2021-2022学年海南省琼海市嘉积中学高二下学期第二次月考数学试题含解析

2021-2022学年海南省琼海市嘉积中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式化简集合B，再利用交集的定义计算作答.

【详解】解不等式得：，则，因，

所以.

故选：A

2．设，则在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由复数的除法运算化简复数，得出其共轭复数，从而可得出答案.

【详解】

则，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.

故选：B

3．将3个男生和2个女生随机排成一行，要求2个女生不相邻，则不同的排列方法共有（       ）种.

A．120 B．72 C．60 D．36

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用插空法列式计算作答.

【详解】依题意，先排3个男生，再将2个女生插入3个男生站成一排形成的4个间隙中，

所以不同的排列方法共有种.

故选：B

4．函数在处导数存在，若p:是的极值点，则（    ）

A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】C

【详解】试题分析：根据函数极值的定义可知，函数为函数的极值点，一定成立，但当时，函数不一定取得极值，比如函数，函数的导数，当时，，但函数单调递增，没有极值，则是的必要条件，但不是的充分条件，故选C．

【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判定．

5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为了纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把称为“祖率”这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的位数字、、、、、、进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到不同数字的个数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】七个数字中有个，其余个数字不相同，可以理解为将个数字全排，其中个之间的顺序是固定的，利用倍缩法可求得排法种数.

【详解】七个数字中有个，其余个数字不相同，可以理解为将个数字全排，其中个之间的顺序是固定的，

因此，不同的排法种数为.

故选：D.

6．数列中，，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可得出关于的方程，结合可求得的值.

【详解】令可得，则，

所以，数列为等差数列，且首项和公差均为，所以，，

所以，，

整理可得，，解得.

故选：D.

7．若函数在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，由有小于0的根列式求解作答.

【详解】由函数求导得：，因函数在R上有小于0的极值点，

则有小于0的根，即当时，，而函数在R上单调递增，

则当时，，于是得，

经验证，当时，函数在R上有小于0的极值点，

所以实数a的取值范围是.

故选：C

8．设A，B，C，D是同一个直径为8的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设点M为三角形ABC的中心，为球心，当为MO与球的交点，判断出当平面，此时三棱锥体积最大，然后进行计算可得.

【详解】如图所示，

设点M为三角形ABC的中心，为球心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大

此时，

则，所以,

所以点M为三角形ABC的中心，所以，

中，有，

，

.

故选：A

二、多选题

9．已知向量，，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】先求出，的坐标，从而可判断选项A,B；由数量积的坐标公式可判断选项C，从而判断选项D.

【详解】由题意，

所以，

所以选项A,B,C 正确，选项D不正确.

故选：ABC

10．实验室有4只兔子，随机选两只作为实验组，另外两只作为对照组，则下列说法正确的是（       ）

A．不同的方法种数有12种 B．甲､乙两只兔子同组的概率为

C．不同的方法种数有6种 D．甲､乙两只兔子同组的概率为

【答案】BC

【分析】实验室有4只兔子，选出两只作为实验组即可；甲、乙两只兔子同组分作为实验组或作为对照组，再利用古典概型的概率求解.

【详解】实验室有4只兔子，随机选两只作为实验组，另外两只作为对照组，不同的方法种数有 种，

甲、乙两只兔子同组作为实验组或作为对照组有2种，

所以甲､乙两只兔子同组的概率为，

故选：BC

11．的展开式中，的系数为120，则下列说法正确的是（       ）

A． B．第4项和第6项的系数一样大

C．系数之和等于1024 D．二项式系数的最大值为252

【答案】ACD

【分析】由的展开式的通项得出，再由二项式定理的性质逐一判断即可.

【详解】的展开式的通项为，因为的系数为120，所以，故A正确；第4项和第6项分别为，，故B错误；令，可得系数之和等于，故C正确；二项式系数的最大值为，故D正确；

故选：ACD

12．设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（       ）

A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是

C．的面积一定是 D．的周长一定是

【答案】BD

【分析】求出焦点，的坐标，再由直角三角形的直角顶点情况逐项判断作答.

【详解】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，

以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，

显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，

以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；

以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；

由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；

由椭圆定义知，的周长为，D正确.

故选：BD

三、填空题

13．6名同学到甲、乙、丙三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，甲小区安排1名，乙小区安排2名，丙小区安排3名，则不同的安排方法共有___________种.（用数字作答）

【答案】60

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合列式计算作答.

【详解】依题意，先选1名同学去甲小区有种方法，再从余下的5人中选2名同学去乙小区有种方法，

然后将最后3名同学安排到丙小区有1种方法，

由分步乘法计数原理得：，

所以不同的安排方法共有60种.

