2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学七年级（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学七年级（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，全国人口共141178万人，与2010年第六次全国人口普查数据相比，增加7206万人．将数据7206万用科学记数法表示为（　　）
A．7206×104 B．72.06×106 C．7.206×107 D．0.7206×108
3．（3分）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（　　）
A．90° B．180° C．270° D．360°
4．（3分）估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（3分）已知点A（4，﹣3）到y轴的距离为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
6．（3分）长沙市今年有8万名学生参加初中毕业会考，要想了解这8万名学生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）
A．这1000名考生是总体的一个样本
B．1000名考生是样本容量
C．8万名考生是总体
D．每位学生的数学成绩是个体
7．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
8．（3分）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，则快马追上慢马需（　　）
A．20天 B．21天 C．22天 D．23天
10．（3分）如图，△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，①线段BG是△ABD边AD上的中线；②线段CH是△ACH中AH边上的高；③△ABG与△BDG面积相等；④AB﹣AC＝BF；⑤∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系内，把点P（﹣5，﹣2）向右平移2个单位长度得到的点的坐标是 　 　．
12．（3分）不等式组的解集为 　 　．
13．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠ACE＝　 　．

14．（3分）如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是　 　．
15．（3分）一个正数x的平方根是2a﹣3与5﹣a，则a＝　 　．
16．（3分）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；C.6天；D.7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每随9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：+|﹣4|+（﹣1）2021﹣．
18．（6分）先化简，再求值：﹣3a2b+（4ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝1，b＝﹣1．
19．（6分）求满足不等式：+2＞的所有正整数解．
20．（8分）人教版八年级上册第36﹣37页如何作一个角等于已知角的方法．
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．

请你根据以上材料完成下面问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是 　 　．（填序号）
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
（2）请你证明：∠A′O′B′＝∠AOB．
21．（8分）湖南广益实验中学在暑假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母干家务，开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就暑假“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的统计图的一部分．
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是 　 　人，m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全数分布直方图；
（3）如果该校共有学生4000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？

22．（9分）在国家精准扶贫政策下，某乡村大力发展乡村旅游，为了满足游客的需求，某商户决定购进A，B两种特产来进行销售．
（1）若购进A种特产8件，B种特产3件，需要950元；购进A种特产5件，B种特产6件，需要800元．求购进A，B两种特产每件分别需要多少元？
（2）若该商户决定购进A，B两种特产共100件，考虑市场需求和资金周转，A种特产至少需购进50件，用于购买这100件特产的总资金不能超过7650元，请问该商户最多可购进A种特产多少件？
23．（9分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），点C在第四象限，AC⊥AB，AC＝AB．
（1）求点C的坐标及∠COA的度数；
（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，求出S△POM+S△BOM的值．

24．（10分）对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为广益数，记为L（x，y），其中（x，y）叫做广益数对．若实数x，y都取正整数，此时的（x，y）叫做广益正格数对．
（1）若L（x，y）＝x+3y，则L（，）＝　 　，L（﹣2，m）＝　 　；（用含m的式子表示）
（2）已知L（x，y）＝ax+by（其中a，b互为相反数）L（2，3）＝n﹣3，L（1，﹣2）＝2n+1，求n的值．
（3）已知L（x，y）＝3x+cy，其中L（，）＝2．若L（x，kx）＝18（其中k为整数），问是否存在满足这样条件的广益正格数对？若存在，请求出这样的广益正格数对；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图①，AB＝9，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7，点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒．
（1）若点Q运动的速度与点P运动的速度相等，当t＝1时，求证：△ACP≌△BPQ；
（2）在（1）的条件下，求∠PCQ的度数；
（3）如图②，若∠CAB＝∠DBA＝70°，AB＝9，AC＝BD＝7，点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以每秒x个单位的速度由点B向点D运动，若存在△ACP与△BPQ全等，请求出相应的x和t的值．


