第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）

这是一份第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版），共31页。试卷主要包含了平面向量的基本定理，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、平面向量的基本定理
1.平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使．
2.基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作．叫做向量关于基底的分解式．
注：①定理中，是两个不共线向量；
②是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；
③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．
3.平面向量基本定理的证明：
在平面内任取一点，作，，．
由于与不平行，可以进行如下作图：
过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，
过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，
于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和
分别有，，
所以
证明表示的唯一性：如果存在另对实数，使，则，
即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，
不妨设，则，
由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛盾，因此，，即，．
4‘证明，，三点共线或点在线上的方法：
已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为 ……①，并且满足①式的点一定在上．
证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数，使，
∴
设点满足等式，则，即在上．
其中①式可称为直线的向量参数方程式
5.向量的中点的向量表达式：点是的中点，则．可推广到中，若为边中点，则有存在．
二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：
1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
2.向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
3.向量的直角坐标运算：
设，，则
①；②；③
注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；
② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
4.坐标含义：若，，则向量；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．
5.用平面向量坐标表示向量共线条件：
设，，则就是两个向量平行的条件．
若向量不平行于坐标轴，即，，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．
考点一：平面向量基本定理
例1．（2022·四川达州·高一期末）已知，分别是的边和的中点，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的基底表示与线性运算计算.
【详解】如图，因为，分别是的边和的中点，
.
故选：D
例2．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.
【详解】由中，，且边上一点满足，如图所示，
根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
例3．（2022·辽宁锦州·高一期末）已知，，BF=23BA+13BC，点M满足且BM=μBFλ,μ∈R，则（ ）
A．B．
C．CM=12CA+14CBD．MA+MB=14CA+14CB
【答案】AC
【分析】利用，BF=23BA+13BC将用表示，利用也将用表示，再通过平面向量基本定理可得；根据向量的线性运算可判断CD.
【详解】
，三点共线且为中点，
∵BF=23BA+13BC，∴AF-AB=23BA+13BC，
∴AF=23BA+13BC-BA=13BC-13BA=13AC，
三点共线且为上靠近A的三等分点，
∵BM=μBF，，
，
，
，，A正确，B错误；
∵CM=CA+AM=CA+12AE=CA+12CE-CA=12CA+12CE=12CA+14CB，
C正确；
，D不正确.
故选：AC.
例4．（2020·浙江义乌·高一期末）已知平面向量，的夹角为，且，，在△中，AB=2m+2n，AC=2m-6n，D为BC的中点，则______．
【答案】2
【分析】用表示出，由已知条件结合向量数量积的运算律求 .
【详解】△中，由D为BC的中点，则，
又，平面向量，的夹角为，
∴.
故答案为：2.
例5．（2021·北京市西城区教委高一阶段练习）如图，在中，点D，E分别在，上，且，若，则___________.
【答案】
【分析】根据向量的加减运算化简可得.
【详解】因为，
则，
所以，则.
故答案为：.
例6．（2022·辽宁营口·高一期末）如图所示，中，F为BC边上一点，，若，
（1）用向量、表示；
（2），连接DF并延长，交AC于点，若，，求和的值．
【答案】（1）（2），
【分析】（1）由得，进而得答案；
（2）由题知，，进而得，再结合（1）得以，解得，．
（1）解：因为，
所以，即，
所以
（2）解：若，，则，
所以
由于，
所以，，解得，．
所以，．
考点二：平面向量的正交分解及坐标表示
例1．（2021·全国·高一课时练习）若，，，则=（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据向量的加减运算求解.
【详解】∵
∴
故选：A.
例2．（2021·全国·高一课时练习）已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由向量的正交分解可得点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.
【详解】由题意得：
， 位于第四象限
故选：D.
例3．（2022·全国·高一）已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用平行四边形的性质以及共线向量，即可求解.
【详解】根据题意，，，，
要使四个点能构成平行四边形，则只需满足或或，
经过验证可得，，满足，不满足.
故选：ABC.