故答案为：60

14．双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为__________.

【答案】

【分析】由双曲线方程，得到焦点坐标为（±3，0），渐近线为y＝±x．由点到直线的距离公式进行计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F到其渐近线的距离．

【详解】∵双曲线方程为

∴双曲线的焦点坐标为（±3，0）

渐近线为y＝±x，即x±y＝0

可得焦点F到其渐近线的距离为d．

故答案为．

【点睛】本题考查了点到渐近线的距离，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

15．的展开式中的系数为___________.（用数字作答）

【答案】

【分析】由展开式的通项得出的展开式中含的项，进而得出系数.

【详解】展开式的通项为，则的展开式中含的项为，即的展开式中的系数为

故答案为：

16．已知函数且的图像在点处的切线与x轴，y轴分别交于A，B点，O为坐标原点，则当面积最小时，___________.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求出切线AB的方程，再求出面积的函数关系，结合均值不等式求解作答.

【详解】由函数求导得：，则，而，

则切线AB的方程为：，而，

由得：，由得：，因此，，

面积，

当且仅当，即时取“=”，

所以，当面积最小时，.

故答案为：

四、解答题

17．记为正项等比数列的前n项和，已知，，

(1)求的通项公式；

(2)判断，，是否成等差数列，并说明理由.

【答案】(1)

(2)是等差数列，理由见解析

【分析】（1）利用等比数列的前n项和公式求解；

（2）利用等差中项判断.

【详解】(1)解：设数列的公比为q，则，

又因为，，

所以

即，

解得或（舍），

所以，

即数列的通项公式为.

(2)，，是等差数列

证明如下：由（1）得，

所以，，

则，

，

，

所以，，，是等差数列.

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.

(1)求角C；

(2)求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）由正弦定理结合和角公式得出角C；

（2）由正弦定理得出，由正弦定理的边化角公式得出，结合三角函数的性质得出△ABC的周长的取值范围.

【详解】(1)由题，因为

所以由正弦定理可得

即

在△ABC中，，且，B，

又，所以，则

(2)由正弦定理得，所以

由（1）知，，

所以

因为，所以

则

即△ABC的周长的取值范围为

19．如图，四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形且垂直于底面，，，是上一点，若直线.

(1)证明：是的中点

(2)求直线与平面夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，证明出平面，可得出，再利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论成立；

（2）取的中点，连接、，证明出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值.

【详解】(1)证明：连接，因为，则，，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以，平面，平面，，

因为，，平面，

平面，，

因为为等边三角形，则为的中点.

(2)解：取的中点，连接、，

由已知且，因为为的中点，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

因为平面，则平面，

因为为等边三角形，为的中点，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，则，

，，

因此，直线与平面夹角的正弦值为.

20．已知函数，

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)单调增区间为，单调减区间为

【分析】（1）利用导数的几何意义求解；

（2）求导，令，求解.

【详解】(1)解：因为，

所以函数的定义域为，

且，

则，，

所以切线方程为，

即函数在点处的切线方程为；

(2)因为，

令，解得（舍）或，

令，解得，令，解得，

即函数的单调增区间为，单调减区间为.

21．已知曲线的焦点为，若A，B为C上不同的两点，且A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)已知，且，求直线AB的方程.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）利用焦点坐标求出抛物线方程，再利用点差法求出直线的斜率；

（2）根据（1）设出直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理，再利用向量垂直的数量积为，列出方程求解即可.

【详解】(1)因为曲线的焦点为

所以，则曲线

设，，则，

且，

上两式相减可得

所以，则

即直线AB的斜率为1.

(2)由（1）设直线AB的方程为

联立消去y整理得

由题可知，所以

由韦达定理可知

又因为，且，所以

解得或者（舍）

∴直线AB的方程为

22．已知，为的导函数.

(1)若恒成立，求a的取值范围；

(2)若，证明：对任意常数a，存在唯一的，使得.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得，设，利用导数求出函数的最大值即可得出答案.

（2）设，即将证明函数在区间上有唯一的零点，讨论出的单调性，得出再出的函数值的符号，从而可证明.

【详解】(1)因为，所以

又由，所以

令，则

所以当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以

所以即的取值范围为

(2)由题意

设，则问题可转化为在区间上有唯一的零点，

由

得

在区间上单调递减，故函数在区间上至多有1个零点，

又因为

由（1）知，当时，（当且仅当时取等号）

由，则，所以，又，即，

所以，

由，则，所以，即，

又，即，所以，

由函数零点存在定理知：在区间上有唯一的零点，即存在唯一的，使得成立.

即对任意常数a，存在唯一的，使得．