2023杭州高一下学期期末考试数学含答案

2022学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测

数学试题卷

考生须知：

1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名､姓名､试场号､座位号､准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.

3.答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效.

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若（是虚数单位），则（    ）

A.2    B.3    C.    D.

3.军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”.1密位就是圆周的所对的圆心角的大小.若角密位，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知平面平面，直线，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

5.杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线，测得的度数分别为，以及两点间的距离，则塔高（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知函数（e为自然对数的底数），则（    ）

A.

B.，当时，

C.

D.，当时，

8.设函数，且在区间上单调，则的最大值为（    ）

A.1    B.3    C.5    D.7

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.已知函数，则（    ）

A.函数的图象关于原点对称    B.函数的图象关于轴对称

C.函数的值域为    D.函数是减函数

10.如图，是正六边形的中心，则（    ）

A.    B.

C.    D.在上的投影向量为

11.如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为的角速度为，起点位置坐标为，则（    ）

A.在末，点的坐标为

B.在1s末，扇形的弧长为

C.在末，点在单位圆上第二次重合

D.面积的最大值为

12.圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO的底面直径为2a，则（    ）

A.设内切球的半径为，外接球的半径为，则

B.设内切球的表面积，外接球的表面积为，则

C.设圆锥的体积为，内切球的体积为，则

D.设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.设函数，若，则__________.

14.将曲线上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为__________.

15.已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为__________；直线与直线所成角的余弦值为__________.

16.对于函数，若存在，使得，则称为函数的“不动点”：若存在，使得，则称为函数的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即.经研究发现：若函数为增函数，则.设函数，若存在使成立，则的取值范围是__________.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）

在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.

（1）求的值.

（2）若角满足，求的值.

18.（本题满分12分）

某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间间的关系为（其中是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.

（1）求的值（精称到0.01）.

（2）求污染物减少需要花的时间（精确到）？

参考数据：

19.（本题满分12分）

我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，两分别为正方向上的单位向量.若向是，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记.已知分别为向是的@未来坐标.

（1）证明：.

（2）若向量的“@未来坐标”分别为，，求向量的夹角的余弦值.

20.（本题满分12分）

在四边形中，.

（1）求证：.

（2）若，且，求四边形的面积.

21.（本题满分12分）

生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））.设礼品盒的长，宽，高分别为.

（1）在方案（2）中，若，设平面与平面的交线为，求证：平面.

（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少？

22.（本题满分12分）

已知函数.

（1）直接写出的解集；

（2）若，其中，求的取值范围；

（3）已知为正整数，求的最小值（用表示）.

2022学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测

数学参考答案及评分标准

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1.B    2.C    3.C    4.A    5.A    6.A    7.D    8.B

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.AC    10.CD    11.BCD    12.ACD

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.    14.    15.    16.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）

（1）由角的终边过点得，

（2）由角的终边过点，得，

由，得.

，

当时，；

当时，.

18.（本题满分12分）

（1）由知，当时，；当时，；

即，所以，

即；

（2）当时，即；

，则.

19.（本题满分12分）

（1）证明：因为，

所以

（2）

所以.

20.（本题满分12分）

解：（1）证明：在中，

由正弦定理得，

因为，所以，

所以，

在中，由正弦定理得，

即，

所以.

又，

所以.

（2）在中，由正弦定理得，

所以，

所以或，

①当时，则，

在中，由余弦定理得，，

解得，

此时四边形的面积，

②当时，则，

在中，由余弦定理得，，

解得，

此时四边形的面积.

21.（本题满分12分）

解.（1）在长方体中，，

又平面平面平面；

又平面，平面平面；

又平面平面，

又平面平面；

（2）方案1中，绳长为；

方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由到的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为长度，

因为，所以，

所以彩绳的最短长度为.

22.（本题满分12分）

解：（1）

（2）设，则

令，整理得：，

故，且，得.

所有；

（3）

①时，；

②时，；

③时，；

④时，，