专题03 平行四边形-2021-2022学年八年级数学下学期期末复习常考点知识巩固+例题练习+期末模拟测试卷（人教版）

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平行四边形常考点知识巩固与题型练习
































考点一：平行四边形
【知识点巩固】
平行四边形的定义：
如图，两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：
边的性质：平行四边形的对边 平行且相等 。即 ， 。
角的性质：对角 相等 ，邻角 互补 。
对角线的性质：对角线 相互平分 。即： ， 。
面积计算：等于 底×高 。即： 。
对称性： 中心对称图形 。
过平行四边形对角线交点的直线与平行四边形的一组对边相交，两交点到对角线交点的距离 相等 。
平行线间的距离：
定义：从一条平行线上任意一点作另一条平行线的 垂线 ， 垂线段 的长度叫做怕平行线间的距离。
性质：平行线间的距离 处处想等 。
【例题：利用平行四边形性质求值】
1．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（　　）

A．150° B．130° C．120° D．100°
【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB＝∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝25°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
2．平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则AB、BC的长分别为（　　）
A．20cm，12cm B．10cm，6cm C．6cm，10cm D．12cm，20cm
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，BC＝AD，然后设AB＝3xcm，BC＝5xcm，可得到2（3x+5x）＝32，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵AB：BC＝3：5，
∴可设AB＝3xcm，BC＝5xcm，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm，
∴2（AB+BC）＝32，即2（3x+5x）＝32，
解得：x＝2，
∴AB＝6cm，BC＝10cm．
故选：C．
3．在▱ABCD中，AC＝24，BD＝38，AB＝m，则m的取值范围是（　　）
A．24＜m＜39 B．14＜m＜62 C．7＜m＜31 D．7＜m＜12
【分析】根据平行四边形两条对角线互相平分可得AO＝＝12，BO＝BD＝19，再根据三角形三边关系定理可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝＝12，BO＝BD＝19，
∵BO﹣AO＜AB＜AO+BO，
∴7＜m＜31，
故选：C．
4．如图，在▱ABCD中，E是AD边的中点，BE平分∠ABC．若AB＝2，则▱ABCD的周长是（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】因为ABCD为平行四边形，故AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，故△ABE为等腰三角形，AE＝AB＝2，可知AD＝4，继而可求出▱ABCD的周长．
【解答】解：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，
又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，
故△ABE为等腰三角形，
∴AE＝AB＝2，可知AD＝4，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝12．
故选：B．
【例题：利用平行四边形的性质求点的坐标】
5．如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标．
【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，

∴EF∥CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE＝CE，
∴AG＝2AF，CG＝2EF，
∵A（4，0），E（3，1），
∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，
∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，
∴AG＝2，
∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，
∴C（2，2）．故选：D．
6．如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　）

A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）
【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE＝DN，AE＝CN，根据A、B、C的作求出OM和DM即可．
【解答】解：
过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，
则四边形EFNM是矩形，
所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，
∴∠EAB＝∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠AQC＝∠DCN，
∴∠DCN＝∠EAB，
在△DCN和△BAE中
，
∴△DCN≌△BAE（AAS），
∴BE＝DN，AE＝CN，
∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），
∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，
∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，
∴D的坐标为（3，2），
故选：B．
【例题：平行线间的距离】
7．已知直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，那么直线l1与l3的距离是（　　）
A．3cm或7cm B．3cm C．5cm D．7cm
【分析】分类画出图形即可得到答案．
【解答】解：当l2在l1、l3之间时，如图：

∵直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，
∴直线l1与l3的距离是5+2＝7（cm），
当l1、l3在l2同侧时，如图：

∵直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，
∴直线l1与l3的距离是5﹣2＝3（cm），
故选：A．
8．如图，直线AB∥CD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是 cm．

