线AC、BD相交于点O，连接PO，

∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×12＝60，
OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
AC＝＝13，
∴S△BOC＝S矩形ABCD＝15，OB＝OC＝AC＝，
∴S△BOC＝S△BOP+S△POC＝OB•PF+OC•PE＝OB（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故填：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、面积公式及勾股定理，难点在熟练使用辅助线和矩形性质；
16. 如图，Rt△ABC的边BC在x轴上，点D为斜边AB的中点，AC＝3，BC＝4，若反比例函数y＝的图象过点A、D，则k的值为 ___．

【答案】6
【解析】
【分析】作DE⊥x轴于E，得出DE∥AC，可得，由点D为斜边AB的中点，即可得出,,设A(m，3)，D(m+2，)，代入反比例函数解析式，求出m即可求得k值．
【详解】解：作DE⊥x轴于E，如图：

∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴,
∴,
∵点D为斜边AB的中点，
∴E是BC的中点，即,
∴DE＝AC＝，
设A(m，3)，则D(m+2，)，
∵反比例函数 的图象过点A、D，
∴k＝3m＝(m+2)×，
∴m＝2，
∴k＝3m＝6，
故填：6．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合,以及相似三角形的性质和平行线分线段成比例，解题关键是将几何关系转化为数量关系，从而求出反比例函数的k值．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：（1）；
（2）
【答案】（1）4a2；（2）3.
【解析】
【分析】(1)根据二次根式的乘法法则得出即可;
(2)可以把二次根式化简合并括号里同类二次根式,再做乘法;也可以用分配律计算
【详解】（1）原式＝
＝
＝4a2
（2）原式＝
＝
＝3
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
18. 化简：
（1）﹣；
（2）（1﹣）÷（）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式的减法可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【详解】解：（1）﹣
＝
＝
＝；
（2）（1﹣）÷（）
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
19. 先化简[﹣]÷，然后从﹣1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】

【解析】
【详解】试题分析：先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可．
试题解析：原式=
=
=，
由于x≠1，x≠2，所以当x=﹣1时，原式=﹣．
20. 解方程：．
【答案】x＝﹣5
【解析】
【分析】首先把分式的右边变形，再乘以最简公分母2（x-2）去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，最后一定要检验．
【详解】解：变形得：，
去分母得：1+（x﹣2）=﹣6，
去括号得：1+x﹣2=﹣6，
移项得：x=﹣6+2﹣1，
合并同类项得：x=﹣5
检验：把x=﹣5代入最简公分母2（x﹣2）≠0，
∴原分式方程的解为：x=﹣5．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．
21. 交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
类别
人数
A类（每次戴）
64
B类（经常戴）
245
C类（偶尔戴）
m
D类（都不戴）
170
合计
1000

（1）“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中m的值为 　 　；
（2）全市约有300万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为172，比活动前增加了2人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果，小明的说法是否合理？为什么？
【答案】（1）521；（2）51（万人）；（3）不合理，见解析
【解析】
【分析】（1）用1000减去A、B、D的人数即可求出m的值；
（2）用该市的总人数乘以“都不戴”安全头盔的人数所占的百分比即可；
（3）分别求出宣传活动前后骑电瓶车“都不戴”安全头盔所占的百分比，再进行比较，即可得出小明的分析不合理．
【详解】解：（1）m＝1000﹣64﹣245﹣170＝521（人）；
故答案为：521；
（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数为300×＝51（万人）；
（3）小明的分析不合理．
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比为×100%＝8.6%，
活动前“都不戴”安全帽所占的百分比为×100%＝17%，
由于8.6%＜17%，
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【点睛】本题考查的是条形统计图，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22. 如图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，求证：四边形AECF是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB=DC，AB∥DC，再证AE=CF，即可得出结论；
（2）证出∠CEO=∠CFO，则CE=CF，再由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
又∵BE=DF，
∴AB+BE=DC+DF，
即AE=CF，
∵AE=CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分；
（2）∵AB∥DC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO=∠CEO，
∴∠CEO=∠CFO
∴CE=CF，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定，证明四边形AECF为平行四边形是解题的关键．
23. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树1080棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划每天多50%，结果提前6天完成任务．原计划每天种树多少棵？
【答案】原计划每天种树60棵
【解析】
【分析】依题意，设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为（1+50%）x棵，结合完成种树任务的时间列分式方程，求解即可；
【详解】设原计划每天种树x棵，则实际每天种数（1+50%）x棵，
依题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树60棵．
【点睛】本题主要考查分式方程的在解决实际问题中的应用，难点在分式的求解；
24. 如图，四边形ABCD为正方形，点E、F分别是AB、CD的中点，DG⊥CF于点G．
（1）求证：AE//CF；
（2）求证：∠AGE＝90°；
（3）若正方形的边长为2，则线段CG的长度为 　　．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，利用平行四边形的性质即可证明；
（2）先证明AG=AD,再证明△ADE≌△AGE（SSS），利用全等三角形的性质即可得出结论；
（3）设AE与DG的交点为H，先用等面积法得出HG的长度，再由（2）的结论得出DG的长，利用勾股定理即可求出CG的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD,AB∥CD，
∴AF∥CE，
又∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴,
∵AF∥CE，，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF；
（2）如图，取AE和DG交于H，

