2023年高考数学(文数)一轮复习课时17《任意角弧度制及任意角的三角函数》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=－eq \f(3,4)；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=－2.对于下列结论：
①Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))；②|PQ|2=eq \f(10＋2\r(5),5)；③cs∠POQ=－eq \f(3,5)；④△POQ的面积为eq \f(\r(5),5).
其中正确结论的编号是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
点P(csα，tanα)在第二象限是角α的终边在第三象限的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
将－300°化为弧度为( )
A.－eq \f(4,3)π B.－eq \f(5,3)π C.－eq \f(7,6)π D.－eq \f(7,4)π
已知角α的终边上一点P的坐标为(sineq \f(2π,3),cseq \f(2π,3))，则角α的最小正值为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(5π,3) D.eq \f(11π,6)
已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 B.sin2 C.eq \f(2,sin1) D.2sin1
若sinαtanα＜0，且eq \f(csα,tanα)＜0，则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2或4
已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cs 2)，则sin α=( )
A.sin 2 B.－sin 2 C.cs 2 D.－cs 2
taneq \f(8π,3)的值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.－eq \f(\r(3),3) C.eq \r(3) D.－eq \r(3)
若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \r(3) D.2
已知点P(sineq \f(3π,4),cseq \f(3π,4))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(7π,4)
如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(4,5)，
则csα的值为( )
A.eq \f(4,5) B.－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D.－eq \f(3,5)
二、填空题
在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.
若sinα=eq \f(1,3)，则sinβ= .
一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为 .
已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________.
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=eq \f(1,2)×(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数，eq \r(3)≈1.73)
\s 0 答案解析
答案为：B；
解析：因为tanα=－eq \f(3,4)，α为钝角，所以sinα=eq \f(3,5)，csα=－eq \f(4,5)，
又因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))))，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，所以①正确；
同理，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，所以|PQ|2=eq \f(10＋2\r(5),5)，所以②正确；
由余弦定理得cs∠POQ=－eq \f(\r(5),5)，所以③错误；
sin∠POQ=eq \f(2\r(5),5)，所以S△POQ=eq \f(1,2)×1×1×eq \f(2\r(5),5)=eq \f(\r(5),5)，所以④正确，故选B.
答案为：C.
解析：若点P(csα，tanα)在第二象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα<0，,tanα>0，))可得α的终边在第三象限；
反之，若角α的终边在第三象限，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα<0，,tanα>0，))
即点P(csα，tanα)在第二象限，故选项C正确.
答案为：B.
解析：－300×eq \f(π,180)=－eq \f(5,3)π.
答案为：D.
解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得csα=sineq \f(2π,3)=eq \f(\r(3),2)，
故α=2kπ－eq \f(π,6)(k∈Z)，所以α的最小正值为eq \f(11π,6).
答案为：C.
解析：r=eq \f(1,sin1)，l=θ·r=2·eq \f(1,sin1)=eq \f(2,sin1)，故选C.
答案为：C；
解析：由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角.
由eq \f(csα,tanα)＜0可知csα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角.
综上可知，α为第三象限角.
答案为：C.
解析：设扇形的半径为r，扇形圆心角的弧度数为θ，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rθ＝6，,\f(1,2)θr2＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,θ＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝2，,θ＝1，))故选C.]
答案为：D
答案为：D.
解析：taneq \f(8π,3)=tan(2π＋eq \f(2π,3))=taneq \f(2π,3)=－eq \r(3).
答案为：C
解析：设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为eq \r(3)r，所以eq \r(3)r=αr，所以α=eq \r(3).
答案为：D
解析：sin eq \f(3π,4)=eq \f(\r(2),2)，cs eq \f(3π,4)=－eq \f(\r(2),2)，P在第四象限角平分线上.
答案为：D.
解析：因为点A的纵坐标yA=eq \f(4,5)，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，
所以A点横坐标xA=－eq \f(3,5)，由三角函数的定义可得csα=－eq \f(3,5).
答案为：eq \f(1,3).
解析：由已知可得，sinβ=sin(2kπ＋π－α)=sin(π－α)=sinα=eq \f(1,3)(k∈Z).
答案为：eq \f(5,18)；
解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，
则eq \f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2r,3)))2,πr2)=eq \f(5,27)，∴α=eq \f(5π,6).∴扇形的弧长与圆周长之比为eq \f(l,C)=eq \f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)=eq \f(5,18).
答案为：(－2,3].
解析：[由cs α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3，即a的取值范围为－2＜a≤3.]
答案为：20；
解析：如图，由题意可得∠AOB=eq \f(2π,3)，OA=6，
所以在Rt△AOD中，∠AOD=eq \f(π,3)，∠DAO=eq \f(π,6)，OD=eq \f(1,2)AO=eq \f(1,2)×6=3，可得CD=6－3=3.
由AD=AO·sineq \f(π,3)=6×eq \f(\r(3),2)=3eq \r(3)，可得AB=2AD=2×3eq \r(3)=6eq \r(3).
所以弧田面积S=eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)=eq \f(1,2)×(6eq \r(3)×3＋32)=9eq \r(3)＋4.5≈20(平方米).