【分析】根据角平分线得出∠HGI＝90°，利用直角三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：设直线AB与直线CD之间的距离是h，
∵GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，∠CGF+∠FGD＝180°，
∴∠HGF+∠FGI＝90°，
∴∠HGI＝90°，
∵HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，
∴，
∴h＝，
即直线AB与直线CD之间的距离是12，
故答案为：12．
【知识点巩固】
三角形的中位线：
定义：三角形任意两边的 中点 的连线段，叫做三角形的中位线。即若E是AB的中点，F是AC的中点，则线段EF是△ABC的中位线。
性质：三角形的中位线 平行且等于第三边的一半 。即 。
【例题：三角形中位线性质的应用】
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，AB＝8，D、E分别是AB与AC的中点，则DE的长为（　　）

A．5 B．4 C．2 D．2
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×8＝4，
由勾股定理得：BC＝＝＝4；
∵D、E分别是AB与AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝2，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．
【分析】延长CF交AB于G，根据等腰三角形的判定和性质得到 AG＝AC＝4，FG＝CF，进而求出BG，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长CF交AB于G，
∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC＝4，FG＝CF，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1，
故选：A．

11．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
12．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（　　）

A．a B．a C．a D．a
【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长＝a，△A2B2C2的周长＝a＝a，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，
∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB，
∴△A1B1C1的周长＝a，
同理，△A2B2C2的周长＝a＝a，
……
则△AnBn∁n的周长＝a，
故选：A．
13．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20
【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
【知识点巩固】
平行四边形的判定：
用边判定（常考）：①一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形。
②两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形。
③两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形。
用角判定：两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形。
对角线判定（常考）：对角线 相互平分 的四边形是平行四边形。
【例题：对判定条件的熟悉】
14．下列四个条件中，不能判断四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行
B．对角线互相平分
C．两组对角分别相等
D．一组对边平行，另一组对边相等
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项正确，
故选：D．
15．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）

A．OA＝OC，AB∥DC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．∠ABD＝∠ADB，∠BAO＝∠DCO D．AB＝DC，AD＝BC
【分析】利用选项中的条件依次证明，即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项A不合题意；
∵∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B不合题意；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D不合题意；
故选：C．
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD．AD＝BC
C．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，∠ABC＝∠ADC
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝CD．AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
17．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
⑤∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
故选：C．
【例题：利用平行四边形的判定求平行四边形顶点坐标】
18．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、B（2，2）、C（3，0），若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（　　）
A．（﹣1，2） B．（5，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣2）
【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．
【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（5，2）
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣1，2），
③AC为对角线时，点D的坐标为（1，﹣2），
综上所述，点D的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故选：D．
19．在直角坐标系中，有A（﹣1，1），B（3，1），C（2，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标不可能是（　　）
A．（1，2） B．（﹣2，4） C．（0，﹣2） D．（6，4）
【分析】根据平行四边形的性质，分别从AC，BC，AB为对角线，去分析求解即可求得答案．
【解答】如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
①若以BC为对角线，则CD＝AB＝4，
∴点D1的坐标为（6，4）；
②若以AC为对角线，则CD＝AB＝4，
∴点D2的坐标为（﹣2，4）；
③若以AB为对角线，则AD∥BC，BD∥AC，且AC＝BD，AD＝BC，
∴点D3的坐标为（0，﹣2），
综上所述，符合条件的点D的坐标有：（6，4），（﹣2，4），（0，﹣2）．
故选：A．

20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣1），B（4，2），C（0，3），下列坐标不能与A、B、C构成平行四边形的是（　　）
A．（﹣3，0） B．（5，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据平行四边形的判定分别求出第四个顶点的坐标即可．
【解答】解：若A、B、C、D四点可以构成平行四边形，分以下三种情况分别求出D点的坐标：
①如图1，

当AC∥DB，AD∥CB时，D点的坐标为（5，﹣2）；
②如图2，

当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（3，6）；
③如图3，

当AB∥DC，AD∥BC时，D点的坐标为（﹣3，0）．
故选：D．
【例题：平行四边形的性质与判定综合】
21．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AB的长．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝30°．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．

