2021-2022学年河南省南阳市六校高二下学期第一次联考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省南阳市六校高二下学期第一次联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知，则（       ）

A．0 B．2 C．1 D．-2

【答案】B

【分析】求出函数的导数，再求即可作答.

【详解】由求导得：，

所以.

故选：B

2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（       ）

A．三个内角都不大于

B．三个内角都大于

C．三个内角至多有一个大于

D．三个内角至多有两个大于

【答案】B

【分析】根据反证法的知识确定正确选项.

【详解】反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设“三角形三个内角都大于.”

故选：B

3．给出下列三个类比结论：

①与类比，则有；

②与类比，则有；

③与类比，则有．

其中正确结论的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】类比只是一种思路，结论是需要证明的，对题中所给的每个类比，只需推导即可.

【详解】（1）令 ， ，故错误；

(2)令 ， ， ，

故错误；

（3）根据向量的运算规则，显然是正确的；

故选：B.

4．已知函数f(x)的导函数，且满足关系式则的值等于（　　）

A．2 B．—2 C． D．

【答案】D

【分析】对函数求导，再令即可得出结果.

【详解】因为，

所以，

令，则，

即，解得，

故选：D

5．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了小时，则他平均每分钟的步数可能为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出运动员每分钟跑米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解.

【详解】解：千米＝米，小时＝分钟，故运动员每分钟跑米；

若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高超过米不太可能；

若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高稍超过米不太可能；

若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高超过米，基本符合实际，

故选C.

【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.

6．函数的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数的定义域为，再根据函数单调求得最小值．

【详解】由题得，，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得，故选C．

【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值．

7．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2022年是“干支纪年法”中的壬寅年，那么2086年出生的孩子属相为（       ）

A．猴 B．马 C．羊 D．鸡

【答案】B

【分析】根据60年为一个周期，2086-2022=64，

再加上2022年本身，共是65年，在按照天干地支排列即可.

【详解】2086-2022=64，再加上2022年本身一共是65年，60年为一个周期，

余下5年，分别是壬寅，癸卯，甲辰，乙巳，丙午，2086年出生的孩子属马；

故选：B.

8．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】依题意，导函数在，上大于等于0恒成立，参变分离可得，进而得解；

【详解】解：因为，所以，

函数在，上是增函数，

在，上恒成立，

在，上恒成立，即在，上恒成立，则只需，

，，单调递增，

，

，解得或，

实数的取值范围为；

故选：D

9．有一个奇数组成的数阵排列如下：

则第30行从左到右第3个数是(       )

A．929 B．989 C．1051 D．1111

【答案】C

【分析】根据数阵找出数字之间的规律即可计算.

【详解】由题意，

第行的第一个数为，

第行的第二个数与第行的第一个数相差，

第行的第三个数与第行的第一个数相差，

∴第行的第三个数为

∴第30行从左到右第3个数是.

故选：C.

10．设等差数列的公差，且．记，用，d分别表示，，，并由此猜想（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】写出等差数列的通项公式，裂项求和即可.

【详解】依题意， ，

，

，

，

故猜想 ，

故选：C.

11．一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，用a表示，再求出的极大值与极小值，列式求解作答.

【详解】由函数求导得：，则，

由解得，则有，

，当或时，，当时，，

则在，上单调递增，在上单调递减，

因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，

因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，

于是得，解得，

综上得：，

实数a的取值范围是.

故选：A

12．若函数，则方程的根的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

当时， ，据此可得函数在区间上单调递减，在区间单调递增，且 ，绘制函数图象如图所示，由可得或，当时，函数有两个根，当为区间上的某一个定值时， 有唯一的实数根，综上可得：方程的根的个数为，故选C.

【方法点睛】

本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】求出和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程.

【详解】由，得，

，，

曲线在点处的切线方程为：

，即.

故答案为：.

14．函数的单调递减区间是______．

【答案】

【分析】求出函数的导数，再求解不等式即可作答.

【详解】函数的定义域为，求导得：

，

由解得，所以的单调递减区间是.

故答案为：

15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．

【答案】

【分析】先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.

【详解】令，则两边平方得，得

即，解得：或（舍去）

本题正确结果：

【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.

16．若函数存在零点，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】令，参变分离表示出，构造函数f(x)，讨论f(x)的单调性和值域，作出其近似图像，问题转化为y＝a与y＝f(x)图像有交点，据此即可求出a的取值范围.

