2021年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷及答案

这是一份2021年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷及答案，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（ ）
A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π
2.目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2nm（其中1nm＝10﹣9m），用科学记数法表示这个最小刻度（单位：m），结果是（ ）
A．2×10﹣8mB．2×10﹣9mC．2×10﹣10mD．2×10﹣11m
3.下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
5.如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）
A．135°B．120°C．115°D．105°
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7.若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
故选：C．
8.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A．B．C．D．
9如图，已知Rt△AOB的顶点O（0，0），∠AOB＝90°，点B在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AO、AB于点M，N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，连接AP，交BO于点C．过点C作CD⊥BO交AB于点D．若CD＝2，∠B＝30°，则点A的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（0，4）C．（0，5）D．（0，6）
10如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11.﹣（﹣）﹣1＝ ．
12.二次函数y＝x2﹣bx+1的顶点在x轴上，则b＝ ．
13.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为 ．
14.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG．边EF交CD于点H．在边BE上取点M使BM＝BC．作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧儿里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆孤交线段DH于点P，连接EP．记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为 ．
15如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2．
三.解答题（共8小题，满分75分）
16求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
17.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m＝ ，n＝ ；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
18.如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？
19.如图1是一种简易三分角器的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E．点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．请证明这一方法的正确性．（写出已知、求证、证明）
20.如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）请直接写出不等式组≤﹣x+b的解集是 ；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．
21. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
22（1）发现问题：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝ ；
（2）类比探究：
如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求的值；
（3）拓展延伸：
在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．
23抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1.在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（ ）
A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π
【考点】算术平方根；实数大小比较．
【专题】实数．
【答案】B
【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：
∵||＝＜|﹣3|＝3
∴﹣＞（﹣3）
C、D项为正数，A、B项为负数，
正数大于负数，
故选：B．
2.目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2nm（其中1nm＝10﹣9m），用科学记数法表示这个最小刻度（单位：m），结果是（ ）
A．2×10﹣8mB．2×10﹣9mC．2×10﹣10mD．2×10﹣11m
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.2nm＝0.2×10﹣9m＝2×10﹣10m．
故选：C．
3.下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
【考点】算术平均数；中位数；众数；方差；随机事件．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据全面调查和抽样调查、众数和中位数、随机事件、方差的概念和性质判断即可．
【解答】解：A、端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行抽样调查，本选项说法错误，不符合题意；
B、一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，本选项说法错误，不符合题意；
C、海底捞月是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有三行两列，再根据俯视图即可求解．
【解答】解：由三视图可知，这个几何体是
．
故选：D．
5.如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）
A．135°B．120°C．115°D．105°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【专题】几何图形；三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．
【解答】解：过点G作HG∥BC，
∵EF∥BC，
∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°
∴∠E＝60°，∠B＝45°
∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°
∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°
故∠EGB的度数是105°，
故选：D．
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x﹣2）≥x﹣4，得：x≥1，
解不等式3x﹣2x＞﹣2，得：x＞﹣2，
故选：D．
7.若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣，y2＝﹣（k2+3），y3＝，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
8.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】C