在△ACG中，∠AGC＝90°，AC＝，∠CAG＝45°，
∴由勾股定理得CG＝AG＝1．
在△BCG中，∠BGC＝90°，∠B＝30°，CG＝1，
∴BC＝2，
∴BG＝＝，
∴AB＝AG+BG＝．
22．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形．
（1）证明：四边形AEFD是平行四边形；
（2）求∠DFE的度数．
【分析】（1）由△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，得DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，EC＝AC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝BCF＝60°，则∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF，进而可证明△DBF≌△ABC，△EFC≌△ABC，得DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，即可证明四边形AEFD是平行四边形；
（2）先根据勾股定理的逆定理求得∠BAC＝90°，再有∠BAD＝∠CAE＝60°，即可求得∠DFE＝∠DAE＝150°．
【解答】（1）证明：∵如图，∵△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，
∴DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，EC＝AC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝BCF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF，
在△DBF和△ABC中，
，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF＝AC，
∴DF＝AE，
在△EFC和△ABC中，
，
∴△EFC≌△ABC（SAS），
∴EF＝AB，
∴EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）解：如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝360°﹣∠BAD﹣∠CAE﹣∠BAC＝150°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，
∴∠DFE的度数是150°．



23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，
∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴DE＝BF，
∵∠DEA＝∠BFC＝90°，
∴∠DEO＝∠BFO＝90°，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5，
∵DE⊥AC，
在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2，
在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2，
即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2，
解得：AE＝5，∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12，
∴△DOE的面积＝．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，即∠ABE＝16°．
考点二：矩形
【知识点巩固】
矩形的定义：
有一个角是 直角 的平行四边形是矩形。
矩形的性质：
①有平行四边形的一切性质。
②边：邻边相互 垂直 。
③角：四个角都是 直角 。
④对角线：对角线 相等 。
⑤对称性：既是 轴对称 图形，也是 中心对称 图形。
直角三角形斜边上的中线：
直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 。
【例题：利用矩形的性质求值】
25．如图，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点．若AB＝8，OE＝3，则线段OC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理得出AD＝2OE，进而利用勾股定理得出BD，再根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠BCD＝90°，DO＝OB，
∵E是AB边的中点，
∴OE是△ADB的中位线，
∴AD＝2OE＝6，
∵AB＝8，
∴BD＝，
∴OC＝BD＝5，
故选：C．
26．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（　　）

A． B． C． D．54
【分析】根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，AD∥BC，然后由中点的定义及全等三角形的判定可得△ABE≌△DFA，最后根据面积的和差关系可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵点E是BC的中点，
∴AF＝EF＝3，
∴AF＝BE，AD＝AE，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BEA，
∴△ABE≌△DFA（SAS），
∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣2S△ABE＝9×6﹣2××9×3＝27，
故选：C．
27．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB，由勾股定理求出OD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB，
∵AE＝2，
∴OE＝2，
∴OD＝OB＝2OE＝4；
故选：C．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（　　）

A． B．2 C． D．2
【分析】依据矩形的性质即可得到△BOC的面积为2，再根据S△BOC＝S△BOE+S△COE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，
∴BO＝CO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为2，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，
2＝CO×EO+BO×EF，
∴2＝××EO+×EF，
∴（EO+EF）＝4，
∴EO+EF＝，
故选：A．
29．如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（　　）

A．10 B．25 C．50 D．75
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，由直角三角形的性质可得DF＝BF＝EF＝5，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，
∵BD⊥DE，点F是BE的中点，
∴DF＝BF＝EF＝5，
∴CF＝5﹣y，
∴DF2＝DC2+CF2＝x2+（y﹣5）2＝25，
故选：B．
【例题：利用直角三角形斜边的中线性质求值】
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，若以点C为圆心，CB的长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（　　）

A．5 B．6 C．5 D．5
【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝5，由圆的半径相等得出BC＝CD＝5，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：连接CD，

∵∠C＝90°，点D为AB的中点，
∴CD＝AB＝5，
∴BC＝CD＝5，
在Rt△ABC中，AC＝．
故选：D．
31．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）