2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0.21，0.20202有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有﹣，，，共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数，算术平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
2．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，全国人口共141178万人，与2010年第六次全国人口普查数据相比，增加7206万人．将数据7206万用科学记数法表示为（　　）
A．7206×104 B．72.06×106 C．7.206×107 D．0.7206×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．把7206万写成72060000，所以a＝1.206，小数点移动了7位，所以n＝7．
【解答】解：7206万＝72060000＝7.206×107，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（　　）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【分析】根据对顶角、邻补角的概念和性质进行判断即可．
【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故选：B．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
4．（3分）估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】估算确定出范围即可．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
则的值在4和5之间，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
5．（3分）已知点A（4，﹣3）到y轴的距离为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解：点A（4，﹣3）到y轴的距离为|4|＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的长度，到x轴的距离等于纵坐标的长度是解此类题目的关键．
6．（3分）长沙市今年有8万名学生参加初中毕业会考，要想了解这8万名学生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）
A．这1000名考生是总体的一个样本
B．1000名考生是样本容量
C．8万名考生是总体
D．每位学生的数学成绩是个体
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不合题意；
B.1000是样本容量，故本选项不合题意；
C.8万名考生的数学成绩是总体，故本选项不合题意；
D．每位学生的数学成绩是个体，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了总体，个体样本的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．
【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
8．（3分）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”判断A即可；根据“两直线平行，同位角相等”及“对顶角相等”判断B即可；根据梯形的性质判断C即可；根据“两直线平行，内错角相等”判断D即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴∠1+∠2＝180°，∠1与∠2不一定相等，
故A错误，不符合题意；
B、∵AB∥CD，

∴∠1＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
故B正确，符合题意；
C、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1＝∠2，
故C错误，不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
若AC∥BD，可得∠1＝∠2，
故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握平行线的性质定理．
9．（3分）我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，则快马追上慢马需（　　）
A．20天 B．21天 C．22天 D．23天
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程＝快慢马速度之差×快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
由题意，得240x﹣150x＝150×12，
解得：x＝20．
答：快马20天可以追上慢马．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，①线段BG是△ABD边AD上的中线；②线段CH是△ACH中AH边上的高；③△ABG与△BDG面积相等；④AB﹣AC＝BF；⑤∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义，及外角与内角的关系可知．
【解答】解：①因为G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；
②因为CF⊥AD于H，所以CH是△ACH中AH边上的高，故正确；
③因为G为AD中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确；
④因为∠1＝∠2，CF⊥AD，可知∠AFC＝∠ACF，根据等角对等边得AF＝AC，故AB﹣AC＝BF正确，
⑤因为∠1＝∠2，CF⊥AD于H，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，∠1+∠AFH＝∠1+∠FBC+∠FCB＝90°，所以∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，故正确．
所以正确的个数是5个．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系内，把点P（﹣5，﹣2）向右平移2个单位长度得到的点的坐标是 　（﹣3，﹣2）　．
【分析】根据平移的性质可得向右平移2个单位长度就是点的横坐标加2，纵坐标不变，进而可得结果．
【解答】解：把点P（﹣5，﹣2）向右平移2个单位长度得到的点的坐标是（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．
12．（3分）不等式组的解集为 　x＞3　．
【分析】根据几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集即可得出答案．
【解答】解：根据同大取大，即可得到不等式组的解集为：x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠ACE＝　110°　．

【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用这一定理即可求出∠ACE的度数．
【解答】解：∵∠ACE是△ABC的一个外角，
∴∠ACE＝∠BAC+∠ABC，
∵∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，
∴∠ACE＝50°+60°＝110°．
【点评】本题考查三角形的外角性质，是比较简单的内容．
14．（3分）如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是　6　．
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
【解答】解：360°÷60°＝6．
故这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
15．（3分）一个正数x的平方根是2a﹣3与5﹣a，则a＝　﹣2　．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列式计算即可得解．
【解答】解：∵正数x的平方根是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
16．（3分）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；C.6天；D.7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是　108°　．

