2020-2021学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2020-2021学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷

1. 下列四个图分别是山东航空、重庆航空、海南航空和春秋航空公司的标志，其中属于中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列式子正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列分式中，是最简分式的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，平移线段AB，使点B落在点处，则点A的对应点的坐标为
    

A.
B.
C.
D.
 

5. 方程的一个根是，则a的值是

A. 6 B.  C. 8 D. 14

6. 下列说法判断错误的是

A. 对角线相互平分的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线相互垂直平分的四边形是菱形
D. 对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形

7. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的内角和是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边的中点，若的周长为l6，则的周长是

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

9. 如图，已知P是的角平分线上的一点，，，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为
    

A. 3cm B.  C. 2cm D.

10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值有可能是

A. 2021 B. 2 C. 1 D. 0

11. 如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是
     

A.
B.
C.
D.
 

12. 如图，矩形OABC的顶点，，BO与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2021秒时，矩形的对角线交点D的坐标为

A.
B.
C.
D.
 

13. 因式分解：______ .
14. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分，，，则平行四边形ABCD的周长是______ .

15. 方程的解是______.
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若，，则菱形ABCD的面积为______.
    
    
     

17. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______.
18. 如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作于点E，于点F，连接给出以下4个结论：①；②；③EF最短长度为；④若时，则EF的长度为其中结论正确的有______.
19. 解不等式组：
20. 化简：
21. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点求证：

22. 因式分解：；
    解方程：
23. “脱贫攻坚，交通先行”，某内陆贫困县，为了促进经济发展，把距离港口城市360km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．
24. 已知：如图，在中，，AD是的一条角平分线，AN是外角的平分线，，垂足为连接DE交AC于点
    试判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
    试判断DF与AB的关系，并说明理由．
    
     

25. 开发商准备以每平方米20000元价格出售某楼盘，为遵循政府有关房地产的调控政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米16200元的价格销售．
    求平均每次下调的百分率；
    房产销售经理向开发商建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
26. 如图，在四边形ABCD中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
    
    当四边形PBCQ是平行四边形时，求t的值；
    当______时，四边形APQD是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形APQD能够成为正方形，则P点移动速度是______；
    在点P、Q运动过程中，若四边形PBQD能够成为菱形，求AD的长度．
27. 【操作发现】
    
    如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
    ①请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为；
    ②连接，此时______；
    【问题解决】
    在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
    如图2，在等边中，点P在内部，且，，，求PB的长．
    经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
    【学以致用】
    如图3，在等腰直角中，，P为内一点，且，，，求PB；
    【思维拓展】
    注意：从以下①②中，你任意选择一道题解答即可．
    ①等腰直角中，，P为内部一点，若，则的最小值=______；
    ②如图4，若点P是正方形ABCD外一点，，，，求的度数．
28. 已知点D与点、、是平行四边形的四个顶点，其中x、y满，则CD的最小值为______.
29. 若方程的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：______ .
30. 已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足，连接若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想该三角形的形状，并证明你的结论．
    
    
    
    
    
     

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
此题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
 

2.【答案】C

【解析】解：A、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式的两边都减去4，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
D、不等式的两边都乘以，再加上5，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
 

3.【答案】A

【解析】解：A、是最简分式，符合题意；
B、，不是最简分式，不合题意；
C、，不是最简分式，不合题意；
D、，不是最简分式，不合题意；
故选：
直接利用分式的性质以及最简分式的定义分析得出答案．
本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

4.【答案】B

【解析】解：，平移线段AB，使点B落在点处，
线段向左平移4个单位，向下平移1个单位，
，
点A的对应点的坐标为，
即的坐标为，
故选：
根据B点对应点的坐标可得线段AB的平移方法，进而可得A点的对应点坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

5.【答案】A

【解析】解：方程的一个根是，
，
解得：，
故选：
把代入方程得出，再求出方程的解即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

6.【答案】B

【解析】解：A、对角线相互平分的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；
故选：
根据菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定定理逐项分析即可即可解答．
本题考查了菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记各种特殊四边形的判定定理．
 