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为5的结果数，进而求出相应的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，
∴P（和为5）＝＝．
故选：C．
9如图，已知Rt△AOB的顶点O（0，0），∠AOB＝90°，点B在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AO、AB于点M，N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，连接AP，交BO于点C．过点C作CD⊥BO交AB于点D．若CD＝2，∠B＝30°，则点A的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（0，4）C．（0，5）D．（0，6）
【考点】坐标与图形性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；作图—复杂作图．
【专题】作图题；图形的全等；图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】由尺规作图可知：AC平分∠BAO，即∠BAC＝∠OAC＝30°，进而可以证明AD＝CD，设CD＝a，则AD＝a，BD＝2a，即AB＝3a，进而得BD：AB＝2：3，再证明△BCD∽△BOA得CD：AO＝2：3，求出AO即可．
【解答】解：由尺规作图可知：AC平分∠BAO，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∴∠BAC＝∠OAC＝30°，
∵CD⊥BO，即AO∥CD，
∴∠ACD＝∠OAC＝30°，
∴AD＝CD，
设CD＝a，则AD＝a，BD＝2a，即AB＝3a，
∴BD：AB＝2：3，
∵AO∥CD，
∴△BCD∽△BOA，
∴CD：AO＝2：3，
∵CD＝2，
∴AO＝3．
故选：A．
10如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【答案】B
【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．
【解答】解：①0≤x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，
∴y＝×1×＝，
②当1＜x＜2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，
∴y＝（2﹣x）×＝x2﹣x+，
③当x＝2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11.﹣（﹣）﹣1＝ ．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】先化简立方根，负整数指数幂，然后再计算．
【解答】解：原式＝﹣2﹣（﹣2）
＝﹣2+2
＝0，
故答案为：0．
12.二次函数y＝x2﹣bx+1的顶点在x轴上，则b＝ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】将解析式配方成顶点式可得顶点坐标为（，1﹣），由顶点在x轴上得1﹣＝0，解之即可．
【解答】解：y＝x2﹣bx+1＝（x﹣）2+1﹣，
则抛物线的顶点坐标为（，1﹣），
∵该二次函数的图象的顶点在x轴上，
∴1﹣＝0，
解得：b＝2或b＝﹣2，
故答案为：2或﹣2．
13.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为 ．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】．
【分析】根据翻折变换和勾股定理可求出FC＝1，再在Rt△EFC中，由勾股定理求出DE，最后根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：由翻折变换可知，AD＝AF＝5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF＝＝＝4，
∴FC＝BC﹣BF＝5＝4＝1，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝3﹣x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
12+（3﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即DE＝，
在Rt△ADE中，
tan∠DAE＝＝＝，
故答案为：．
14.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG．边EF交CD于点H．在边BE上取点M使BM＝BC．作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧儿里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆孤交线段DH于点P，连接EP．记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为 ．
【考点】平方差公式；矩形的性质；正方形的性质；扇形面积的计算；作图—复杂作图．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】．
【分析】如图，连接AL，GL，PF．利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可．
【解答】解：如图，连接AL，GL，PF．
由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH＝，
∵点A，L，G在同一直线上，AM∥GN，
∴△AML∽△GNL，
∴，
∴，
整理得a＝3b，
∴＝＝＝，
故答案为：．
15如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC，过C点作CF⊥OA于F，先根据空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积，求得空白图形ACD的面积，再根据三角形面积公式得到三角形ODE的面积，再根据图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积，列式计算即可求解．
【解答】解：连接OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD＝OE＝1cm，OC＝2cm，∠AOC＝45°，
∴CF＝，
∴空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积
＝﹣×
＝π﹣（cm2）
三角形ODE的面积＝OD×OE＝（cm2），
∴图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积
＝﹣（π﹣）﹣
＝π+﹣（cm2）．
故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．
故答案为：（π+﹣）．
三.解答题（共8小题，满分75分）
16求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝÷
＝•
＝﹣x（x﹣1），
当x＝+1时，
原式＝﹣（+1）（+1﹣1）
＝﹣（+1）×
＝﹣2﹣．
17.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m＝ ，n＝ ；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【考点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
（2）①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调查的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m，用E类户数除以总户数求出n；
②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；
③用360°乘以C对应的百分比可得；
④用180万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可．
【解答】解：（1）选取样本的方法最合理的一种是③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取；
故答案为：③；
（2）①抽样调查的家庭总户数为：80÷8%＝1000（户），
m%＝＝20%，m＝20，
n%＝＝6%，n＝6．
故答案为20，6；
②C类户数为：1000﹣（80+510+200+60+50）＝100，
条形统计图补充如下：
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×10%＝36°，