【分析】先由A类别户数及其所占百分比求得总户数，再由各类别户数之和等于总户数求出B类别户数，继而用360°乘以B类别户数占总人数的比例即可得．
【解答】解：∵被调查的总户数为9÷15%＝60（户），
∴B类别户数为60﹣（9+21+12）＝18（户），
则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：108°．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每随9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：+|﹣4|+（﹣1）2021﹣．
【分析】直接利用立方根、算术平方根、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+4﹣1﹣3
＝3．
【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根、绝对值的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：﹣3a2b+（4ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝1，b＝﹣1．
【分析】先去括号再合并同类项可得原式＝﹣2a2b，再将a、b的值代入即可．
【解答】解：﹣3a2b+（4ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b）
＝﹣3a2b+4ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b
＝﹣2a2b，
当a＝1，b＝﹣1时，原式＝﹣2×1×（﹣1）＝2．
【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则，正确地去括号并合并同类项是解题的关键．
19．（6分）求满足不等式：+2＞的所有正整数解．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，即可确定出正整数解．
【解答】解：去分母得：2（x﹣4）+12＞3x，
去括号得：2x﹣8+12＞3x，
解得：x＜4，
则不等式的正整数解为1，2，3．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
20．（8分）人教版八年级上册第36﹣37页如何作一个角等于已知角的方法．
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．

请你根据以上材料完成下面问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是 　①　．（填序号）
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
（2）请你证明：∠A′O′B′＝∠AOB．
【分析】（1）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS；
（2）结合（1）证明△C′O′D′≌△COD即可得结论．
【解答】解：（1）根据作图过程可知：这种作一个角等于已知角的方法的依据是 ①；
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
故答案为：①；
（2）证明：在△C′O′D′和△COD中，
，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
21．（8分）湖南广益实验中学在暑假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母干家务，开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就暑假“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的统计图的一部分．
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是 　200　人，m＝　20　，n＝　25　；
（2）补全数分布直方图；
（3）如果该校共有学生4000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？

【分析】（1）根据0～10这一组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生数；根据调查的学生人数和频数分布直方图中的数据，可以计算出m和n的值；
（2）根据（1）中的结果和直方图中的数据，可以计算出20～30分钟的频数，然后即可将直方图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人．
【解答】解：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是：60÷30%＝200（人），
m%＝（200﹣60﹣40﹣50﹣10）÷200×100%＝20%，
n%＝50÷200×100%＝25%，
即m＝20，n＝25，
故答案为：200，20，25；
（2）20～30分钟的频数为：200﹣60﹣40﹣50﹣10＝40，
补全的频数分布直方图如图所示；

（3）4000×＝1200（人），
答：估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有1200人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（9分）在国家精准扶贫政策下，某乡村大力发展乡村旅游，为了满足游客的需求，某商户决定购进A，B两种特产来进行销售．
（1）若购进A种特产8件，B种特产3件，需要950元；购进A种特产5件，B种特产6件，需要800元．求购进A，B两种特产每件分别需要多少元？
（2）若该商户决定购进A，B两种特产共100件，考虑市场需求和资金周转，A种特产至少需购进50件，用于购买这100件特产的总资金不能超过7650元，请问该商户最多可购进A种特产多少件？
【分析】（1）设购进A种特产每件需要x元，购进B种特产每件需要y元，根据“购进A种特产8件，B种特产3件，需要950元；购进A种特产5件，B种特产6件，需要800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商户购进A种特产m件，则购进B种特产（100﹣m）件，根据“A种特产至少需购进50件，用于购买这100件特产的总资金不能超过7650元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A种特产每件需要x元，购进B种特产每件需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进A种特产每件需要100元，购进B种特产每件需要50元．
（2）设该商户购进A种特产m件，则购进B种特产（100﹣m）件，
依题意得：，
解得：50≤m≤53．
答：该商户最多可购进A种特产53件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（9分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），点C在第四象限，AC⊥AB，AC＝AB．
（1）求点C的坐标及∠COA的度数；
（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，求出S△POM+S△BOM的值．

