2022届海南省琼海市嘉积中学高三下学期四校联考数学试题含解析

这是一份2022届海南省琼海市嘉积中学高三下学期四校联考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届海南省琼海市嘉积中学高三下学期四校联考数学试题一、单选题1．已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是，而全集，，，所以.故选：D2．复数满足，则（为的共轭复数）（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数除法运算及共轭复数概念可得结果.【详解】由，得，所以故选：D3．平面向量满足，且，则（       ）A． B．13 C． D．21【答案】A【分析】由得到，由向量数量积运算法则求出，从而求出.【详解】由得：，所以，其中，故.故选：A4．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（       ）（参考数据）A．120个月 B．64个月C．52个月 D．48个月【答案】C【分析】根据题意得：，解方程得，进而解方程即可得答案.【详解】依题设有，解得，，故．令，得，故.故选：C．【点睛】本题以垃圾分类为载体，要求考生掌握待定系数法求函数解析式、指数和对数运算，考查运算求解能力，体现了直观想象、数学运算和数学建模的核心素养．本题解题的关键在于根据已知条件待定系数求得，进而利用对数换底公式求解即可.5．二项式的展开式中，的系数等于（       ）A．60 B． C．240 D．【答案】A【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，即可求得答案.【详解】展开式通项为，令，解得：，所以的系数等于, 故选：A6．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图象求出A，最小正周期，进而求出，代入特殊点坐标，求出，从而求出函数解析式.【详解】由图可知，，所以，解得.故.因为图象过点，所以，即，因为，所以，故故选：C7．已知定义在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意；③当时，；若过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则直线的斜率的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件可知是周期为2的函数，作出函数图像，数形结合即可得解.【详解】因为函数的图象关于轴对称，所以为偶函数，即，又因为对于任意，所以，从而，即是周期为2的函数，结合当时，，可作出在的图像以及直线的图像，如下图所示：当时，易知，则直线的斜率，过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则只需直线斜率的取值范围是.故选：D.8．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，，，依题意，，解得，所以所求近视的概率为.故选：B【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 二、多选题9．设分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若为正三角形，则（       ）A． B．双曲线的离心率C．双曲线的焦距为 D．的面积为【答案】ABD【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性及定义求出正的边长，逐项计算判断作答.【详解】在正三角形中，由双曲线的对称性知，，，由双曲线定义有：，因此，，，，即半焦距，则，A正确；双曲线的离心率，B正确；双曲线的焦距，C不正确；的面积为，D正确.故选：ABD10．下列命题中，正确的有（       ）A．的第75百分位数为96.B．设一组样本数据的方差为，则数据的方差为1.C．已知经验回归直线的斜率的估计值是，样本点的中心为，则经验回归直线的方程是.D．已知随机变量，且，则.【答案】AD【分析】根据百分位数的定义可求得第75百分位数为96，判断A;根据方差的计算公式求得数据的方差，判断B;根据样本中心点一定在回归直线上，可判断C;根据正态分布的对称性，可判断D.【详解】对于A，，从小到大排序后第8个数是96，A正确.对于B, ，则的平均数为 ，其方差为，B错误;对于C,将时代入，错误.对于D,，，，P，D正确.故选：AD11．如图，棱长为1的正方体中为线段上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（       ）A．直线与所成的角可能是B．平面平面C．三棱雉的体积为定值D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【分析】对于A选项， 建立坐标系，利用坐标法求解；对于B选项，由正方体的性质可知平面，进而可判断；对于C选项，利用等体积法求解即可判断；对于D选项，分别讨论所成的截面图形即可判断.【详解】解：对于A选项，如图1，建立空间直角坐标系，则，，所以，所以，令，，所以在区间上单调递减，由于，，所以，即直线与所成的角满足，又因为，故，故直线与所成的角不可能是，故A选项错误；对于B选项，由正方体的性质可知平面，所以平面平面，故B选项正确；对于C选项，三棱雉的体积，是定值，故C选项正确；对于D选项，设的中点为，当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图2；当点在点时，此时平面截正方体所得的截面正三角形；当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，该三角形不可能为直角三角形，故D选项错误； 故选：BC12．已知，下列不等式恒成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】A选项，构造函数，通过求导研究其单调性得到证明；B选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；C选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；D选项，利用中间值比大小.【详解】令在内单调递增.时，，即A选项正确；令在内单调递增，，即，B选项正确；令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误；当时，，D错误故选：AB 三、填空题13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A={（正，反）}，写出事件A的一个互斥事件___________.（用集合表示，写出一个即可）【答案】{（正，正）【分析】根据给定条件，利用互斥事件的定义直接写出事件A的一个互斥事件作答.