故答案为：36°；
④180×10%＝18（万户）．
答：若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
18.如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知角的度数，易求得∠BAC＝∠BCA＝30°，由此得BC＝AB＝3米；可在Rt△CBF中，根据BC的长和∠CBF的余弦值求出BF的长，进而由x＝BF﹣EF求得汽车车头与斑马线的距离．
【解答】解：如图：延长AB．
∵CD∥AB，
∴∠CAB＝30°，∠CBF＝60°；
∴∠BCA＝60°﹣30°＝30°，即∠BAC＝∠BCA；
∴BC＝AB＝3米；
Rt△BCF中，BC＝3米，∠CBF＝60°；
∴BF＝BC＝1.5米；
故x＝BF﹣EF＝1.5﹣0.8＝0.7米．
答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米．
19.如图1是一种简易三分角器的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E．点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．请证明这一方法的正确性．（写出已知、求证、证明）
【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见证明过程．
【分析】证明△ABE≌△OBE得出∠1＝∠2，由角平分线的性质可得∠2＝∠3，即可证明∠1＝∠2＝∠3．
【解答】已知：EB⊥AC，AB＝OB，EF切半圆O于点F，
求证：∠1＝∠2＝∠3．
证明：如图，连接OF．
∵EN切半圆O于点F，
∴OF⊥EF，
∵EB⊥AC且 OF＝OB，
∴EO平分∠BEF，
∴∠3＝∠2，
∵EB⊥AC，
∴∠ABE＝∠OBE＝90°，
∵AB＝OB，EB＝EB，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3．
20.如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）请直接写出不等式组≤﹣x+b的解集是 ；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】数形结合；待定系数法；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x+4，y＝；
（2）1≤x≤3；
（3）S最大值是2，S最小值是．
【分析】（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得b＝4，即得一次函数的解析式为y＝﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函数的解析式为y＝；
（2）求出A（1，3），由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
（3）由点P是线段AB上一点，可设设P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得S＝OD•PD＝﹣（n﹣2）2+2，即得当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．
【解答】解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：
1＝﹣3+b，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，
将B（3，1）代入y＝得：
1＝，解得k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：
3＝﹣m+4，解得m＝1，
∴A（1，3），
由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
（3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），
∴1≤n≤3，
∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，
∵﹣＜0，且1≤n≤3，
∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，
∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．
21. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（30﹣x）部，获得的利润为w元，
w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
22（1）发现问题：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝ ；
（2）类比探究：
如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求的值；
（3）拓展延伸：
在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；分类讨论；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰直角三角形斜边和直角边的关系分别计算AE和CF的长，代入计算比值即可；
（2）证明△ABE∽△CBF，根据相似比可得结论；
（3）分两种情况：如图3和图4，分别根据勾股定理计算BF的长，可得AE的长，根据（2）中＝可得结论．
【解答】解：（1）如图1，
Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，
∴AB＝2，
∵四边形BFED是正方形，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF＝，
∴BE＝2，
∴AE＝2﹣2，CF＝2﹣，
∴＝；
故答案为：；
（2）如图2，由旋转得：∠CBF＝∠ABE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴＝，
∵四边形BFED是正方形，
∴，
∴，
∴△ABE∽△CBF，
∴＝＝；
（3）分两种情况：
①如图3，A，E，F三点共线，
Rt△AFB中，AB＝2，BF＝，
∴AF＝＝＝，
∴AE＝﹣，
由（2）知：△ABE∽△CBF，
∴，
∴CF＝＝﹣1；
②如图4，A，E，F三点共线，
∴∠AFB＝∠BFE＝90°，
∴AF＝＝，
∴AE＝AF+EF＝+，
同理得：CF＝＝＝+1；
综上，CF的长为﹣1或+1．
23抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式列出b、c的方程组，解得b、c便可；
（2）连接BC与对称轴交于点F，此时△ACF的周长最小，求得BC的解析式，再求得BC与对称轴的交点坐标便可；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），根据相似三角形的比例式列出m的方程解答便可．
【解答】解：（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，
，
解得，；
（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1，
此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，
∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为x＝1，
令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0），
∵C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2）；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，
则PH＝5DG，E（m，m﹣3），
∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，
∴△PEH∽△DEG，
∴，
∴，
∵m＝3（舍），或m＝5，
∴点P的坐标为P（5，12）．
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
价格
型号
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
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进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000