7.【答案】D

【解析】解：正多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得，
解得，
，
即这个正多边形的内角和为
故选：
利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
此题主要考查了正多边形外角和与内角和等知识，根据正多边形的一个外角度数求出边数是解题的关键．
 

8.【答案】C

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
又的周长为16，
的周长
是BC中点，
是的中位线，，
，
的周长的周长
故选：
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，，E点是CD的中点，可得OE是的中位线，可得，从而得到结果．
本题考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
 

9.【答案】A

【解析】解：作于C，则此时PC最小，
是的角平分线上的一点，，，
，，
，
，M是OP的中点，
，
故选：
根据垂线段最短、角平分线的性质求出PD，根据直角三角形的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

10.【答案】D

【解析】解：根据题意得，
解得
故选：
根据判别式的意义得到，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】D

【解析】解：由题意可得，直线过一二三象限的为直线，
直线过二三四象限的为直线，
根据图象得，当时，
故选：
利用函数图象，找出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题.
 

12.【答案】C

【解析】解：如图，

四边形ABCO是矩形，
，，，
，
每秒旋转，6次应该循环，，
点D在X轴的负半轴上，
故选：
求出OD，每秒旋转，6次应该循环，，第2021秒时，矩形的对角线交点D与第五次的点D的坐标相同，第五次点D落在x轴的负半轴上，由此可得结论．
本题考查旋转变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

13.【答案】

【解析】解：
故答案为：
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

14.【答案】16

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形ABCD的周长是
故答案为：
根据平行四边形的性质和DE平分可得三角形CDE是等腰三角形，进而可得平行四边形ABCD的周长．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

15.【答案】3

【解析】解：方程的两边同乘，得
，
解得
检验：把代入
原方程的解为：
观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，注意：
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

16.【答案】24

【解析】解：四边形ABCD为菱形，
，，，
在中，，
，
菱形ABCD的面积，
故答案为
由菱形的性质可得，，，在中，由勾股定理可求OB，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

17.【答案】3

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
故答案为
根据一元二次方程根与系数的关系即可得出
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
 

18.【答案】①②③

【解析】解：①如图，连接PC，

四边形ABCD为正方形，
，，
在和中
，
≌，
，
，，且，
四边形PECF为矩形，
，
，故①正确；
②延长AP交BC于点G，
由①可得，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③当时，AP有最小值为，此时P为BD的中点，
由①可知，
的最短长度为，
故③正确；
④当点P在点B或点D位置时，，
，
当时，，
即EF的长度不可能为2，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
连接PC，可证得≌，结合矩形的性质，可证得，可判断①；延长AP交BC于点G，可证得，可判断②；求得AP的最小值即可求得EF的最短长度，可判断③；当点P在点B或点D时，AP有最大值2，则可判断④；可求得答案．
本题主要考查正方形的性质及全等三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②得，得，
所以原不等式组的解集为

【解析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
 

20.【答案】解：原式



 

【解析】先计算括号里的，再把分子分母分解因式，然后约分化简．
本题主要考查分式的混合运算，注意分式混合运算的顺序．
 

21.【答案】证明：如图，连接DF、BE，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，F分别为AO，OC的中点，
，，
，
，，
四边形BFDE是平行四边形，
 

【解析】利用平行四边形的性质，即可得到，，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

22.【答案】解：；

，
或，
，

【解析】先提取公因式xy，再利用完全平方公式分解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查因式分解和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

23.【答案】解：设汽车原来的平均速度是，
依题意得：，
解得：
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：汽车原来的平均速度

【解析】设汽车原来的平均速度是，利用时间=路程速度，结合行驶时间缩短了2h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形ADCE为矩形，
理由：平分，AN平分，
，，
，
在中，
，AD平分，