∵CF∥AE,DG⊥CF，
∴DG⊥AE于H，
∵E是CD的中点，
∴EG＝ED，
∴△DGE是等腰三角形，
∴H是DG的中点，且AE⊥GD，
∴AG＝AD，
在△ADE和△AGE中，
，
∴△ADE≌△AGE（SSS），
∴∠AGE＝∠ADE＝90°；
（3）∵AG＝AD＝2，，
∴，
又∵GH⊥AE，

∴,
即，
解得，
由以上证明可知AE垂直平分GD，
∴，
∴,
故答案为．
【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握正方形的性质，四个内角都是90°，四边都相等．
25. 如图，一次函数y1＝mx+b与反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），B（﹣4，）两点．
（1）分别求一次函数与反比例函数的关系式；
（2）设函数．
①当y＝0时，则x的值为 ；
②写出函数的增减性；
③在图中画y关于x的函数图象．

【答案】（1），；（2）①1或﹣4；②当x＜0时，函数y＝y1﹣y2随x的增大而增大，当x＞0时，函数随x的增大而增大；③见解析
【解析】
【分析】（1）将A,B两点坐标代入一次函数解析式，即可求出一次函数解析式，由A点或者B点的坐标即可求出反比例函数的解析式；
（2）①将y=0代入，即，得,求两函数相等时的横坐标，即交点横坐标；②通过将分解为两个函数和，根据两函数在和时y的增减性，确定的增减性；③列表描点连线即可．
【详解】解：（1）把A，B两点代入y1＝mx+b得，
解得，
∴一次函数为，
把A（1，2）代入得，＝1×2＝2，
∴反比例函数为；
（2）∵，
∴，
①当y＝0时，则y1＝y2．
∵一次函数y1＝mx+b与反比例函数的图象交于A（1，2），B两点，
∴x的值为1或；
②，
∵函数随x的增大而增大，函数在每个象限内随x的增大而增大，
∴当x＜0时，函数随x的增大而增大，当x＞0时，函数随x的增大而增大；
③列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
0


3
0


3
…
描点、连线，画出函数的图象如图．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，以及画函数图像，解题关键是掌握相关知识点．
26. 如图①，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°．
（1）请完成上题的证明过程．
（2）如图②，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B．
（3）如图③，已知四边形ABCD，利用直尺和圆规作线段EF，使点E、F分别在AB、CD上，且满足EF＝AC，EF与AC相交所形成的锐角等于∠B．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，证明Rt△DAE≌Rt△ABF，继而可得∠DGF＝∠ADE+∠DAF，从而得证；
（2）作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，证明Rt△EKD≌Rt△AHF，继而证得∠DGF＝∠DCF，再根据菱形的性质，等量代换即可得证；
（3）先作∠ABM，使∠ABM＝∠ACB，在射线BM上截取BI＝AC，作平行四边形BEFI即可．
【详解】（1）证明：如图1

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠DAE＝∠B＝90°，
∵AF＝DE，
∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL），
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°，
∴∠DGF＝∠ADE+∠DAF＝90°．
（2）证明：如图2，

作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，
则∠EKD＝∠AHF＝90°，
设AF交CD于点R，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，
∴S菱形ABCD＝EK•DC＝AH•BC，
∴EK＝AH，
∵AF＝DE，
∴Rt△EKD≌Rt△AHF（HL），
∴∠EDC＝∠F，
∴∠DRF﹣∠EDC＝∠DRF﹣∠F，
∵∠DGF＝∠DRF﹣∠EDC，∠DCF＝∠DRF﹣∠F，
∴∠DGF＝∠DCF，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠B，
∴∠DGF＝∠B．
（3）如图3，

作法：①作∠ABM，使∠ABM＝∠ACB，且边BM在∠ABC内部；
②在射线BM上截取BI＝AC；
③以点I为顶点作∠MIN，使∠MIN＝∠ACB，
且边IN与AB在直线BM同侧，IN交CD于点F；
④在BA上截取BE＝IF；
⑤连结EF．
线段EF就是所求作的线段．
证明：设BM交AC于点H，
由作法可知，∠ABH＝∠ACB，
∴∠AHB＝180°﹣∠ABH﹣∠BAC
＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝∠ABC；
∵∠MIN＝∠ACB＝∠ABM，
∴IN∥AB，
∵BE＝IF，
∴四边形BEFI是平行四边形，
∴EF＝BI＝AC，
∴线段EF就是所求作的线段．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、正方形的性质，平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，尺规作图，掌握以上知识是解题的关键．