2021-2022学年北京十三中分校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年北京十三中分校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京十三中分校八年级（下）期中数学试卷 题号一二三四总分得分       一、选择题（本大题共8小题，共24分）在实数范围内，要使代数式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 下列曲线中不能表示是的函数的是(    )A.  B.
C.  D. 下列各式中，化简后能与合并的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为(    )
A.  B.  C.  D. 若成立，则的取值范围为(    )A.  B. 或 C.  D. 张老师出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象如图所示，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是(    )A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共8小题，共24分）若是整数．写出一个符合条件的整数的值______．A、两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后分别步测出，的中点，，并测出的长为，则的长为______
 如图，每个小正方形的边长为，在中，点，，均在格点上，点为的中点，则线段的长为______．
 在菱形中，若，周长是，则菱形的面积是______．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为______．
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图，图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，如果，那么的值是______．
如图，在中，点、、分别在边、、上，且，下列四种说法：
四边形是平行四边形；
如果，那么四边形是矩形；
如果平分，那么四边形是菱形；
如果且，那么四边形是菱形．
其中，正确的有______只填写序号．如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，在运动过程中：
斜边中线的长度是否发生变化______ 填“是”或“否”；
点到点的最大距离是______ ． 三、计算题（本大题共1小题，共10分）计算：
；
；
；
． 四、解答题（本大题共9小题，共92分）如图，在▱中，、分别是，上的点，且．
求证：．
如图，在的正方形网格中，每个小方格边长为，每个小格的顶点叫做格点，
格点为顶点分别按下列要求两三角形．
在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
 
已知：如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，连接和．
求证：四边形为菱形；
若，，求菱形的边长．
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．
求证：四边形为矩形；
已知，，求的长．
先阅读材料，然后回答问题．
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：




在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为______；
请根据你从上述材料中得到的启发，化简．请你设计“利用已知矩形作一个内角为的平行四边形”的尺规作图过程；
请利用矩形完成作图保留作图痕迹并写出作法；
根据你设计的尺规作图过程，填空：
______写出一个即可；
作出的四边形为平行四边形的依据是：______．
我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
请根据以上信息，写出根分式中的取值范围：______；
已知两个根分式与．
是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
当是一个整数时，求无理数的值．以下是初二数学学习小组的同学们对特殊平行四边形性质的探究过程：
如图，将直角三角板的直角顶点与正方形对角线的交点重合，直角三角板的两条直角边分别与正方形的两边、相交于点、，学习小组的同学们发现线段与存在数量关系：______；
如图，将直角三角板的直角顶点与矩形对角线的交点重合，直角三角板的两条直角边分别与矩形的两边、相交于点、，经测量同学们发现此时与并不存在中的数量关系，为了探究在这种情况下隐含的线段数量关系，同学们商议决定采取从特殊到一般的探究方法：
将直角三角板的直角顶点与矩形的对角线交点重合，一条直角边与共线，另一条直角边与交于点，同学们发现此时存在线段的数量关系：，请你按操作过程补全图，并证明同学们的发现．
请你继续对图情况进行探究，将图简化得到图，猜想线段，，，之间的数量关系，并证明．
 
在平面直角坐标系中，若某菱形至少有一组对边与轴或轴平行或共线，则称该菱形为规则菱形．若点，为某规则菱形相对的顶点，且以，为顶点的内角度数为，则称点，与该规则菱形“相关”，根据定义回答下面的问题：
如图，已知点的坐标为．

若点的坐标为，是否存在与点，“相关”的规则菱形？______填“是”或“否”．
已知点若存在与点，“相关”的规则菱形，则点的坐标为______．
如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，已知点，点在矩形的边上，若存在与点，“相关”的规则菱形，直接写出的取值范围．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：要使代数式有意义，
则，
解得：，
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：的图象存在一个对应两个的情况，不是的函数；
的图象符合一个有唯一的对应；
的图象是一次函数；
的图象符合一个有唯一的对应．
故选：．
根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
此题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
 3.【答案】 【解析】解：、，化简后不能与合并，不符合题意；
B、，化简后不能与合并，不符合题意；
C、，化简后能与合并，符合题意；
D、，化简后不能与合并，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把各个二次根式正确化为最简二次根式是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：点的坐标是，
，
四边形为菱形，
，
则点的坐标为．
故选：．
根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
 5.【答案】 【解析】【分析】
根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
【解答】
解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
图中阴影部分的面积为：，
故选：．  6.【答案】 【解析】解：由题意可得，
，，，
，
．
点表示数为．
故选：．
根据题意，利用勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而可以得到点表示的数．
本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
 7.【答案】 【解析】解：若成立，
则，，
解得：，
故选：．
根据二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件进行分析即可．
本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的知识的掌握．
 8.【答案】 【解析】解：由图象可知，
张老师从家出发刚开始离家的距离在变大，然后较长一段时间离家的距离不变，然后回家，
故选项A、、不符合题意，选项D符合题意，
故选：．
根据题意和函数图象可以分析出张老师散步情况，从而可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 9.【答案】答案不唯一 【解析】解：当时，，
若是整数，则整数的值是：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
利用算术平方根的定义得出符合题意的答案．
此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：点，分别为，的中点，，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用勾股定理的逆定理证明，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
【解答】
解：，，，
，
，
，
，
故答案为．  12.【答案】 【解析】解；如图所示：过点作于点，
在菱形中，周长是，
，
，，
，
，
菱形的面积．
故答案为．
根据菱形的性质以及勾股定理得出的长，即可得出菱形的面积．
此题主要考查了菱形的面积以及其性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 13.【答案】 【解析】解：如图，图中，连接．