例4．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.
【答案】，
【分析】依题意，分别是，角的终边与单位圆的交点，设，．由三角函数的定义，求出、的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.
【详解】解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点．
设，．由三角函数的定义，
得，，∴．
，，∴．
∴，．
∴，
例5．（2021·全国·高一课时练习）已知向量， ．当k为何值时，与的夹角是钝角？
【答案】且
【分析】由条件可得且不共线，然后可建立不等式求解.
【详解】因为与的夹角是钝角，
所以且不共线，即
所以且.
例6．（2021·全国·高一课时练习）已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
【答案】向量与平行，直线AB与CD平行
【分析】求出的坐标，利用共线向量的坐标表示即可判断，然后计算坐标，判断点A，B，C是否共线得解.
【详解】因点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，则=(2，4)， =(1，2)，
显然有2×2-1×4=0，于是得∥，
因= (2，6)， 而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合，
所以直线AB与CD平行.
考点三：平面向量加、减运算的坐标表示
例1．（2022·全国·高一）渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度大小为，水流由西向东，速度的大小为设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头A的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A．在东侧B．在西侧C．恰好与重合D．无法确定
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，根据向量的几何意义即可求出结果．
【详解】如图建立直角坐标系，时，
水流速度为，
轮船的速度，
，
这说明船有x轴正方向的速度，即向东的速度，
故该游船航行到达北岸的位置应在的东方，
故选：A.
例2．（2022·青海西宁·高一期末）设，，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量坐标的减法运算可得答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
例3．（2021·湖南·长沙一中高一期末）已知向量，，若与共线，则实数________．
【答案】
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出，，根据向量共线建立方程即可求解.
【详解】，，
，
由与共线，可知，，
解得，
故答案为：4
例4．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知两点A（-2，2），B（4，4）的中点坐标为___________.
【答案】
【分析】利用中点坐标公式求解即可.
【详解】的中点坐标为
故答案为：
例5．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知平行四边形ABCD中，，，.
（1）用，表示；
（2）若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
【答案】（1）（2），
【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算求解；
（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可.
（1），
，又，所以
所以
（2）过点D作AB的垂线交AB于点，如图，
于是在中，由可知，
根据题意得各点坐标：，，，，，，
所以
所以，，,
考点四：平面向量数乘运算的坐标表示
例1．（2021·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量与向量共线，由求解.
【详解】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：D
例2．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】B
【分析】由平面向量线性运算的坐标表示出，，再由平面向量共线的坐标表示即可得解.
【详解】由已知得，，
又因为，
所以有，解得.
故选：B
例3．（2022·全国·高一）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与可以作为一组基底
C．
D．与方向相反
【答案】ACD
【分析】根据向量的坐标运算，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
所以，所以A正确，B不正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以与方向相反，所以D正确.
故选：ACD.
例4．（2021·全国·高一单元测试）已知，，若，则实数的值为______.
【答案】
【分析】先用向量的坐标运算法则求出，再根据向量平行所满足的公式进行求解.
【详解】，由于，所以，解得：
故答案为：
例5．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，，求：
（1）,；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【分析】（1）利用向量的坐标运算即得；
（2）利用向量模长的坐标公式即求.
（1）∵向量，，
，
所以，.
（2）∵，，
∴，
所以.
例6．（2022·辽宁大连·高一期末）（1）已知，，三点共线，求的值；
（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由三点共线可得，写出与，然后列方程组求解；（2）先计算出，设线段的两个三等分点为，计算出向量和，即可得的坐标.
【详解】（1）因为，，三点共线，所以可得，又，BC=11,y-2，所以，所以的值为.
（2）由（1）得，，设线段的两个三等分点为，则，，所以，所以线段的两个三等分点的坐标为.
考点五：平面向量数量积的坐标表示
例1．（2021·湖北·高一期末）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．向量是单位向量B．与不能作为基底
C．D．与的夹角为
【答案】D
【分析】根据向量的模定义去判断A的正误；以基底的要求去判断B的正误；以向量垂直的要求去判断C的正误；根据向量的夹角定义去判断D的正误.
