2022杭州高一下学期期末数学含答案

杭州市2021-2022学年高一下学期教学质量检测数学试题

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.

1.若复数满足（为虚数单位），则（）

A.    B.    C.    D.

2.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

3.设，若，则（）

A.    B.

C.    D.

4.函数和在同一坐标系下的图象可能是（）

A.    B.

C.    D.

5.为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒.已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：）随时间（单位：）的变化如图所示，在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），则（）

A.当时，

B.当时，

C.小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下

D.小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到以下

6.已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（）

A.3    B.4    C.5    D.6
7.古希腊数学家希波克拉底研究了如图所示的几何图形.该图由三个半圆构成，直径分别为Rt的斜边，直角边和.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，设，则（）

A.    B.    C.0    D.1
8.设函数，对于任意正数，都.已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知关于的不等式的解集为，则（）

A.

B.

C.不等式的解集为

D.不等式的解集为

10.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（）

A.    B.

C.    D.

11.已知是单位向量，且，则（）

A.    B.与垂直

C.与的夹角为    D.

12.在中，分别为的对边，（）

A.若，则为等腰三角形

B.若，则为等腰三角形

C.若，则

D.若，则为钝角三角形

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设，则__________.

14.函数的最小正周期为__________.

15.“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为__________.

16.如图，在平面直角坐标系中，点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）筒车是我国古代发明的一种水利工具.如图筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时（图中点）开始计算时间.

（1）将点距离水面的距离（单位：.在水面下时为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数；

（2）已知盛水筒与相邻，位于的逆时针方向一侧.若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求的值.

18.（本题满分12分）

在中，角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）在①，②，③这三个条件中，选出其中的两个条件，使得唯一确定.并解答之.

若___________，___________，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（本题满分12分）如图，在中，已知.

（1）求；

（2）已知点在边上，，点在边上，，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

19.（本题满分12分）已知.

（1）求的解析式；

（2）解关于的方程.

21.（本题满分12分）

如图，在等腰梯形中，，在等腰梯形中，，将等腰梯形沿所在的直线翻折，使得，在平面上的射影恰好与重合.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22.（本题满分12分）

数学家发现：，其中.利用该公式可以得到：当时，

（1）证明：当时，；

（2）设，当的定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.

2021学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测

数学参考答案及评分标准

一､选择题

二､选择题

9.ABD    10.AD    11.BC    12.ACD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.16    14.    15.    16.

四､解答题：本题共6小题，共70分.

17.（1）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，

由题意，得，

所以；

（2）易知，点纵坐标，

点纵坐标，

由题意，得，

所以或，

解得，

由盛水筒和在水面上方，得，

所以，

所以，

因为，所以.

18.（1）由正弦定理，得，

展开，整理得，即，

又，所以.

（2）方案一：选①和②.

由正弦定理，得，

由余弦定理，得，

所以的面积.

方案二：选①和③.

由余弦定理，得，

解得.，

，所以为直角三角形，

所以的面积.

19.（1）在三角形中，由余弦定理，

解得，

因为，所以.

（2）因为

所以.

20.（1）设，即，则.

所以.

（2）由，得，即，

当时，方程无解；

当时，解得，

（i）若，则，

（ii）若，则.

21.（1）证明：在平面上的射影恰好与重合，

平面，又平面，

平面平面.

（2）如图1，分别延长交于点，

如图2，过作边的垂线，垂足为，

由等腰梯形的性质得，

又，同理，

而，即.

又平面平面，平面

平面平面，

平面直线与平面所成角为，且为直角.

在等腰梯形中，

，

由平面，

又，

故直线与平面所成角的正弦值为.

22.（1）由题意，得，所以，

所以当时，.

（2）当时，有，

①若，则由，知，矛盾，

故不存在“和谐区间”；

②同理时，也不存在，

下面讨论，

③若，则，故最小值为，于是，

所以，

所以最大值为2，故，此吋的定义域为，值域为，符合题意.

④若，当时，同理可得，舍去，

当时，在上单调递减，

所以，于是，

若，即，则，

故，

与矛盾；

若，同理，矛盾，

所以，即，

由（1）知当时，，

因为，所以，从而，，从而，矛盾，

综上所述，有唯一的“和谐区间”.