2022年湖南省永州市蓝山县中考数学二模试卷（含解析）

2022年湖南省永州市蓝山县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列四个数中最大的数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算中，正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列说法错误的是

A. “清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品必须要采用全面调查
C. 对湘江流域水质情况的调查采用抽样调查
D. 经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯

6. 如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么所得分式的值

A. 不变 B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的倍 D. 不确定

7. 如图，，，是上三点，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 依次连接任意凸四边形各边的中点，得到一个特殊四边形，则这个图形一定是

A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形

9. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为

A.  B.  C.  D.

10. 定义运算：把的缩写为，叫做的阶乘，如，请你化简，得

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 若点在反比例函数的图象上，则的值为______．
12. 为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的次比赛成绩作了统计：甲、乙、丙的平均成绩均为环，方差分别为，，，则应该选参加全运会______填“甲”或“乙”或“丙”
13. 一个锐角的补角比这个角的余角大______．
14. 如果与的和仍是单项式，则的值为______．
15. 由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损元，而按原售价的八五折出售，将盈利元，则该商品的原售价为______元．
16. 如图，中，，的垂直平分线交于点，且，则的周长是______．
    
     

17. 如图，海上有一灯塔，位于小岛北偏东方向上，一艘轮船从小岛出发，由西向东航行海里到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔的正南方，此时轮船与灯塔的距离是______海里结果保留根号．
18. 新知学习：现定义一个数的平方等于，记为，我们把这个数叫做虚数单位．像，，为实数，且形如的数就叫虚数．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：
    ；．
    新知运用：将化简成的形式为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算．
20. 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度．
    画出向上平移个单位得到的；
    以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为：，并直接写出点的坐标．

21. 在祁阳市“禁毒知识进校园”活动中，某学校进行了一次禁毒知识竞赛，成绩分为优秀，良好，及格，不及格四个等次，张老师从各班随机抽取了部分学生的成绩作为一个样本，制作成如下统计图表，请根据图表中的信息回答问题：

______；
学校共有名学生参加竞赛，请根据样本情况估计全校优秀人数；
学校打算从每班随机抽调人参观零陵区禁毒教育基地，小亮所在班共有名学生，班长做好个签，其中个“去参观”签，个空白签，每人抽一个签，求小亮抽到“去参观”签的概率．

22. 设为整数，且，方程有两个不相等的整数根，求的值及方程的根．
23. 某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费元与每月用水量之间的关系如图所示．
    求关于的函数解析式；
    若某用户二、三月份共用水二月份用水量不超过，缴纳水费元，则该用户二、三月份的用水量各是多少？

24. 如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
    求的度数；
    若，求的半径．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，四点，动点以每秒个单位长度的速度沿运动不与点、点重合，设运动时间为秒．
    求经过，，三点的抛物线的解析式；
    点在中的抛物线上，当为的中点时，若≌，求点的坐标；
    当在上运动时，如图过点作轴，垂足为，，垂足为设矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值．

26. 在中，，交的延长线于点．
    特例感知：
    将一等腰直角三角尺按图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为，一条直角边与重合，另一条直角边恰好经过点通过观察、测量与的长度，得到请给予证明．
    猜想论证：
    当三角尺沿方向移动到图所示的位置时，一条直角边仍与边重合，另一条直角边交于点，过点作垂足为此时请你通过观察、测量，与的长度，猜想并写出，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
    联系拓展：
    当三角尺在图的基础上沿方向继续移动到图所示的位置点在线段上，且点与点不重合时，请你判断中的猜想是否仍然成立？不用证明

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
所给的四个数中最大的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】

【解析】【试题解析】

解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3.【答案】

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则及乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程：移项、二次项系数化为 ，配方，开方．根据配方法，可得方程的解．
【解答】

解： ，
移项，得 ，
配方，得 ．
故选 D ．
 

5.【答案】

【解析】解：“清明时节雨纷纷”是随机事件，所以选项说法不正确，故A选项符合题意；
B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品必须要采用全面调查，所以选项说法正确，故B选项不符合题意；
C.对湘江流域水质情况的调查采用抽样调查，所以选项说法正确，故C选项不符合题意；
D.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，所以选项说法正确，故D项不符合题意．
故选：．
根据随机事件，全面调查和抽样调查的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了随机事件，全面调查与抽样调查，熟练掌握随机事件，全面调查与抽样调查的定义进行求解是解决本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
所以分式中的，都扩大为原来的倍，那么所得分式的值扩大为原来的倍，
故选：．
先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，