A．7 B． C．8 D．9
【分析】根据直角三角形的性质求出DE，由EF＝1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
【解答】解：∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
32．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝8，BE是高，且点D，F分别是边AB，BC的中点，则△DEF的周长等于 　．

【分析】由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质求出DF、EF、DE的长，即可得出答案．
【解答】解：∵点D、F分别是边AB、BC的中点，AB＝AC＝16，BE是高，
∴DF是△ABC的中位线，AF⊥BC，BE⊥AC，
∴DF＝AC＝8，EF＝BC＝4，DE＝AB＝8，
∴△DEF的周长＝DF+EF+DE＝8+4+8＝20．
故答案为：20．
【知识点巩固】
矩形的判定：
①三个（四个）角都是 直角 的四边形是矩形。
②一个角是 直角 的平行四边形是矩形。
③对角线 相等 的平行四边形是矩形。
【例题：矩形判定条件的熟悉】
33．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．
【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
34．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中三个角是否都为直角
C．测量对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B．
【例题：矩形的判定与性质综合】
35．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．

【分析】（1）先证四边形AEFD为平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得DF＝AE，AF＝DE＝4，再由勾股定理的逆定理得△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，然后由面积法求出AE的长，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴，
∴．
36．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．

【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，得∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得CD＝AD＝3，再由矩形的性质得OE＝CD＝3即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
由（1）得：四边形DECO是矩形，
∴OE＝CD＝3．
37．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝5，EC＝2，求OE的长度．

【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝4，AC＝2，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝5，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∵EC＝2，
∴BE＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．
38．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．

【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF即可；
（2）先证△DFG≌△CEG（AAS），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD＝EF，即可得出结论；
（3）设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，证△DEG是等腰直角三角形，得DE＝DG＝a，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝AB＝2a，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解得a＝8，即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：

由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形；
（3）解：设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝80，AB∥CD，
∵四边形CFDE是正方形，
∴∠DEC＝90°，CD⊥EF，DG＝EG＝CD＝a，
∴∠AED＝90°，△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝DG＝a，
∵AB∥CD，CD⊥EF，
∴AB⊥BF，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，
即802＝（a）2+（2）2，
解得：a＝8，
∴AB＝2a＝16．
考点三：菱形
【知识点巩固】
菱形的定义：
有一组邻边 相等 的平行四边形是矩形。
菱形的性质：
①有平行四边形的一切性质。
②边：四条边都 相等 。
③对角线：对角线 相互垂直 ，且 平分 每一组对角。
④面积计算：利用对角线求面积：等于 对角线乘积的一半 。
⑤对称性：既是 轴对称 图形，也是 中心对称 图形。
【例题：利用菱形的性质求值】
39．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是（　　）

A．（6，8） B．（10，8） C．（10，6） D．（4，6）
【分析】在Rt△ABO中，求出OA即可解决问题．
【解答】解：∵B（﹣6，0），C（4，0），
∴BC＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝10，
在Rt△ABO中，OA＝＝＝8，
∴A（0，8），
∵AD∥BC，
∴D（10，8），
故选：B．
40．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（　　）

A．6 B．8 C． D．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理得出BC，进而利用面积公式解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，
∵AC＝6，DB＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴BC＝，
∵AC＝6，DB＝8，
∴菱形ABCD的面积＝，
∵BC＝5，
∴AE＝＝，
故选：C．
41．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得HP＝OC＝2，HP∥AC，可得EH＝6，∠DOC＝90°，由勾股定理可求PE的长．
【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，
∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，
∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC，
∴EH＝6，∠DOC＝90°，
∴EP＝＝＝2，
故选：A．
42．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　）

