第3讲 平面向量的应用(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

这是一份第3讲 平面向量的应用(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版），共16页。试卷主要包含了正弦定理， 余弦定理，1N）等内容，欢迎下载使用。
第3讲 平面向量的应用(核心考点讲与练)一.向量在平面几何中常见的应用，（1）求线段长度或证明线段相等，用向量的模长公式：，例如证明,只要证明或.（2）证明直线或线段平行，用向量共线定理：（3）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，使得或或,即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可.（4）证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件：.例如证明,只要证明.（5）求夹角问题，利用夹角公式：cos＝＝．二.向量在物理中的应用（1）向量与力向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度，加速度及位移速度，加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.（3）向量与功，动量力做的功是力在物体前进的方向上的力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，，动量实际上是数乘向量.三.正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：（为的外接圆半径）2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角.(4) 利用余弦定理判断三角形形状：①勾股定理是余弦定理的特殊情况，.②在中，，所以为锐角；若，，同理可得角、为锐角.当，，都成立时，为锐角三角形．③在中，若，所以为钝角，则是钝角三角形．同理：若，则是钝角三角形且为钝角；若，则是钝角三角形且为钝角．四.三角形面积公式1．（表示边上的高）；2．；3．；4．；5. 考点一：向量在平面几何中常见的应用例1．（2021·全国·高一课时练习）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（       ）A． B． C． D．例2．（2021·全国·高一课时练习）设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（       ）A．若，则的形状为等边三角形B．若，则点M是边BC的中点C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心D．若，则点M在边BC的延长线上例3．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.例4．（2021·全国·高一课时练习）点为内一点，，则的面积之比是___________.例5．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东 ；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.  例6．（2021·全国·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：(1)，分别对该质点做的功；(2)，的合力对该质点做的功.      例7．（2021·全国·高一课时练习）已知，，一动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为.另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设P，Q在时分别在，处，问当时，所需的时间t为多少？            例8．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，直角梯形ABCD，，，．(1)设线段BC的中点为M且，求和的值；(2)若点P在线段BC上且，求满足的实数t的值．            考点二：向量在物理中的应用例1．（2021·全国·高一课时练习）已知，作用于同一质点，使其由原点移动到点，则合力对质点所做的功为___________.例2．（2021·全国·高一课时练习）某人在静水中游泳时速度为4km/h，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进.例3．（2021·全国·高一课时练习）如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.例4．（2021·全国·高一课时练习）如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F．（1）如果，求F的大小；（2）试研究：当时，随着的增大，F的变化趋势．           例5．（2021·全国·高一课时练习）家有重物，爸､妈､孩三人合力拉拍，用力依次为，三个力的方向两两成角，大小依次为，，，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面.（1）求物重；（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角的余弦值.     例6．（2021·全国·高一课时练习）如图，一个质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，两根绳子与铅垂线的夹角分别为30°和45°.求这两根绳子所承受的力和的大小（精确到0.1N）.（重力加速度）   例7．（2021·全国·高一单元测试）三个力､和作用于同一质点，且N，N，N，若三个力的夹角都为120°，求合力的大小和方向.     例8．（2021·全国·高一课时练习）如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.            考试三：余弦定理、正弦定理例1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（    ）A．sin(B+C)=sinAB．cos(B+C)=cosAC．若，则为直角三角形D．若，则为锐角三角形例2．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=acosB+bcosA，b=2，则△ABC的面积的最大值是___________.例3．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.（1）求角C；（2）求边c.    例4．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA，若a=4，b+c=6，且b<c，求b，c的值.     例5．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在中，角的对边分别为，若.（1）求角；（2）若的面积为，，求的周长.     例6．（2022·上海市建平中学高一期末）在中，已知角，边，面积.求：（1）边c的值.（2）角的值.    例7．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角B的平分线交AC于点D，.（1）求角B的大小；（2）证明：.       例8．（2022·山东滨州·高一期末）如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为，平行四边形ABCD的顶点C在扇形弧上，D在半径OQ上，A，B在半径OP上，记平行四边形ABCD的面积为S，．
 （1）用表示平行四边形ABCD的面积S；（2）当取何值时，平行四边形ABCD的面积S最大？并求出这个最大面积．       一、单选题1．（2022·全国·高一）在中，已知，，，则此三角形（       ）A．无解 B．只有一解C．有两解 D．解的个数不确定2．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在中，角A，B，C对应的边分别为a､b､c，若，，，则B等于（       ）A． B． C．或 D．33．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）内角的对边分别为，已知，则（       ）A． B． C． D．4．（2021·福建·厦门一中高一阶段练习）下列命题中是真命题的是（       ）A．“”是“”的充分非必要条件B．“”是“”的必要非充分条件C．在中“”是“”的充分非必要条件D．“”是“”的充要条件5．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（       ）A．x>2 B．0<x<2 C．2<x<3 D．2<x<4二、多选题6．（2021·全国·高一课时练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（       ）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8．（2021·全国·高一专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的取值可以是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4三、填空题9．（2021·全国·高一课时练习）“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=_______.10．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.11．（2021·北京·日坛中学高一期中）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .12．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在中，∠A=60°，AB=1，AC=2，则BC=___________.13．（2021·全国·高一课时练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.14．（2021·全国·高一课时练习）在中，若面积，则______．四、解答题15．（2022·全国·高一）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足(1)求B的大小；(2)若，，求的面积．           16．（2021·全国·高一课时练习）如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB．，某人从C沿CD走到D用了10min，从D沿DA走到A用了6min．若此人步行的速度为每分钟50m，求该扇形的半径OA的长．（精确到1m）   17．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B；(2)若，求的周长l．              18．（2021·湖北·高一期末）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行到达海岛C．(1)求的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行？