2022届海南省海南中学高三下学期第九次月考数学试题含解析

这是一份2022届海南省海南中学高三下学期第九次月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届海南省海南中学高三下学期第九次月考数学试题一、单选题1．已知集合，则A的子集共有（       ）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个【答案】C【分析】根据题意先求得集合，再求子集的个数即可.【详解】由，得集合所以集合A的子集有个，故选： C2．已知复数，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数模的计算公式和共轭复数的概念，得到，即可求解.【详解】由复数，可得，所以.故选：D.3．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的平行四边形，其中，，则该直棱柱的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直观其图可知直棱柱的底面为边长为2的正方形，高为，从而可求出体积【详解】由题意可知，该直棱柱的底面为边长为2的正方形，所以直棱柱的体积，故选：D．4．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为.故选：B5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都不是冠军，且乙不是最后一名、则这5人的名次排列所有可能的情况共有（       ）A．18种 B．36种 C．54种 D．72种【答案】C【分析】先排冠军位置，再排最后一名，最后再考虑其他三个位置，有分步乘法计数原理进行求解.【详解】先从丙、丁、戊三人中选择一人为冠军，有种情况，再从除乙外的三人中选择一人为最后一名，有种情况，最后将剩余三人进行全排列，有种情况，综上：这5人的名次排列所有可能的情况共有=54种.故选：C6．如图，在菱形ABCD中，若，则（       ）A．8 B． C．4 D．【答案】B【分析】根据向量的数量积运算，可得，根据菱形特点求解相应值即可.【详解】解：，因为四边形ABCD为菱形，所以，且，所以，所以.故选：B7．最大值为2，满足，则（       ）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根据最大值为2，求得a，再根据，由的图象关于对称求解.【详解】因为最大值为2，所以，解得，又因为，所以的图象关于对称，所以，，所以，即，因为，所以，故选：B8．已知定义域为R的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a，使得关于x的不等式在区间上恒成立，则正整数n的最小值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在上的值域，再由不等式有或求a的范围，进而求出正整数n的范围.【详解】由题设，，又，联立可得：，，又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增，所以，在上，而在上递增，故，若，则且n为正整数，只需即可.若，则且n为正整数，不成立；综上，正整数n的最小值为2.故选：B【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a的范围，即可得n的范围.二、多选题9．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售.其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（       ）A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少；B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上；C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍；D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍.【答案】BC【分析】根据统计图表中的信息，设扶贫前销售收入为，扶贫后销售收入为，逐项计算判定，即可求解.【详解】设扶贫前销售收入为，扶贫后销售收入为，对于A中，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为，扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为，所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加了，所以A不正确；对于B中，扶贫前，该村的自媒体销售渠道的收入，扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入，所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，所以B正确；对于C中，扶贫前，该村的农产品批发市场销售渠道的收入，扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入，所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，所以C正确；对于D中，扶贫前，该村的农产品电商销售渠道收入，扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，所以D不正确.故选：BC.10．已知函数，下列说法正确的是（       ）A．B．C．的定义域为D．的图像关于对称【答案】BD【分析】先求解函数的表达式及定义域，根据函数的性质判断各项正误.【详解】解：因为，所以，故B项正确；，故A项错误；因为，所以，故的定义域为，故C项错误；因为，所以为偶函数，则的图像关于对称，故D项正确.故选：BD.11．已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作该圆两条互相垂直的弦，线段的中点分别为M，N．则下列结论正确的是（       ）A．圆的方程为：B．弦的长度的最大值为C．直线恒过定点D．存在点G，使得为定值【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式及两点之间的距离公式，即可出圆的方程判断A，当AE为直径时，AE最长，即可判断B，由四边形MDNC为矩形，对角线互相平方，即可知MN经过CD中点判断C，由直角三角形斜边上的中线的性质即可判断D.【详解】对于A，设圆心为，圆的半径为，由题设可知，解得，所以，故圆的方程为，故A正确；对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长为圆的直径4，故B错误；对于C，线段AE，BF的中点分别为M，N，如图，所以，又，所以四边形为矩形，所以与互相平分，即过中点，故C正确；对于D，由直角三角形斜边上中线的性质知，存在，使，为定值，故D正确.故选：ACD12．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，且平面平面，连接、，则下列结论中正确的是（       ）A．平面面B．三棱锥外接球的表面积为C．二面角的余弦值为D．若在线段上，则异面直线与所成角的范围是【答案】ABD【分析】利用面面垂直的判定定理可判断A选项；将三棱锥补成长方体，利用长方体的几何性质可判断B选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断CD选项.