【详解】对于A: 由得，不是单位向量；
对于B: 与是不共线的非零向量，可以作为基底使用；
对于C: ，不垂直；
对于D: ，又向量夹角范围为 ,故与的夹角为.正确.
故选：D
例2．（2020·浙江义乌·高一期末）设向量与的夹角为，，，则（ ）
A．B．1
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意先求出，再利用数量积关系即可求出.
【详解】设，则，
所有，解得，
所以.
故选：D.
例3．（2021·全国·高一单元测试）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，，若，则
B．单位向量，，则
C．若点为的重心，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据平面向量平行、模的坐标表示判断AB选项的正确性，利用向量运算、向量共线的知识判断CD选项的正确性.
【详解】A选项，由于，所以，A错误.
B选项，，B正确.
C选项，依题意是三角形的重心，设是的中点，连接，三点共线，如图所示，则，所以，C正确.
D选项，时就不行，D错误.
故选：AD
例4．（2022·浙江省开化中学高一期末）已知向量 ，，则向量在向量上的投影向量为________（用坐标表示）．
【答案】
【分析】先计算两个向量的夹角的余弦值，再计算向量 在向量 上的投影向量.
【详解】因为，，则 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为.
故答案为：
例5．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）（1）在直角三角形ABC中，C=90°，AB=5，AC=4，求；
（2）已知向量，，.若△ABC为直角三角形，求a的值.
【答案】（1）；（2）或13
【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a的值.
【详解】（1）以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得：，所以，，所以
（2），
①，此时，解得：；
②，此时，解得：；
③，此时，因为，无解；
综上：或13
例6．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
【答案】（1）或.（2）.
【分析】（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；
（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.
（1）解：设，因为，所以．①
又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．
（2）解：由，得，
又，解得，所以，
所以与的夹角.
一、单选题
1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知，，那么=（ ）
A．（2，2）B．（3，0）C．（4，1）D．（3，2）
【答案】D
【分析】由向量加法的坐标运算即可求解.
【详解】解：因为，，
所以，
故选：D.
2．（2021·全国·高一课时练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.
【详解】不共线的向量能作为基底，
因为，所以向量，共线，故排除A；
假设，解得，无解，
所以向量，不共线，故B正确；
因为，所以，共线，故排除C；
因为，所以，共线，故排除D，
故选：B
3．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的加法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】因为在中，，,，
为边上的高，所以在中，，
又，
，
为的中点，
，
，
，
故选：D.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】根据基底不共线原则判断即可.
【详解】解：只要两向量不共线便可作为基底，
故对于A选项，，共线，不满足；
对于B选项，，共线，不满足；
对于C选项，共线，不满足；
对于D选项，与不共线，故满足.
故选：D.
5．（2021·全国·高一课时练习）若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解.
【详解】由，，
则，，
，
设与的夹角余弦值为，
所以
.
故选：C
6．（2021·湖南·长沙一中高一期末）设，向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件利用向量垂直的坐标表示，求出即可计算作答.
【详解】向量，，，则，解得，即，
所以.
故选：A
二、多选题
7．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期中）下列数学符号可以表示单位向量的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据单位向量的定义及模为1，逐一分析四个选项，根据向量坐标求出向量的模，即可判断A选项；根据向量坐标和同角三角函数的平方关系，即可判断B选项；根据平面向量的数量积运算，即可判断C选项；根据单位向量的定义，即可判断D选项，从而得出答案.
【详解】解：因为单位向量的模为1，
对于A：，故A错误；
对于B：，故为单位向量，故B正确；
对于C：，为数量，不是向量，故C错误；
对于D：，由定义可得为单位向量，故D正确；
故选：BD.