【分析】（1）作CD⊥x轴于点D，根据条件证明△AOB≌△CDA就可以得出AO＝CD，连接OC根据OD＝OC就可以求出∠COD＝45°，从而得出结论；
（2）根据等底等高的两三角形的面积相等就可以得出S△POM+S△BOM＝S△COM+S△BOM＝S△BOC．而得出结论．
【解答】解：（1）作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDA＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠CDA．
∴∠DAC+∠DCA＝90°．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD．
在△AOB和△CDA中
，
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴AO＝CD，OB＝DA．
∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴CD＝2，DA＝4，
∴OD＝2，
∴OD＝CD．
∵点C在第四象限，
∴C（2，﹣2）．
∵∠CDO＝90°，
∴∠COD＝45°．
∴∠COA＝180°﹣45°＝135°．
（2）∵PC∥x轴，
∴点P到x轴的距离相等，
∴S△POM＝S△COM．
∴S△POM+S△BOM＝S△COM+S△BOM＝S△BOC．
∴S△POM+S△BOM＝S△BOC＝＝4．

【点评】本题考查了坐标与图形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24．（10分）对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为广益数，记为L（x，y），其中（x，y）叫做广益数对．若实数x，y都取正整数，此时的（x，y）叫做广益正格数对．
（1）若L（x，y）＝x+3y，则L（，）＝　3　，L（﹣2，m）＝　﹣2+3m　；（用含m的式子表示）
（2）已知L（x，y）＝ax+by（其中a，b互为相反数）L（2，3）＝n﹣3，L（1，﹣2）＝2n+1，求n的值．
（3）已知L（x，y）＝3x+cy，其中L（，）＝2．若L（x，kx）＝18（其中k为整数），问是否存在满足这样条件的广益正格数对？若存在，请求出这样的广益正格数对；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）利用题中的新定义计算，列出方程求出n即可；
（3）根据题中的新定义化简已知等式，由x，y都为正整数，k为整数，确定出所求即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：L（，）＝+3×＝3；L（﹣2，m）＝﹣2+3m，
故答案为：3，﹣2+3m；
（2）根据题中的新定义得：L（2，3）＝2a+3b＝n﹣3；L（1，﹣2）＝a﹣2b＝2n+1；
∵a，b互为相反数，
∴a＝﹣b，
∴，
解得：n＝；
（3）存在，（2，6），理由如下：
根据题中的新定义化简L（，）＝2，得：3×+c＝2，
解得：c＝2，
化简L（x，kx）＝18，得：3x+2kx＝18，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
∴3+2k是奇数，
∴3+2k＝1，3，9，
解得：k＝﹣1，0，3，
当k＝﹣1时，x＝18，kx＝﹣18，舍去；
当k＝0时，x＝6，kx＝0，舍去；
当k＝3时，x＝2，kx＝6，
综上，k＝3时，存在正格数对x＝2，y＝6满足条件．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
25．（10分）如图①，AB＝9，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7，点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒．
（1）若点Q运动的速度与点P运动的速度相等，当t＝1时，求证：△ACP≌△BPQ；
（2）在（1）的条件下，求∠PCQ的度数；
（3）如图②，若∠CAB＝∠DBA＝70°，AB＝9，AC＝BD＝7，点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以每秒x个单位的速度由点B向点D运动，若存在△ACP与△BPQ全等，请求出相应的x和t的值．

【分析】（1）利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ；
（2）根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系；
（3）分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【解答】（1）证明：当t＝1时，AP＝BQ＝2，
则BP＝9﹣2＝7，
∴BP＝AC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

（2）解：如图①中，连接CQ．

∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，PC＝PQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
∴∠PCQ＝45°．

（3）解：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∴9﹣2t＝7，
解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则2t＝×9，
解得，t＝（s），则x＝7÷＝（cm/s），
故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
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日期：2022/1/31 21:38:29；用户：买老师高数；邮箱：15773116387；学号：29521335