苏教版 (2019)必修 第二册14.4 用样本估计总体课堂检测

百分位数

1．k百分位数的定义

一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.

2．计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤

第1步，将所有数值按从小到大顺序排列；

第2步，计算k·；

第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·位和下一位之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；

第4步，如果k·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数．

3．四分位数

中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数．

1．下列一组数据的25百分位数是(　　)

2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6

A．3.2    B．3.0

C．4.4    D．2.5

【解析】选A.把这组数据按照由小到大的顺序排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8, 4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，

由i＝10×25%＝2.5，不是整数，

则第3个数据3.2，是25百分位数．

2．(教材练习改编)高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，则这7人身高数据的40百分位数为(　　)

A．168    B．170

C．172    D．171

【解析】选C.把7人的身高从小到大排列，可得

168，170，172，172，175，176，180，

7×40%＝2.8，

即第3个数据172为所求的40百分位数．

3．已知甲、乙两组数据(从小到大的顺序排列)：

甲组：27，28，39，40，m，50

乙组：24，n，34，43，48，52

若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则等于(　　)

A．     B．

C．     D．

【解析】选A.因为30%×6＝1.8，80%×6＝4.8，所以30百分位数为n＝28，80百分位数为m＝48，所以＝＝.

4．(1)班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？

(2)“这次数学测试成绩的70百分位数是85分”这句话是什么意思？

【解析】(1)不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．

(2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．

5．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率直方图．试利用频率直方图求这50名学生成绩的75百分位数．

【解析】由题意可知，前四个小矩形的面积之和为0.6，前五个小矩形的面积之和为0.84>0.75，

所以75百分位数位于第五个小矩形内．

由80＋×10＝86.25，

故75百分位数为86.25.

一、单选题

1．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的80百分位数是(　　)

A．90    B．90.5    C．91    D．91.5

【解析】选B.把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的80百分位数是＝90.5.

2．已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)

A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

【解析】选C.因为100×75%＝75，为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75百分位数，是9.3.

3．某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为

9．6，9.7，9.0，9.1，9.4，9.4, 9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，则该射手这次射击的成绩的75百分位数是(　　)

A．9.5    B．9.6    C．9.7    D．9.8

【解析】选C.将这12个数从小到大排列：

9．0，9.1，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，这组数据有12个数，因为12×75%＝9，所以这组数据的75百分位数是第9个数据与第10个数据的平均数，即＝9.7.

4．某校调查某班30名同学所穿的鞋的尺码如表所示：

则这组数据的25百分位数是(　　)

A．33    B．34    C．35    D．36

【解析】选B.因为30×25%＝7.5，所以这组数据的25百分位数为34.

5．一次数学测试中，高一(1)班某小组12名学生的成绩分别是：58分、67分、73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分，则这次测试该小组12名学生成绩的75百分位数是(　　)

A．88分    B．89分    C．90分    D．91分

【解析】选D.因为12×75%＝9，所以这组数据的75百分位数为＝91(分).

6．某市2019年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25，28，30，29，31，32，28，则这周的日最高气温的75百分位数为(　　)

A．28 ℃    B．29 ℃    C．31 ℃    D．32 ℃

【解析】选C.将数据由小到大排列为25，28，28，29，30，31，32，因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的75百分位数为31 ℃.

二、多选题

7．下列关于一组数据的50百分位数的说法不正确的是(　　)

A．50百分位数就是中位数

B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%

C．总体数据中的任意一个数大于它的可能性一定是50%

D．它一定是这组数据中的一个数据

【解析】选BCD.由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．

8．某班8名学生的体重(单位：kg)分别是：42，48，40，47，43，58，47，45，则下列结论正确的是(　　)

A．极差是18     B．25百分位数是42.5

C．中位数是46    D．平均数是47

【解析】选ABC.因为所给数据的最大值是58，最小值是40，所以极差是58－40＝18.将所给数据按从小到大的顺序排列是40，42，43，45，47，47，48，58.因为这组数据共8个，处于中间位置的是第4个数和第5个数，故这组数据的中位数是＝46.因为8×25%＝2，所以这组数据的25百分位数是＝42.5.平均数是46.25.

三、填空题

9．某学习小组10名同学在一次数学测试中的得分分别为85，78，66，91，67，78，67，87，96，88，则这10名同学成绩的60百分位数为________．

【解析】这组数据按照从小到大排列后为66，67，67，78，78，85，87，88，91，96，10×60%＝6，所以这10名同学成绩的60百分位数为＝86.

