高中数学苏教版 (2019)必修 第二册14.4 用样本估计总体达标测试

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册14.4 用样本估计总体达标测试，共13页。


频率直方图
(1)我们将整个取值区间的长度称为全距，分成的区间的长度称为组距．
(2)把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的 eq \f(频率,组距) ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了直方图，我们将这种直方图称为频率直方图．
1．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
【解析】选B.样本数据落在[15，20]内的频数为：100×[1－5×(0.04＋0.10)]＝30.
2．(教材练习改编)某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为( )
A．6万元 B．8万元
C．10万元 D．12万元
【解析】选C.设11时至12时的销售额为x万元，由于频率分布直方图中各小组的组距相同，故各小矩形的高度之比等于频率之比，也等于销售额之比，所以9时至10时的销售额与11时至12时的销售额的比为 eq \f(0.10,0.40) ＝ eq \f(1,4) ，所以有 eq \f(2.5,x) ＝ eq \f(1,4) ，解得x＝10.
3．某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].
(1)频率分布直方图中x的值为________；
(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，估计新生中可以申请住校的学生有________名．
【解析】(1)由频率分布直方图，可得20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1所以x＝0.012 5.
(2)新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144，所以1 200名新生中约有144名学生可以申请住校．
答案：(1)0.012 5 (2)144
4．某校高二期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如表．
(1)求出表中m，n，M，N的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图；
(2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数．
【解析】(1)由频率分布表得M＝ eq \f(3,0.03) ＝100，
所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝ eq \f(42,100) ＝0.42，
N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1.
频率直方图如图所示．
(2)由题意知，全校成绩在90分以上的学生的人数约为 eq \f(42＋15,100) ×600＝342.
一、单选题
1．下列说法不正确的是( )
A．频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B．频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C．频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D．频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上边的中点得到的
【解析】选A.频率分布直方图中每个小矩形的高＝ eq \f(频率,组距) .
2．有一个容量为45的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：(12.5，15.5]，3；(15.5，18.5]，8；(18.5，21.5]，9；(21.5，24.5]，11；(24.5，27.5]，10；(27.5，30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的( )
A．91% B．92%
C．95% D．30%
【解析】选A.不大于27.5的样本数为3＋8＋9＋11＋10＝41，约占总体的百分比为 eq \f(41,45) ×100%≈91%.
3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
【解析】选B.设该班的学生人数为n，
则20×(0.005＋0.01)n＝15，n＝50.
4．某工厂对一批元件进行抽样检测．经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部在93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93，95)，[95，97)，[97，99)，[99，101)，[101，103)，[103，105]，得到如图所示的频率直方图．若长度在[97，103)内的元件为合格品，根据频率直方图，估计这批元件的合格率是( )
A．80% B．90%
C．20% D．85.5%
【解析】选A.由频率分布直方图可知元件长度在[97，103)内的频率为1－(0.027 5＋0.027 5＋0.045 0)×2＝0.8，故这批元件的合格率为80%.
5．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率直方图如图所示，则估计此样本的众数、中位数分别为( )
A．2.25，2.5 B．2.25，2.02
C．2，2.5 D．2.5，2.25
【解析】选B.众数是指样本中出现频率最高的数，在频率直方图中通常取该组区间的中点，所以众数为 eq \f(2＋2.5,2) ＝2.25.中位数是频率为0.5的分界点，由频率直方图，可知前4组的频率和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，因此中位数出现在第5组，设中位数为x，则(x－2)×0.5＝0.01，解得x＝2.02.
二、多选题
6．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点值作代表，则下列说法正确有( )
A．成绩在[70，80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
【解析】选ABC.A选项，由频率直方图可得成绩在[70，80)的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；B选项，由频率直方图可得成绩在[40，60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；C选项，由频率直方图可得平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；D选项，因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10× eq \f(0.05,0.3) ≈71.67(分)，故D错误．
7．某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50，100]内，其成绩的频率直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为( )
A．81.5 B．75 C．81.25 D．85
【解析】选CD.因为(0.005＋0.015＋0.025)×10＝0.45<0.5，(0.005＋0.015＋0.025＋0.040)×10＝0.85>0.5，所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在[80，90)内．设中位数为x，因为(0.005＋0.015＋0.025)×10＋0.04×(x－80)＝0.5，所以所求中位数为x＝81.25.众数为85.