A．16 B．16 C．32 D．32
【分析】证△CDE是等腰直角三角形，得∠CDE＝45°，CD＝DE，再证△DPF是等腰直角三角形，得PF＝DF，PD＝PF，设PF＝DF＝x，则PD＝x，求出x＝8﹣4，则DE＝x+x＝4，BC＝CD＝DE＝8，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，CD＝DE，
∵PF⊥CD，
∴△DPF是等腰直角三角形，
∴PF＝DF，PD＝PF，
设PF＝DF＝x，则PD＝x，
∵△PDF的周长为8，
∴x+x+x＝8，
解得：x＝8﹣4，
∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE＝PF＝x，
∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，
∴BC＝CD＝DE＝8，
∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32，
故选：D．
【知识点巩固】
菱形的判定：
①四条边都 相等 的四边形是菱形。
②一组邻边 相等 的平行四边形是菱形。
③对角线 相互垂直 的平行四边形是菱形。
【例题：菱形判定条件的熟悉】
43．下列说法中，正确的是（　　）
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线垂直的四边形是菱形
【分析】由菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
44．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O．添加下列条件仍不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABD＝∠CBD D．∠BAC＝∠DCA
【分析】由菱形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、由∠BAC＝∠DCA，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【例题：菱形的判定与性质综合】
45．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝6，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
【分析】（1）由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又邻边EF＝BE，则四边形BCFE是菱形；
（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴EF∥BC，
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵，
∴BC＝CE，
∴四边形BCEF是菱形；
（2）
由（1）知BC＝CE，
∵∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC，
∵BC＝6，
∴BE＝CE＝6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴，
在Rt△BGE中，
∵BG＝3，BE＝6，∠BGE＝90°，
∴，
∴S菱形BCEF＝BC•EG＝．
46．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝2，BF＝2，CE＝1，求▱ABCD的面积．

【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出答案．
（2）作FG⊥BC于点G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG，再根据S平行四边形ABCD＝BC•FG，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，若AE＝2，BF＝2，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝1，OB＝BF＝，
∴BE＝＝2，
∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（2+1）×＝3．

47．如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，∠ECA＝60°．
（1）求证：四边形CEHF是菱形；
（2）已知四边形CEHF的周长为16cm，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）证CE＝CF＝EH＝FH，即可得出结论；
（2）连接BD，求出AC、BD的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∵∠ECA＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AC，
∵点H为对角线AC的中点，
∴EH＝FH＝AC，
∴CE＝EH＝FH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∴CE＝CF＝EH＝FH，
∴四边形CEHF是菱形；
（2）解：连接BD，
∵四边形CEHF是菱形，周长为16cm，
∴CE＝4cm，
∴AC＝2CE＝8（cm），
∵四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，
∴AH＝AC＝4（cm），BH＝DH，AC⊥BD，
∴∠AHB＝90°，
∵∠CAE＝30°，BH＝AH＝（cm），
∴BD＝2BH＝（cm），
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×＝（cm2）．
48．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．

【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，再由OB＝OD，则四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，再在Rt△CDN中，由勾股定理得出方程，求出BN＝10，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
考点四：正方形
【知识点巩固】
正方形的定义：
四条边 相等 且四个角也 相等 的四边形是正方形。。
正方形的性质：
①有平行四边形的一切性质。
②有矩形的一切性质。
③有菱形的一切性质。
【例题：对正方形性质的熟悉】
49．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对边相等 D．邻边相等
【分析】根据正方形和菱形的性质即可解决问题．
【解答】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．
故选：B．
50．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．
【解答】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
【例题：利用正方形性质求值】
51．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据SAS证△ABE≌△CBE，得出∠BAE＝∠BCE＝20°，根据∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF＝70°，得∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴∠BAE＝∠BCE＝20°，
∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，
＝180°﹣90°﹣20°
＝70°，
∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，
∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，
故选：D．
52．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，则点C到y轴的距离为OE，通过证明△CBE≌△BAO得到BE＝OA，利用点A，B的坐标可求OA，OB的长，则结论可求．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，如图，