答案：86

10．一组样本数据的频率直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．

【解析】样本数据低于10的比例为0.08 ＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40 ＋0.36＝0.76，所以此样本数据的50百分位数在[10，14]内，估计此样本数据的50百分位数为10＋×4＝.

答案：

四、解答题

11．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表：

(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；

(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数．

【解析】(1)平均数＝×(2×6＋3×17＋4×15＋5×12)＝＝3.66.中位数是4.

(2)因为50×75%＝37.5，所以这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数是4.

12．根据新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2019年对该市进行为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，由此得到样本的空气质量指数频率直方图，如图．

(1)求a的值；

(2)根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的80百分位数．

【解析】(1)由题意，得10×(0.032＋0.03＋a＋0.01＋0.008)＝1.解得a＝0.02.

(2)因为(0.01＋0.02＋0.032)×10＝0.62<0.8，

0．62＋0.03×10＝0.92>0.8，所以80百分位数应位于[30，40)内．

由30＋10×＝36，可以估计这一年度的空气质量指数的80百分位数为36.

一、选择题

1．某公园对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如表所示：

则该公园“十一”黄金周七天假期游客人数的平均数和25百分位数分别是(　　)

A．2万、1.5万    B．2万、2.2万

C．2.2万、2.2万    D．2万、1.85万

【解析】选A.游客人数的平均数＝×(1.5＋2.2＋2.2＋3.8＋1.5＋2.2＋0.6)＝2(万).将数据由小到大排列得：0.6，1.5，1.5，2.2，2.2，2.2，3.8，因为7×25%＝1.75，所以这组数据的25百分位数为1.5万．

2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数、中位数和75百分位数分别为(　　)

A．84，68，83    B．84，78，83

C．84，81，84    D．78，81，84

【解析】选C.将所给数据按从小到大的顺序排列是68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两个数是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81.因为10×75%＝7.5，所以这一组数据的75百分位数为84.

3．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m1，60百分位数为m2，众数为m3，则(　　)

A．m1<m3<m2    B．m3<m1<m2

C．m3<m2<m1    D．m2<m3<m1

【解析】选B.由题图知m3＝5；

由中位数的定义，知第15个数与第16个数的平均数为m1＝＝5.5；由百分位数的定义，且30×60%＝18，则第18个数与第19个数的平均数为m2＝＝6.故m3<m1<m2.

4．(多选)甲乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)

A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的80百分位数等于乙的成绩的80百分位数

D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差

【解析】选AC.由题图可知，甲成绩的平均为6，乙成绩的平均数为6，所以A选项正确；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，所以B选项错误；甲的成绩的80百分位数为(7＋8)÷2＝7.5，乙的成绩的80百分位数(6＋9)÷2＝7.5，所以二者相等，所以C选项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，所以D选项错误．

二、填空题

5．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的25百分位数为________，75百分位数为________．

【解析】因为14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以这组数据的25百分位数为第4个数据154，75百分位数为第11个数据161.

答案：154　161

6．近年来，某市私家车数量持续增长，2015年至2019年该市私家车数量依次为15，19，22，26，30(单位：万辆)，则该组数据的中位数是________，10百分位数是________，20百分位数是________．

【解析】这组数据从小到大排列后，22处于最中间的位置，故这组数据的中位数是22.因为5×10%＝0.5，所以该组数据的10百分位数是15，因为5×20%＝1，所以该组数据的20百分位数是＝17.

答案：22　15　17

7．某校从高一年级中随机抽取部分学生，将他们的期末数学测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率直方图．据此统计，期末数学测试成绩不少于60百分位数的分数至少为________．

【解析】因为(0.005＋0.015＋0.03)×10＝0.5，

0．5＋0.025×10＝0.75>0.6，

故60百分位数应位于第四小组内．

由70＋10×＝74，得期末数学测试成绩不少于60百分位数的分数至少为74分．

答案：74

8．已知30个数据的60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________.

【解析】由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则(7.8＋x)÷2＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.

答案：8.6

三、解答题

9．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了100位顾客的相关数据：

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.请确定x，y的值，并计算顾客一次购物的结算时间的80百分位数．

【解析】由已知，得25＋y＋10＝55，x＋y＝35，

所以x＝15，y＝20.

可知：将这100位顾客购物结算时间从小到大排列，第80个数据和第81个数据都是2.5，

所以顾客一次购物的结算时间的80百分位数为2.5.

10．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一参赛学生成绩的60百分位数．

【解析】由题图可知，第1个小矩形的面积为0.3，第2个小矩形的面积为0.4，则60百分位数一定位于[60，70)内，由60＋10×＝67.5，可以估计高一参赛学生成绩的60百分位数约为67.5.