2022年宁夏吴忠市同心县中考数学联考试卷（含解析）

2022年宁夏吴忠市同心县中考数学联考试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如所示立体图形中，俯视图是三角形的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 某市为了落实脱贫攻坚战中“两不愁、三保障”的住房保障工作，年投入亿元资金，之后投入资金逐年增长，年投入亿元资金用于保障性住房建设．设该市这两年投入资金的年平均增长率为，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

5. 如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，的顶点、、均在上，若，则的大小是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在距某居民楼楼底点左侧水平距离的点处有一个山坡，山坡的坡度或坡比：，山坡坡底点到坡顶点的距离，在坡顶点处测得居民楼楼顶点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为参考数据：，，

A.  B.  C.  D.

8. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线下列结论：
   ；
   ；
   若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，；
   ，
   上述结论中正确结论的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 分解因式：______．
10. ______．
11. 函数的自变量的取值范围是______．
12. 关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______．
13. 某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是______ ．
14. 已知点，都在一次函数的函数图象上，则______填“”“”或“”．
15. 如图，在中，点，分别在，上，，，若四边形的面积为，则的面积为______．

16. 如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形点在轴正半轴上，将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共10小题，共80分）

17. 先化简，再求值，其中．
18. 解不等式组．
19. 三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    分别写出三角形各顶点的坐标：
    ______， ______， ______；
    三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？
    求三角形的面积．

20. 为了解学生的课外阅读情况，七班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
    男、女生所选类别人数统计表

根据以上信息解决下列问题：
______，______；
扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为______；
从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生是一男一女的概率．

21. 如图所示，已知点，在▱的对角线上，且．
    求证：≌；
    连接，，求证：四边形是平行四边形．
22. 某商场在端午节来临之际用元购进、两种玩具个，购买玩具与购买玩具的费用相同．已知玩具的单价是玩具单价的倍．
    求、两种玩具的单价各是多少？
    若计划用不超过元的资金再次购进、两种玩具共个，已知、两种玩具的进价不变．求种玩具最多能购进多少个？
23. 如图，在中，，点在上，以长为半径的交于点，垂直平分交于点，交于点，连接．
    求证：直线与相切．

24. 已知如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点：
    求一次函数与反比例函数的解析式；
    直接写出时的取值范围．

25. 小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
    

如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为____．

不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？

有个边长为的正方形按图摆放，测得横向影子，的长度和为，求灯泡离地面的距离．写出解题过程，结果用含，，的代数式表示

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从点出发．以每秒个单位长度的速度向点运动．点，同时开始运动，当点到达点时，点，同时停止运动，设运动时间为秒．
    求与的值；
    设的面积为，求与的关系式；
    若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请求出的值．
    温馨提示：在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为，即可解答．
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】

【解析】解：俯视图是三角形，故本选项符合题意；
B.俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
C.俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意；
D.俯视图是正方形，故本选项不合题意．
故选：．
根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算正确，故此选项符合题意；
C.与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、积的乘方的运算法则、合并同类项法则、完全平方公式解答即可．
本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项、完全平方公式，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：设年平均增长率为，
依题意得：．
故选：．
根据“年投入亿元资金，之后投入资金逐年增长，年投入亿元资金用于保障性住房建设”由此可列出方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，

，
，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质及对顶角的性质可求解的度数，利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解的度数．
本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：根据圆周角定理得：，
，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理得出，求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出是解此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，过点作，垂足为，作交的延长线于点，
由题意得，，，，
在中，
山坡的坡度：，
，
设，则，由勾股定理可得，
又，即，
，
，，
，
在中，
，
，
故选：．
构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出、、、、，进而求出．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
 

8.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，．
对称轴为直线，
，
．
，
错误．
抛物线经过点，对称轴为，
抛物线经过点．
当时，，
，
错误．
抛物线过，
点关于对称轴对称的点也在抛物线上．
关于的一元二次方程的两根分别为，正确．
正确．
抛物线过点，
．
．
，
．
．
正确．
故选：．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，理清，，对函数图象的确定作用是求解本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式常数，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用完全平方公式进行二次因式分解，注意分解因式要彻底．
 

10.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

11.【答案】且

【解析】

【分析】
根据分母不能为零且被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零且被开方数是非负数是解题关键．
【解答】
解：由题意，得
且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．   

12.【答案】

【解析】

【分析】
根据判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根
【解答】
解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为 ．   

13.【答案】

【解析】解：某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，，已知这组数据的平均数是，
，
这一组数从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据的中位数是：．
故答案为．
先根据平均数的定义计算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了平均数的定义．
 

14.【答案】

【解析】解：点、都在一次函数的图象上，
，，
，
故答案为：．
利用待定系数法把、两点坐标代入一次函数可算出、的值，再比较大小即可．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．本题也可用一次函数的性质进行判断．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
四边形的面积为，
，
．
故答案为：．
根据可得∽，进而可知其面积之比，再根据四边形的面积为，可求出和的面积．
本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：点，
，
，
，
四边形是菱形，
，
点，
由题意可得每次旋转一个循环，
，
点位于第四象限，
点的坐标，
故答案为：
先求出点坐标，由题意可得每次旋转一个循环，即可求解．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式．

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：，，．
故答案为：，，．
先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到．
．
根据，，的位置写出坐标即可．
利用平移变换的性质判断即可．
利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积．
 

20.【答案】   

【解析】解：调查的总学生人数是：人，
，；
故答案为：，；
扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为；
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选取的两名学生是一男一女的结果有种，
所选取的两名学生是一男一女的概率为．
根据文学类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出、；
由乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；
画树状图，共有种等可能的结果，其中所选取的两名学生是一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和统计表．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】由平行四边形的性质可知：，再利用已知条件和三角形全等的判定方法即可证明≌；
由可知≌，所以，进而可得，所以，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：设种玩具单价为元，则种玩具单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种玩具单价为元，种玩具单价为元．
设购进种玩具个，则购进种玩具个，
依题意得：，
解得：，
答：种玩具最多能购进个．

【解析】设种玩具单价为元，则种玩具单价为元，由题意：某商场在端午节来临之际用元购进、两种玩具个，购买玩具与购买玩具的费用相同．列出分式方程，解方程即可；
设购进种玩具个，则购进种玩具个，由题意：计划用不超过元的资金再次购进、两种玩具，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线．

【解析】连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得，则，再利用等量代换计算出，则，然后根据切线的判定定理得到结论．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入，解得，
，
把，代入得，解得，
一次函数解析式为；
令，即，解得，
，
由图象可直接得出当时的取值范围为．

【解析】先利用点坐标确定反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
根据图象可直接得出当时的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
 

25.【答案】解：设灯泡离地面的高度为，
，
，．
∽．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
，
解得．

设横向影子，的长度和为，
同理可得，
解得；
记灯泡为点，如图：


，，．
∽．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得．
设灯泡离地面距离为，由题意，得，，，，


．

【解析】设灯泡的位置为点，易得∽，设出所求的未知数，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
同法可得到横向影子，的长度和；
按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质．
 

26.【答案】解：，
，
，，
，，
，，
，即，
直线过点，
；
如图，过点作于点，
，，则，
，
在中，，
；
分三种情况：
当时，，
解得；
当时，如图，
过点作于点，
，
，
解得；  
当时，如图，
过点作于点，
则，
，
解得；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或．

【解析】由含角的直角三角形的性质求解即可；
过点作于点，可得，，则，在求出，则；
分三种情况讨论：当时，求得；当时，过点作于点，求得；当时，过点作于点，求得．
本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键，