【详解】令，易知lnx－x≠0，则，

令f(x)，x＞0，

则，

令，

则，

则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴，

时，，单调递减，

又∵，

∴时，，，单调递增，

∴时，，，单调递减，

，

当时，，当时，∵f(x)＞0，f(x)单调递减，故，

∴f(x)如图：

∴函数存在零点，则y＝a与y＝f(x)图像有交点，故.

故答案为：.

三、解答题

17．求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方．

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，构造函数，证明对成立即可.

【详解】，，求导得：，

当且仅当时取“=”，因此，在上单调递增，，，

即，，，

所以在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方．

18．设，，且．

(1)求的最小值；

(2)求证：与不可能同时成立．

【答案】(1)4

(2)证明见解析

【分析】由所给的条件可知 ，

（1）将原式化简后根据基本不等式计算即可；

（2）用反证法，假设第一个不等式成立，

运算出结果与第二个不等式成立运算的结果比较即可.

【详解】(1)依题意， ，

，

当且仅当 ，即 时，等号成立，

∴最小值为4；

(2)假设 成立，∵ ， ，

整理得 …①

显然 ，即 不能成立；

反之亦然；

综上，最小值为4，证明见解析.

19．已知函数f(x)＝x3－x2＋x.

（1）求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；

（2）当x∈[－2，4]时，求证：x－6≤f(x)≤x.

【答案】（1）y＝x与y＝x－；（2）证明见解析.

【分析】（1）对f(x)求导，求出曲线y＝f(x)的斜率为1时切线方程所经过的切点，从而求出答案;

（2）构造g(x)＝f(x)－x，x∈[－2，4]，利用导函数求出g(x)的最值，从而得出结论.

【详解】（1）由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.

令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝.

又f(0)＝0，

所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与，

即y＝x与y＝x－.

（2）证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2，4]．

由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x.

令g′(x)＝0得x＝0或x＝.

g′(x)，g(x)的情况如下：

所以g(x)的最小值为－6，最大值为0.

故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.

【点睛】本题考查求曲线某点的切线方程以及利用导函数求函数的最值，属于基础题.

20．已知函数．

(1)当时，求的单调区间及极值；

(2)当时，若有极小值，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为，极小值为，无极大值；

(2).

【分析】(1)求f(x)的导数，根据导数的正负判断单调区间，从而求出极值；

(2)有极小值有左负右正的变号零点.从而讨论的单调性，并判断其零点即可．

【详解】(1)当时，，．

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

故f(x)的单调减区间为，单调增区间为，

f(x)的极小值为，无极大值；

(2)有极小值在x＞0时有左负右正的变号零点﹒

，

令，则，

令，解得．、、的变化情况如下表：

①若，即，则，∴不存在变号零点，不合题意．

②若，即时，(a)，(1)．

∴，使得；

当时，，，f(x)单调递减，

当，时，，，f(x)单调递增，

∴f(x)有极小值f().

综上，．

21．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N.

（1）当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；

（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

【答案】（1）答案见解析；（2）f(n)≤g(n)，证明见解析.

【解析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；

（2）由（1）的结果猜想可得f(n)≤g(n)，再利用数学归纳法进行证明可得答案.

【详解】（1）当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；

当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；

当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．

（2）由（1）猜想： f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明．

①当n＝1，不等式显然成立．

②假设当n＝k(k∈N)时不等式成立，即1＋＋＋＋＋－，

则当n＝k＋1时，

f(k＋1)＝f(k)＋－＋，

因为－＝－＝＜0，

所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．

由①②可知，对一切n∈N，都有f(n)≤g(n)成立.

【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.

22．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，上单调递减；

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）依题意可得在时恒成立，令，，求出函数的导数，通过讨论的范围，判断出函数的单调区间，结合恒成立，确定的范围即可．

【详解】(1)解：因为定义域为，所以，

①当时，恒有，得在上单调递减；

②当时，由，得，在上，有，单调递增；

在上，有，单调递减．

综上可得：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，上单调递减；

(2)解：因为，所以，当时，恒成立，即时，恒成立，即，令，，

则，

由，则，所以当时，即在上单调递增，所以，即当时，恒有，知，

①当，即时，恒成立，即在上单调递增，

（合题意）；

②当时，即时，此时导函数有正有负，且有，

由，得，且在上单调递增，

当时，，，，，

故在上存在唯一的零点，当，时，，

即在上递减，此时，知在上递减，

此时与已知矛盾（不合题意）；

综合上述：满足条件的实数的取值范围．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．