图中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故答案为：．
如图，图中，连接在图中，证是等边三角形，得出在图中，由勾股定理求出即可．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
 14.【答案】 【解析】解：设四个直角三角形的面积之和为，
，
，
解得，
故答案为：．
先设出四个直角三角形的面积之和为，然后根据，可以得到，即可求得的值．
本题考查勾股定理的证明、数学常识、正方形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，，
四边形是平行四边形；故正确；
若，则平行四边形是矩形；故正确；
若平分，则，
；
所以平行四边形是菱形；故正确；
若，；
根据等腰三角形三线合一的性质知：平分；
由知：此时平行四边形是菱形；故正确；
所以正确的结论是．
根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答．
此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
 16.【答案】否  【解析】解：如图，设斜边中点为，在运动过程中，斜边中线．
长度不变，故不变，
故答案为：否；
在矩形的运动过程当中，有，
当、、三点共线时，则有，此时，取得最大值，如图所示，
为中点，
，
又，
，
．
故答案为：．
直接运用直角三角形斜边中线定理即可证明；
当、、三点共线时，此时，取得最大值，则有，由勾股定理求出即可得长度．
本题考查了斜边中线定理，三角形三边关系，勾股定理，矩形的性质，找出最大时、、三点的位置是解题关键．
 17.【答案】解：原式
；
原式

；
原式

；
原式
． 【解析】化简二次根式，然后合并同类二次根式进行化简；
先算乘法，然后再算加法；
先算乘法，然后再算加减；
利用完全平方公式先计算乘方，化简二次根式，然后再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
 18.【答案】证明：在平行四边形中，
，，
，
，．
四边形是平行四边形．
． 【解析】要证，只需证四边形是平行四边形，而很快证出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．
本题考查了平行四边形的判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
 19.【答案】解：在图中，即为所求；
在图中，即为所求；
在图中，即为所求．
 【解析】画一个勾股弦的直角三角形即可；
画一个斜边为的等腰直角三角形即可；
根据要求作出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 20.【答案】证明：对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，
，，，
四边形是矩形，
，
，
在和中
，
≌，
，
，，
，
四边形为菱形；

解：设，则，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
菱形的边长是． 【解析】根据线段垂直平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定推出≌，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可；
根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
且，
，
四边形、四边形都是平行四边形，
，
四边形是矩形；

解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
． 【解析】由菱形中，且，易证得四边形是平行四边形，于是得到结论；
根据矩形的性质和勾股定理得出的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形是平行四边形，四边形是矩形是关键．
 22.【答案】  【解析】解：在化简过程中步出现了错误，化简的正确结果是．
故答案是：，；
原式


．
根据算术平方根的性质即可进行判断；
把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．
本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是本题的关键．
 23.【答案】  两组对边分别平移的四边形是平行四边形 【解析】解：如图，四边形即为所求；


答案不唯一，
故答案为：；

，
，
，
四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
作的角平分线交于点，作的角平分线交的延长线于点，四边形即为所求；
写一个角即可；
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 24.【答案】且 【解析】解：由且可得：且，
故答案为：且；
不存在，理由如下：
由得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
原方程无解，
不存在；
，
是一个整数，
是整数，
或，
解得或或，
为无理数，且，
．
根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为，代数式才有意义即可得答案；
根据已知列出方程，解方程即得答案；
计算，变形为，是一个整数，则的值为或，解出方程取无理数且即可．
本题考查根分式有意义的条件，无理方程及根分式的值，解题的关键是掌握无理方程需检验，是整数，则或．
 25.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，对角线的交点，
，，
直角三角板的直角顶点与正方形对角线的交点重合，
，
，
≌，
．
故答案为：；

补全图形如下：

证明：连接，如下图．

四边形是矩形，
．
，
是的垂直平分线，
将直角三角板的直角顶点与矩形的对角线交点重合，一条直角边与共线，
．
；
，
证明：延长交于，连接、．

四边形是矩形，
，．
，
，，
≌ ，
，．
，
．
．
，，
，
．
利用正方形的性质得到，，再结合直角三角板的直角顶点与正方形对角线的交点重合，得到，进而可得以≌，再由全等三角形的性质求解；
先补全图形，连接，再利用矩形的性质得到，根据勾股定理即可求解；
，延长交于，连接、，先证明≌得到，，再利用勾股定理求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在解题过程中作出图形，综合应用勾股定理、矩形、正方形的特殊性质及三角形全等的判定等知识是解题的关键．
 26.【答案】否  或 【解析】解：根据规则菱形定义，连接，以其对角线构造至少有一组对边与轴或轴平行或共线的平行四边形，如图所示：

，，
，，
，则不存在与点，“相关”的规则菱形；
故答案为：否；
如图所示，分两种情况，

当在轴上方时，满足条件的与点，“相关”的规则菱形为正方形，则，
，
，
即点的坐标为；
根据对称性，当在轴下方时，满足条件的与点，“相关”的规则菱形为正方形，点的坐标为；
故答案为：或；
解：过作轴的平行线，如图所示：

当在时，若存在与点，“相关”的规则菱形，则对角线为，其与轴成角，过作轴，此时得到的是的最大值，
在中，，，，则，则的最大值为，
同理可得，当在时，则的最大值为，
的取值范围是．
根据规则菱形定义直接判定即可；
分两种情况，作出图形，利用对称性即可得出结论；
根据规则菱形定义，选取在和在时，取到最值，作出图形分析，利用勾股定理求解即可．
本题是四边形综合问题，关键是根据菱形的定义和勾股定理解答．