第8章立体几何初步（基础30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）

第8章立体几何初步（基础30题专练）

一、单选题

1．（2022·全国·高一）如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（     ）

A．15 B．18 C．30 D．90

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定条件利用长方体的体积公式直接计算即可作答.

【详解】

因长方体的长、宽、高分别是6，5，3，所以该长方体的体积为.

故选：D

2．（2022·全国·高一）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ 　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．

【详解】

对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行：

对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：

对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：

对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：

故选：A．

3．（2022·全国·高一）已知两条不同的直线m､和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（       ）

A．若m，⊥m，则⊥α B．若β，⊥，，则⊥m

C．若m，⊥，则m⊥ D．若m，，则m

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间里面线线、线面、面面的位置关系即可逐项判断.

【详解】

A：若m，⊥m，则或l与α相交但不垂直，故A是假命题；

B：若β，⊥，则⊥β，又，∴l⊥m，故B是真命题；

C：若m，⊥，则m或m⊥或m与β相交但不垂直，或者m∥β，故C是假命题；

D：若m，，则m或m，故D是假命题.

故选：B.

4．（2022·全国·高一）如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（       ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直观图的作图方法即可求得答案.

【详解】

由题意可知，，且，即OA边上的高为4.

故选：A.

5．（2021·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（     ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】

利用线面平行、垂直的判定及性质对各选项逐一分析判断即可作答.．

【详解】

由，是两条不同的直线，是一个平面，知：

在A中，若，，则与相交、平行或，故A错误；

在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；

在C中，若，，则与平行、异面，故C错误；

在D中，若，，易知，故D正确．

故选：D．

6．（2022·全国·高一）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为cm的木质材料做成，其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（     ）

A．10cm B．15cm C．16cm D．20cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由密度、体积与质量的关系求体积，再应用圆柱、圆锥的体积公式列方程求底面面积.

【详解】

由题意，该陀螺的总体积为，

设底面半径为，则，解得，

故选：B．

7．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由斜二侧画法的规则分析判断即可

【详解】

先作出一个正三角形，

然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

画对应的轴，使夹角为，

画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，

然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，

故选：A

8．（2022·湖南·高一课时练习）如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（       ）

A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4

B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3

C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4

D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1

【答案】C

【解析】

【分析】

结合棱台的概念对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

A选项，，所以几何体不是三棱台，A选项错误.

B选项，，所以几何体不是三棱台，B选项错误.

C选项，，所以几何体是三棱台，C选项正确.

D选项，该几何体可能是三棱柱，D选项错误.

故选：C

9．（2022·全国·高一）已知平面，直线、，若，则“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】

若，且，则或，即“”“”；

若，且，则或、异面，则“”“”.

因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

二、多选题

10．（2021·全国·高一课时练习）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（       ）

A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为

C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.

【详解】

设为等边三角形的中心，为的中点，连接，

则为正三棱锥的高，为斜高，

又，，故,

故AB正确.

而正三棱锥的体积为，侧面积为，

故C错误，D正确.

故选：ABD.

11．（2021·广东高州·高一期末）、、表示不同的点，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法错误的是（       ）

A．若，，，则

B．若，，，，则

C．若，，、、，，则

D．若，，，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据线线、线面、面面关系，逐一判断可得选项.

【详解】

解：选项A，因为，，，所以，故A正确；

选项B，因为，，，，所以或与相交，故B不正确；

选项C，，，，，，，此时点不一定在平面内，所以不正确，故C不正确；

选项D，由，，，则与可能平行，也可能异面，故D不正确．

故选：BCD．

12．（2021·全国·高一课时练习）(多选)下列说法中正确的是（       ）

A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交

B．直线l在平面外是指直线和平面平行

C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交

D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交

【答案】CD

【解析】

【分析】

由线面直线的位置关系逐一判断即可求解.

【详解】

若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l⊂α，所以A不正确．

若l⊄α，则或l与α相交，所以B不正确．

由线面直线的位置关系可知，C、D正确.

故选：CD

13．（2021·全国·高一课时练习）设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据线面平行和面面平行的判定方法和性质验证每一个选项即可﹒

【详解】

在选项A中，，由线面平行判定定理得，，故A项正确；

在选项B中，，则a与b平行或异面，故B项错误；

在选项C中，，则与相交或平行，故C项错误；

在选项D中，由面面平行的性质定理得D项正确．

故选：AD﹒

14．（2021·全国·高一课时练习），，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（       ）

A．， B．，

C．，，共面 D．，，共点，，共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.

【详解】

解：由，，则、平行、异面都有可能，故A错误；

由，得，故B正确；

当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误；

当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误；

故选：ACD.

15．（2021·湖北·高一期末）已知两个平面垂直，下列命题错误的有（       ）

A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线

C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用平面和平面垂直的性质进行判断.

【详解】

一个平面内只有垂直交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，所以A, C错误；

过一个平面内任意一点作交线的垂线， 该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，

若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，所以D错误；

因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，所以B正确.

故选：ACD

16．（2022·湖南·高一课时练习）下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

空间想象直接可知.

【详解】

可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体，CD不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.

故选：AB

17．（2022·全国·高一）（多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，，表示不同的平面，则下列推理正确的是（       ）

A．，，， B．，，，

C．， D．，，

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据点线面的位置关系即可得到答案.

【详解】

根据公理1可知A正确；

根据公理3可知B正确；

易知D正确；

点A可以为的交点，C错误.