8．（2021·广东·仲元中学高一期末）已知向量，，则（ ）
A．与的夹角余弦值为
B．
C．向量在向量上的投影向量的模为
D．若，则
【答案】ACD
【分析】对于A：由已知得，根据向量夹角的计算公式计算可判断；
对于B：由已知得，由此可判断；
对于C：由已知得向量在向量上的投影，从而可判断；
对于D：由，可判断.
【详解】解：对于A：因为向量，，所以，所以与的夹角余弦值为，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，故B不正确；
对于C：向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：因为，所以，所以，故D正确，
故选：ACD.
9．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时

所以，即
当M与C重合时，最大，此时

所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即，
结合选项可知ABC符合，D不符合
故选：ABC
10．（2021·浙江·诸暨中学高一期中）已知E，F分别是的边，的中点，若，则点P在四边形内（包括边界）的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AD
【分析】由题意可知点P在四边形内（包括边界），则，逐个判断即可求解
【详解】由题意可知点P在四边形内（包括边界），则
，
对于A：，满足条件，故A正确；
对于B：，不满足条件，故B错误；
对于C：，不满足条件，故C错误；
对于D：，满足条件，故D正确；
故选：AD
三、填空题
11．（2021·全国·高一单元测试）若向量，，且，则___________.
【答案】13
【分析】利用向量平行的充要条件列方程求x.
【详解】因为向量，， ，
所以，
解得：x=13.
故答案为：13
12．（2021·全国·高一课时练习）若，，则______．
【答案】
【分析】根据向量数量积的运算直接可得.
【详解】由已知的坐标表示为，的坐标表示为，
所以，
故答案为：.
13．（2021·全国·高一单元测试）已知点，，点P是直线AB上一点，且满足，则点P的坐标是___________.
【答案】
【分析】先求出的坐标，再得点坐标．
【详解】由已知，由得，
所以点坐标为．
故答案为：
14．（2021·全国·高一课时练习）在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
【答案】
【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可证得结论成立.
【详解】解：如下图所示，
由平面向量的加法法则可得，
，，
因为，
所以，，解得，因此，.
故答案为：.
15．（2021·全国·高一课时练习）若向量，不共线，且，，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】设向量，的夹角为，利用展开计算，再将代入，写出的范围.
【详解】设向量，的夹角为，因为，，所以，又向量，不共线，所以，所以，即.
故答案为：.
16．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
【答案】##
【分析】由向量坐标运算可求得，代入向量夹角公式可求得，由此可得结果.
【详解】
解：由题意得：，
设，则，即

故答案为：
四、解答题
17．（2021·全国·高一课时练习）已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．
【答案】.
【分析】设，根据与垂直，与平行，列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】解：设，则，
因为与垂直，与平行，
所以，解得，
所以点的坐标为.
18．（2021·全国·高一课时练习）已知，，求，，，．
【答案】，，，.
【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】由题意可知：，
，，
又因为，且，所以.
19．（2021·四川·射洪中学高一阶段练习）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，求的值．
【答案】(1)1(2)详见解析
【分析】（1）由题得，再利用二倍角公式及同角关系式可得，即求；
（2）由题可得，再利用同角关系式及两角和公式即求.
(1)∵，，，，
∴，即，
∴
.
(2)∵，，，
∴，，
∴，
∴，
又，，
∴，
当时，，
当时，.
20．（2021·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知向量，，，且．
(1)求与间的关系；
(2)若，求与的值及四边形的面积．
【答案】(1)(2)或四边形的面积为16
【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出，的坐标，利用平行关系即可得到与间的关系.
（2）由（1）得到与间的关系以及利用数量积为0，通过联立方程分别解出，并确定，坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.
(1)由题意得，，
因为，所以，即……①
(2)由题意得，，
因为，所以，即，
整理得
……②
联立①②,解得或.
记四边形面积为
当时，，，则，
当时，，，则
综上或四边形的面积为16
21．（2021·全国·高一课时练习）在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
【答案】
【分析】由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解.
【详解】如图所示：
因为，
所以，
所以，
即，
所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），
又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，
设，
则，
，
因为，
所以，
则，解得，
所以t的值是.