【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），其中事件{（正，正），{（反，正），{（反，反）与事件A都不可能同时发生，所以事件A的一个互斥事件可以是：{（正，正）.故答案为：{（正，正）14．若，，则的值等于________.【答案】【分析】由题意结合诱导公式可得，由同角三角函数的平方关系可得，再由三角恒等变换可得，代入即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15．已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，且球的表面积是，则该正三棱柱的体积为___________.【答案】【分析】先求得底面三角形外接圆的半径，再求得三棱柱外接球的半径，从而求得三棱柱的高，求得底面面积，结合棱柱的体积公式求得答案.【详解】由题意可知：正三棱柱的外接球心在上下底面三角形外心（中心）连线的中点处，三角形边长为1，故三角形的外接圆半径为；由球的表面积为，可得，故外接球半径，所以正三柱的高为，而底面正三角形面积，故三棱柱的体积，故答案为：四、双空题16．已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则___________；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则这两条切线的斜率之积为___________.【答案】          0.5【分析】由抛物线焦半径列出方程，求出，进而求出，设出切线方程，联立抛物线方程后用根的判别式求解.【详解】由抛物线定义，到抛物线的焦点距离为，得，代入方程得，设过点得切线为，联立抛物线得：，由，得，由韦达定理得：故答案为：，. 五、解答题17．在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角A的大小；(2)若的面积为，且，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，得到，求出角A；（2）由面积公式得到，结合余弦定理求出从而求出周长.【详解】(1)由正弦定理得：，即，，又，故.(2)由（1）知，，，，故的周长为18．①公比为2，且是与的等差中项；②且为递增数列，在①②中任选一个，补充在下列横线上并解答.已知等比数列中，为数列的前项和，若___________.(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）选条件①，根据给定条件，利用等差中项的定义列式求出首项即可作答.选条件②，根据给定条件，求出数列的公比并判断作答.（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和推理作答.【详解】(1)选条件①：因为是与的等差中项，即，依题意，，解得，所以数列的通项公式是.选条件②：设公比为，依题意，，解得或，因为数列是递增数列，于是得，所以数列的通项公式是.(2)由（1）知，则，因此，，于是有，因，则有，即有，所以.19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，且为棱上一点，与平面所成角的大小为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；（2）依题意可得，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得到方程，解得，即可得解；【详解】(1)证明：如图，连接交于点，连接，因为是的中点，是的中点，所以又平面，平面，所以平面(2)解：因为，所以，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，故取，设，则因为直线与平面所成角的大小为，所以，即解得，故此时.20．2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；(2)若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表：质量指标值利润（元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：）.【答案】(1)；(2)能盈利，.【分析】（1）由给定的频率分布直方图，求出抽1件产品是废品的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.（2）求出每件产品的平均利润的函数式，再借助导数求出最大值作答.【详解】(1)由频率分布直方图得，抽1件产品为废品的频率为，依题意，抽1件产品为废品的概率为，设事件的概率为，则，所以事件A发生的概率.(2)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元）的关系如下表所示，质量指标值0利润元每件产品的平均利润：，求导得，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因此，当时，取最大值，所以生产该产品能够实现盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大.21．已知函数.(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2)3.【分析】（1）求出函数的导数，再解导数大于0或小于0的不等式即可作答.（2）将不等式等价变形，分离参数并构造函数，再探讨函数的最小值即可推理作答.【详解】(1)的定义域为，求导得：，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.(2)，，令，，则，由（1）知，在上单调递增，且，则在区间内存在唯一的零点，使，即，则当时，，，有在上单调递减，当时，，，在上单调递增，于是得，因此，，所以整数的最大值为3.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.22．如图所示，已知圆，点，点为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点.(1)当点在圆上运动时，求点的运动轨迹的方程；(2)判断直线和曲线的位置关系，并给出证明.【答案】(1)(2)直线与椭圆相切，证明见解析.【分析】（1）有椭圆定义可知点点的运动轨迹为椭圆，即可求出方程；（2）若，或，显然直线与椭圆相切，若，联立直线与椭圆的方程，消化简得到关于的一元二次不等式，而判别式，即可证明结论成立.【详解】(1)点在线段的垂直平分线上，.又点在半径上，且圆的半径为.故当点在圆上运动时，点满足，即点的运动轨迹为以为焦点的椭圆，且，，因此点的运动轨迹的方程为.(2)直线与椭圆相切，证明如下：若，此时或的方程为或，它们与椭圆相切，若或，此时的方程为或，它们与椭圆C相切，若，设点与点的中点为，直线的斜率为，则其垂直平分线的斜率为，直线的方程为，即          ①，又点在圆上，          ②，将②代入①得直线：，由，得，判别式，          ③将②代入③解得，所以直线与椭圆相切，综上所述：直线与椭圆相切.