则点C到y轴的距离为OE．
∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝2，OB＝3．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB＝90°．
∴∠ECB+∠EBC＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠CBA＝90°．
∴∠EBC+∠ABO＝90°．
∴∠ECB＝∠ABO．
在△CBE和△BAO中，
，
∴△CBE≌△BAO（AAS）．
∴EB＝OA＝2．
∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．
∴点C到y轴的距离是5．
故选：B．
53．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　）

A．2.4 B．3.4 C． D．
【分析】在EF上截取EG＝EC，连接DG，证明△DCE≌△DGE，Rt△DAF≌Rt△DGF，可得AF＝GF＝1，在Rt△BEF中，根据勾股定理可以求出EG，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，

在△DCE和△DGE中，
，
∴△DCE≌△DGE（SAS），
∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，
在Rt△DAF和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），
∴AF＝GF＝1，
∵EG＝EC，
∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
BE2+BF2＝EF2，
∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，
解得EG＝2.4，
∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4．
∴EF的长为3.4．
故选：B．
54．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　）

A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④
【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；
②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝＝＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝＝＝2，故③错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故④正确；

∴其中正确的结论为①②④，
故选：A．
【知识点巩固】
正方形的判定：
①四条边都 相等 且四个角都是 直角 的四边形是正方形。
②一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形。
③一组邻边 相等 且对角线 相等 的平行四边形是正方形。
④对角线 相互垂直 且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形。
⑤对角线 相互垂直 且对角线 相等 的平行四边形是正方形。
【例题：正方形判定条件的熟悉】
55．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB＝BC，③∠ACB＝45°，④OA＝OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加AC⊥BD或AB＝BC或∠ACB＝45°，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：B．
56．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理成立的是（　　）
A．①④⇒⑥ B．②④⇒⑥ C．①②⇒⑥ D．①③⇒⑤
【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
【解答】解：A、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；
B、对角线垂直的矩形是正方形，正确；
C、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；
D、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误．
故选：B．
【例题：正方形的判定与性质综合】
57．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．
（1）求证：四边形OGCF是正方形．
（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．

【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OGCF是矩形，根据角平分线的性质，可得OH与OF，OH与OG的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案；
（2）由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AB和BC，根据全等三角形判定的HL定理证得Rt△AOH≌Rt△AOF得到AH＝AF，设正方形OGCF的边长为x，则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，根据AB＝AH+BH＝8，解方程即可求出x．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC＝∠OFC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形OGCF是矩形．
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，
∴OG＝OH＝OF，
又四边形OGCF是矩形，
∴四边形OGCF是正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝＝4，
在Rt△AOH和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），
∴AH＝AF，
设正方形OGCF的边长为x，
则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，
∴4﹣x+4﹣x＝8，
∴x＝2﹣2，
即正方形OGCF的边长为2﹣2．
58．如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG＝x，请用含x的代数式表示△FCG的面积．

【分析】（1）先求出EH＝HG，再判断出△AHE≌△DGH，得出∠AHE＝∠DGH，进而判断出∠GHE＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠HEA＝∠FGM，进而判断出△AHE≌△MFG．得出FM＝HA＝1，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形EFGH为菱形，
∴EH＝HG，
在Rt△AHE和Rt△DGH中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，
又∵∠DGH+∠DHG＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
则∠GHE＝90°．
所以菱形EFGH为正方形；
（2）如图，过点F作FM⊥DC交DC所在直线于M，连接GE．
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE．
∴∠HEA＝∠FGM，
在△AHE和△MFG中，
，
∴△AHE≌△MFG（AAS）．
∴FM＝HA＝1．
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1，
∴S△FCG＝GC•FM＝（3﹣x）×1＝﹣x+（0≤x≤）．
59．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【分析】（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，即可得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝8即可．
【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，
∴CE+CG＝8是定值．
60．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．

【分析】（1）根据角平分线的性质证得EF＝EB，根据正方形的判定即可证得结论；
（2）根据三角形全等的判定证得△AGD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到结论；
（3）首先证得△DFO≌△EGO得到FO＝GO，FD＝EG，根据勾股定理证得DO＝OF＝OG，根据线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；

（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；

（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．