，
，

，
四边形ADCE为矩形；
，，
理由：
四边形ADCE是矩形，
，
，AD平分，
，
是的中位线，
即，

【解析】由在中，，AD是的一条角平分线，可得，，又由AN为的外角的平分线，可得，又由，即可证得：四边形ADCE为矩形；
四边形ADCE为矩形，可得，又由AD是BC边的中线，即可得DF是的中位线，则可得，
此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

25.【答案】解：设平均每次下调的百分率是x，
根据题意列方程得，，
解得：，不合题意，舍去，
答：平均每次下调的百分率为；

房产销售经理的方案对购房者更优惠．

【解析】设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格每次下调的百分率经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；
根据题意得到，计算求解即可．
此题考查一元二次方程的应用，熟练掌握基本数量关系是解决问题的关键．
 

26.【答案】7 4

【解析】解：当四边形PBCQ是平行四边形时，，
，
解得
在梯形ABCD中，，，
当时，四边形APQD是矩形，
，
解得：，
当时，四边形APQD是矩形；
四边形APQD是正方形，
，，
，
，
解得：，
点移动速度是，
故答案为7，4；
如图，

若四边形PBQD是菱形，则，
，
解得
，，
，，
，
在中，
由平行四边形的性质得出，则可得出答案；
由矩形的性质及正方形的性质可得出方程求出答案即可；
由菱形的性质可求，求出，由勾股定理可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练运用方程的思想方法是解本题的关键．
 

27.【答案】

【解析】解：①如图1所示，即为所求；

②连接，将绕点A按顺时针方向旋转，如图1所示：
，，
，
故答案为：；

【问题解决】如图2，

将绕点A按逆时针方向旋转，得到，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，

【学以致用】
是等腰直角三角形，
，，
将绕点C顺时针旋转得到，连接，

则，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，

【思维拓展】
①如图4，

是等腰三角形，

以B为中心，将逆时针旋转得到则，，，

当、、P、C四点共线时，最短，即线段最短，
，
长度即为所求．
过作延长线于
由旋转可知，

，
，，
；
在中，
故答案为
②将绕点B逆时针旋转，得到，连接，

，，，
是等腰直角三角形，
，，
又，，
，
是直角三角形，且，

①由题意画出图形；
②由旋转的性质得出，，则可得出结论；
将绕点A按逆时针方向旋转，得到，由旋转的性质得出，，，得出是等边三角形，由勾股定理可求出答案；
将绕点C顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，得出是等腰直角三角形，由勾股定理可求出答案；
①由旋转得到结论，只有，、、P、C四点共线时，最短，即线段最短，根据勾股定理，即可．
②将绕点B逆时针旋转，得到，连接，证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，正确作辅助线并能根据旋转的性质进行证明是解此题的关键．
 

28.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了平行四边形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
如图所示，根据平行四边形的性质可知：对角线 AB 、 CD 互相平分，可得 CD 过线段 AB 的中点 M ，即 ，根据 A 与 B 坐标求出 M 坐标，要求 CD 的最小值只需求出 CM 的最小值即可．
【解答】
解：根据平行四边形的性质可知：对角线 AB 、 CD 互相平分，
过线段 AB 的中点 M ，即 ，
， ，
，
点到直线的距离垂线段最短，
过 M 作直线 CF 的垂线交直线 CF 于点 C ，此时 CM 最小，
直线 ，令 得到 ；令 得到 ，
即 ， ，
， ， ， ，
∽ ，
，
即 ，
解得： ，
则 CD 的最小值为
故答案为：   

29.【答案】

【解析】解：，
或，
原方程的一个根为1，
设的两根为a、b，
则，，，
又，
，
解得，

故答案为：
先根据因式分解法得到或，设的两根为a、b，根据判别式和根与系数的关系得到，，，解得
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，
 

30.【答案】解：以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形，理由如下：
如图，过点A作并截取，连接BF、FM，
，，
，
在和中，，
≌，
，，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
是直角三角形，
，
，，
，
以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．

【解析】过点A作并截取，连接BF、FM，根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出是直角三角形，然后利用勾股定理逆定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理逆定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线构造出全等三角形和直角三角形．