高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测18《任意角和弧度制、任意角的三角函数》(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测18《任意角和弧度制、任意角的三角函数》(教师版)，共5页。

对点练(一) 角的概念
1．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，则kπ＋eq \f(π,2)故eq \f(α,2)是第二或第四象限角．由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)知sineq \f(α,2)<0，所以eq \f(α,2)只能是第四象限角．
答案：四
2．与2 019°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．
解析：∵2 019°＝219°＋5×360°，
∴在0°～360°内终边与2 019°的终边相同的角是219°.
答案：219°
3．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，
则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，
即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
答案：一
对点练(二) 弧度制及其应用
1．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是________．
解析：一个周角是2π，因此分针10分钟转过的角的弧度数为eq \f(10,60)×2π＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________．
解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为eq \r(3)r，所以eq \r(3)r＝αr，∴α＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
3．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，
则eq \f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq \f(5,27)，∴α＝eq \f(5π,6).∴扇形的弧长与圆周长之比为eq \f(l,c)＝eq \f(\f(5π,6)·\f(2,3)r,2πr)＝eq \f(5,18).
答案：eq \f(5,18)
对点练(三) 任意角的三角函数
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(4,5)，则cs α的值为( )
A.eq \f(4,5)B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(3,5)D．－eq \f(3,5)
解析：选D 因为点A的纵坐标yA＝eq \f(4,5)，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，
所以A点横坐标xA＝－eq \f(3,5)，由三角函数的定义可得cs α＝－eq \f(3,5).
2．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cs α＝eq \f(1,5)x，则tan α＝( )
A.eq \f(4,3)B.eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,4)D．－eq \f(4,3)
解析：选D 因为α是第二象限角，所以cs α＝eq \f(1,5)x＜0，即x＜0.又cs α＝eq \f(1,5)x＝eq \f(x,\r(x2＋16)).
解得x＝－3，所以tan α＝eq \f(4,x)＝－eq \f(4,3).
3．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是( )
A．[－2,2]B．[－eq \r(2)，eq \r(2)]
C．[－1,1]D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
解析：选C 设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cs α，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cs α－sin(α＋30°)＝－eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cs α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．
4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cs 2θ＝( )
A．－eq \f(4,5)B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5)D.eq \f(4,5)
解析：选B 设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cs θ＝eq \f(t,\r(5)|t|).当t>0时，cs θ＝eq \f(\r(5),5)；
当t<0时，cs θ＝－eq \f(\r(5),5).因此cs 2θ＝2cs2θ－1＝eq \f(2,5)－1＝－eq \f(3,5).
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝________.
解析：因为sin θ＝eq \f(y,\r(42＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案：－8
6．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝eq \f(1,3)，则sin β＝________.
解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(2eq \r(2)，1)，其关于y轴的对称点(－2eq \r(2)，1)在角β的终边上，此时sin β＝eq \f(1,3)；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－2eq \r(2)，1)，其关于y轴的对称点(2eq \r(2)，1)在角β的终边上，此时sin β＝eq \f(1,3).
综上可得sin β＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋eq \f(3,cs α)的值．
解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|.
当k>0时，r＝eq \r(10)k，
∴sin α＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,cs α)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10)，∴10sin α＋eq \f(3,cs α)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0；
当k<0时，r＝－eq \r(10)k，∴sin α＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,cs α)＝eq \f(－\r(10)k,k)＝－eq \r(10)，
∴10sin α＋eq \f(3,cs α)＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.
综上，10sin α＋eq \f(3,cs α)＝0.
2．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝3，,l＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝6，))
∴α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,3)或α＝eq \f(l,r)＝6.
(2)法一：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,4)l·2r≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l＋2r,2)))2＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝eq \f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
法二：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝eq \f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
3．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断 taneq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cseq \f(α,2)的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的非正半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，
故eq \f(α,2)终边在第二、四象限．
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)＜0，sin eq \f(α,2)＞0, cs eq \f(α,2)＜0，
所以taneq \f(α,2) sineq \f(α,2) cseq \f(α,2)取正号；
当eq \f(α,2)在第四象限时， taneq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＜0, cseq \f(α,2)＞0，
所以 taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)也取正号．
因此，taneq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号．