【详解】对于A选项，在菱形中，，，，由余弦定理可得，，，翻折后，对应地有，，，平面，平面，因此，平面面，A对；对于B选项，在菱形中，，，则，因为平面平面，平面平面，，平面，平面，将三棱锥补成长方体，则三棱锥外接球的直径为，则，所以，三棱锥外接球的表面积为，B对；对于C选项，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，所以，，由图可知，二面角的平面角为钝角，所以，二面角的余弦值为，C错；对于D选项，可设点，其中，，，，则，其中，所以，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，因为，，所以，，，即当时，，故，因此，异面直线与所成角的范围是，D对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题13．请写出不等式的一个充分不必要条件___________．【答案】 (答案不唯一)【分析】根据充分不必要条件，找到一个能推出，但是推不出来的条件即可.【详解】因为能推出，但是不能推出，所以是不等式的一个充分不必要条件，故答案为：（答案不唯一）14．以原点为中心，坐标轴为对称轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的虚轴长为______.【答案】4【分析】根据条件直接求等轴双曲线的，即得双曲线的虚轴长.【详解】因为双曲线经过点，所以，因为双曲线是等轴双曲线，所以 所以虚轴长.故答案为：15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为_________．【答案】【分析】根据光学性质，在中由椭圆的定义可求出，再由直角三角形求出，计算离心率即可.【详解】由椭圆的光学性质可知，都经过，且在中，，如图，所以，由椭圆的定义可知，即，又，可得，在中，，所以，所以.故答案为：四、双空题16．十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）【答案】          【分析】先得到每次操作，去掉的区间长度和为上一次去掉的区间长度之和的，从而利用等比数列的相关知识进行求解.【详解】由题意得：每次操作，去掉的区间长度和为上一次去掉的区间长度之和的，设去掉的区间长度之和为，则为等比数列，其中，公比，所以，故，其中，令，解得：，所以需要操作的次数n的最小值为11.故答案为：，11五、解答题17．已知数列满足：，且．(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析，(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意整理得，即是等差数列，根据等差数列求通项公式；（2）把（1）中的通项公式代入求解，注意m应为正整数．【详解】(1)由，得，∴又，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列∴ ∴(2)∵，∴则，解得，不符合题意∴不存在正整数，使得.18．如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面，记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）；(2)求点到（1）中平面的距离.【答案】(1)证明见解析，图象见解析(2)【分析】（1）根据题意证明即可求解，再利用平行关系即可平面与该正方体各面的交线；（2）先得到，计算求解即可.【详解】(1)连接，，，因为，分别是棱，的中点，所以．又因为，分别是棱，的中点，所以．故，所以，，，四点共面．分别取和的中点为和，连接，，，由正方体性质得，，，所以多边形共面，所以平面与该正方体各面的交线如下图（多边形）所示．(2)如下图连接，，，，由等体积法可得：设点到平面的距离为，所以，易得：在中，，，，所以,同理可得：所以，解得：所以点到平面的距离为19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若，点D是边上的一点，且______，求线段的长．①是的中线；②是的角平分线；③．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得；（2）选①或③：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选②：根据，结合面积公式可得.【详解】(1)由，得，即，因为，所以．(2)选①，由，，则      所以．             选②，因为，，所以，即，   解得． 选③，依题意，得，由，，则      .故20．设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为，测得的一些数据如下表所示：第x天14916253649高度0479111213 作出这组数据的散点图发现：与x（天）之间近似满足关系式，其中a，b均为大于0的常数．(1)在这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，求的分布列和数学期望；(2)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于x的经验回归方程．附：线性回归方程中，，其中为样本平均量．【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）先求可知幼苗的高度大于的点的个数，然后由超几何分布概率公式求概率，可得分布列，再由期望公式可得；（2）换元令，然后由最小二乘法可得，然后可得所求回归方程.【详解】(1)， 7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，；；；；所以随机变量的分布列为：  随机变量的期望值.(2)令，则，根据已知数据表得到如下表：xy ，通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，所以， 故y关于的回归方程.21．已知动点到点和直线：的距离相等.(1)求动点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为A，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论.【答案】(1)(2)相切，证明见解析【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程；（2）依题可设，，，由，即：，求导，根据导数得几何意义求得，的方程，再将点的坐标分别代入，再证明，即可得出结论.【详解】(1)解： 由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程为；(2)解：依题可设，，，由，即：，求导得：，所以切线，的斜率分别是，，所以的方程是，点的坐标代入，得：，即，同理可得，于是是方程的两根，所以，，由，得，即：，由，，所以，即：点在圆上，所以直线和圆相切.22．已知函数.（1）求的单调区间与极值.（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大优值，无极小值；（2）证明见解析.【分析】首先求函数的导数，利用导数和单调性，极值点的关系，即可求解；（2）首先由条件变形为，即，通过构造函数，，转化为极值点偏移问题，即可求解.【详解】（1）解：的定义域为，.当时，；当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.（2）证明：易知，，即，.不妨设，，.（1）可知，，当时，，当时，，设，，则，因为，，所以，在区间上单调递增，，所以，又因为，，所以，即，故.