故选：ABD.

三、填空题

18．（2022·全国·高一）在参加综合实践活动时，某同学想利用3D打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形，底面直径为；下部为圆柱形，底面直径和高均为（如图所示）. 他希望当如图放置的容器内液体高度为时，把容器倒置后，液体恰好充满整个圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为_____.

【答案】6

【解析】

【分析】

求出容器内液体体积，进而列出方程，求出圆锥形部分高度.

【详解】

容器内液体体积为（cm3），设圆锥形部分高度为，则，解得：（cm）

故答案为：6

19．（2022·全国·高一）正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.

【详解】

边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，

则所得几何体的侧面积为：，

故答案为：.

20．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）用长和宽分别为和的矩形纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径为___________.

【答案】或

【解析】

【分析】

分别以和为圆柱底面的周长，然后根据圆的周长公式，即可求出底面的半径．

【详解】

设底面圆的周长半径为，

若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长，

∴，

若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长

∴.

故答案为：或.

21．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可．

【详解】

根据直观图与原图的面积比值为定值，可得平面图形的面积为.

故答案为：.

22．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______.

【答案】

【解析】

【分析】

作出直观图，结合斜二测画法概率计算

【详解】

如图，，到轴的距离为．

故答案为：．

23．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________.

【答案】

【解析】

【分析】

先利用梯形面积公式得到直观图的面积，再利用直观图与原图形面积的倍数关系进行求解.

【详解】

直角梯形ABCD的面积，设原图形面积为，则，则这个平面图形的实际面积

故答案为：

24．（2022·湖南·高一课时练习）已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则αβ；

②若αβ，l⊂α，m⊂β，则lm；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，lγ，则mn.

其中所有真命题的序号为________.

【答案】③

【解析】

【分析】

①利用平面的位置关系判断；②利用直线与直线的位置关系判断；③利用线面平行的性质定理判断.

【详解】

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则αβ或α与β相交；

②若αβ，l⊂α，m⊂β，则lm或直线l与m异面；

③因为α∩β＝l，β∩γ＝m， lγ，所以ml，同理可证ln，所以mn.

故答案为：③

25．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点.设三棱锥F－ADE的体积为，三棱柱的体积为，则＝________.

【答案】1∶24##

【解析】

【分析】

分别算出三棱锥F－ADE的与原三棱柱的底面积之比和高之比，进而根据椎体和柱体的体积公式求得答案.

【详解】

设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积.

∵D，E分别为AB，AC的中点，∴的面积等于.

又∵F为的中点，∴F到底面ABC的距离是到底面ABC距离h的一半，即为.

∴于是三棱锥F－ADE的体积，则.

故答案为：.

四、解答题

26．（2022·湖南·高一课时练习）如图，有三个三棱锥，，，你能将它们组合成一个三棱柱吗？试一试．

【分析】

利用三棱柱和三棱锥的结构特征求解.

【详解】

能够组成三棱柱，如下图所示：

27．（2022·湖南·高一课时练习）图中是某建筑物上面的半球状玻璃罩，假设其直径为10m，试计算做这样一个玻璃罩需要多少玻璃材料（π取3.14，精确到，门框忽略不计）．

【答案】157.00.

【解析】

【分析】

由球的表面积公式即可求得答案.

【详解】

因为球的直径为10（m），则半径为5（m），所以玻璃罩的表面积（）.

28．（2022·湖南·高一课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)每个有理数都是实数；

(2)过直线外任意一点有且仅有一条直线与已知直线平行；

(3)设，是的边，上的点，若，是，的中点，则．

【答案】(1)存在有理数不是实数.假命题

(2)过直线外任意一点不存在直线与已知直线平行，或至少有两条直线与已知直线平行.假命题

(3)，是的边，上的点，若，是，的中点，则与不平行．假命题

【解析】

【分析】

（1）否定结论即可，显然为假命题；

（2）该命题为形式，否定为；

（3）否定结论即可，由中位线定理可知判断真假.

(1)否定：存在有理数不是实数.

因为任何有理数都是实数，故否定为假命题.

(2)否定：过直线外任意一点不存在直线与已知直线平行，或至少有两条直线与已知直线平行.

易知否定为假命题

(3)否定：，是的边，上的点，若，是，的中点，则与不平行．

由三角形中位线知，否定为假命题

29．（2021·吉林·长春市第二实验中学高一期末）如图，长方体中，；

(1)求异面直线和所成角的正切值；

(2)求三棱柱的体积和表面积.

【答案】(1)      (2)，.

【解析】

【分析】

（1）因为，所以与所成的角即为与所成的角，从而得到结果；

（2）根据三棱柱的体积公式和表面积公式即可得到结果.

(1)在长方体中，因为，

所以与所成的角即为与所成的角，

即，

，

所以异面直线和所成角的正切值为；

(2)易知三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形，

所以．

又为三棱柱的高，

所以，

又四边形为矩形，，

所以，

故所求表面积

.

30．（2022·湖南·高一课时练习）如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：

(1)平面PAD；

(2)．

【分析】

(1)利用面面得到平面；

(2)证明面，从而得．

(1)四边形是的菱形，

∴为等边三角形，又为的中点，∴，

又∵平面平面，平面，平面平面，

∴平面；

(2)，为的中点，∴，

又，，平面，

∴平面，又∵面，

∴