三、填空题
8．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．
【解析】在频率直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，
解得x＝0.3，即该组数据的频率为0.3，
所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
答案：71
四、解答题
9．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：
[0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；
[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5)，2.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
【解析】(1)频率分布表
(2)频率分布直方图如图：
众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.
(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3 t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．
10．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表作出这些数据的频率直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【解析】(1)频率直方图如图．
(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
一、选择题
1．某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图①的频率直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图②，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率直方图中的一些数据，其中a＋b的值为( )
A．0.144 B．0.152
C．0.76 D．0.076
【解析】选B.由题意得c＋d＝ eq \f(12,100) × eq \f(1,5) ＝0.024且[2(c＋d)＋a＋b]×5＝1.所以2×0.024＋a＋b＝0.2.所以a＋b＝0.152.
2．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率直方图如图，
则这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为( )
A．65 B．64 C．62.5 D．60
【解析】选C.设20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
3．(多选)某次考试中，某班级的数学成绩统计图如下(每组数据包含左端点，不包含右端点).则下列说法错误的是( )
A．分数在70～80的人数最多
B．该班的总人数为40
C．分数在90～100的人数最少
D．及格(≥60分)的人数是26
【解析】选ABC.从表中可以看出，分数在70～80的有14人，人数最多，所以选项A正确；该班共有4＋12＋14＋8＋2＝40人，所以选项B正确；从表中可以看出，分数在90～100的有2人，人数最少，所以选项C正确；及格(≥60分)的人数为12＋14＋8＋2＝36人，所以选项D错误．
二、填空题
4．将容量为n的样本数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________．
【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，
则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝ eq \f(1,20) ，
所以前三组数据的频率分别是 eq \f(2,20) ， eq \f(3,20) ， eq \f(4,20) ，故前三组数据的频数之和等于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,20)＋\f(3,20)＋\f(4,20))) n＝27，解得n＝60.
答案：60
5．某电子商务公司对10 000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
【解析】(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)消费金额在区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故消费金额在区间[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：(1)3 (2)6 000
6．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为__________．(用“＞”连接)
【解析】甲数据的平均值为 eq \x\t(x) 甲＝1 250×0.000 6×500＋1 750×0.000 4×500＋2 250×0.000 2×500＋2750×0.0002×500＋3250×0.0006×500＝2200，同理，乙数据的平均值为 eq \x\t(x) 乙＝2150，丙数据的平均值为 eq \x\t(x) 丙＝2250，可见甲、乙、丙三者的平均值都处在频率分布直方图的最中间一列，此时，若越靠近中间列所占的频率越大，则相应的方差越小，明显丙的中间列及附近列所占的频率最大，其次是乙，甲中间列及附近列所占的频率最小，故s1>s2>s3.
答案：s1>s2>s3
三、解答题
7．(2019·全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值．
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
【解析】(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
8．已知一组数据：
125 121 123 125 127 129 125 128 130 129
126 124 125 127 126 122 124 125 126 128
(1)填写下面的频率分布表：
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.
【解析】(1)频率分布表如下：
(2)
(3)在[124.5，126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，图中虚线对应的数据是124.5＋2× eq \f(5,8) ＝125.75.使用“组中值”求平均数： eq \x\t(x) ＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8.分组
频数
频率
[0，30]
3
0.03
(30，60]
3
0.03
(60，90]
37
0.37
(90，120]
m
n
(120，150]
15
0.15
合计
M
N
分组
频数
频率
[0，0.5)
4
0.04
[0.5，1)
8
0.08
[1，1.5)
15
0.15
[1.5，2)
22
0.22
[2，2.5)
25
0.25
[2.5，3)
14
0.14
[3，3.5)
6
0.06
[3.5，4)
4
0.04
[4，4.5)
2
0.02
合计
100
1
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]
频数
6
26
38
22
8
分组
频数累计
频数
频率
[120.5，122.5)
[122.5，124.5)
[124.5，126.5)
[126.5，128.5)
[128.5，130.5]
合计
分组
频数累计
频数
频率
[120.5，122.5)
2
0.1
[122.5，124.5)
3
0.15
[124.5，126.5)
8
0.4
[126.5，128.5)
4
0.2
[128.5，130.5]
3
0.15
合计
20
1