，
，
，
．
故选：．
首先连接，由，，是上三点，，利用圆周角定理，即可求得的度数，再利用等腰三角形的性质，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，
点、、、分别为、、、的中点，
，，，，
，，
四边形为平行四边形，
故选：．
连接，根据三角形中位线定理得到，，，，进而得到，，根据平行四边形的判定定理得出结论．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，
底面直径为，母线长为，
故这个几何体的侧面积为：．
故选：．
直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案．
此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的形状是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由题意可得，





，
，
故选：．
根据题目中的新定义，可以将题目中的式子变形，从而可以判断哪个选项是正确的．
本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
 

11.【答案】

【解析】解：将点代入反比例函数，
得，
解得，
故答案为：．
将点坐标代入函数解析式即可求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

12.【答案】甲

【解析】解：，，，
最小，
应该选甲参加全运会．
故答案为：甲．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】

【解析】解：设这个锐角为，
则，
所以一个锐角的补角比这个角的余角大．
故答案为：．
根据余角和补角的定义求解即可，余角：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
本题主要考查了余角和补角，熟记余角和补角的定义是解答本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：与的和仍是单项式，
与是同类项，
，，
，，
．
故答案为：．
由题意可得两个单项式是同类项，根据同类项定义即可解答．
本题考查同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项，同类项与系数无关，与字母的顺序无关．解题关键是熟记定义．
 

15.【答案】

【解析】解：该商品的原售价为元，
由题意可得：，
解得，
即该商品的原售价为元，
故答案为：．
根据按原售价的七五折出售，将亏损元，而按原售价的八五折出售，将盈利元，可以列出相应的方程组，然后求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

16.【答案】

【解析】解：的垂直平分线交于点，
，
的周长为，
，，
的周长为，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可知的周长为，代入数据求解即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：过作于，如图所示：
由题意得：，，
，
，
海里，
在中，海里，
即此时轮船与灯塔的距离为海里，
故答案为：．
过作于，易证是等腰三角形，得到海里，然后在直角中，利用三角函数的定义求得的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：



．
故答案为：．
按新定义运算的规定，分式的分子、分母都乘以，化简即可．
本题考查了实数的运算，掌握新运算的规定是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：


．

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：如图所示：，即为所求；

如图所示：，即为所求，坐标．

【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．
此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．
 

21.【答案】

【解析】解：被调查的总人数为人，
，
故答案为：；
估计全校优秀人数为人；
小亮抽到“去参观”签的概率为．
先由等级人数及其所占百分比求出总人数，继而可得等级人数；
总人数乘以等级人数所占比例；
根据概率公式求解即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法、列表法树状图法求随机事件发生的概率，从统计图中获取数量和数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：方程有两个不相等的整数根，
是完全平方数，
，
或或，
即或，
，
，
当时，，；
当时，，．

【解析】先求出，再用判别式是完全平方数，求出的值，再用公式法求出，即可求出答案．
此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，完全平方数，求出的值是解本题的关键．
 

23.【答案】解：当时，设与的函数关系式为，
，得，
即当时，与的函数关系式为，
当时，设与的函数关系式为，
，得
即当时，与的函数关系式为，
由上可得，与的函数关系式为：
；
设二月份的用水量是，
当时，，
此方程无解；
当时，，
解得，，
，
答：该用户二、三月份的用水量各是、．

【解析】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；
根据题意对进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少．
 

24.【答案】解：连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为；
设的半径为，
，，
，
，
，
的半径为．

【解析】连接，根据切线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的内角和求出，进而求出的度数，最后根据圆周角定理，进行计算即可解答；
设的半径为，利用含度的直角三角形可得，进行计算即可解答．
本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，切线的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理，以及切线的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设函数解析式为，
将点，，代入解析式可得
，
解得：，
；
≌，
，，
点为的垂直平分线与抛物线的交点，
，
点的纵坐标是，
，
或，
或；
由点、的坐标知，，
当点在上时，则，
，，
，
，
，
又，
所以当时，取得最大值为．

【解析】设函数解析式为，将点，，代入解析式即可；
由已知易得点为的垂直平分线与抛物线的交点，点的纵坐标是，则有，即可求点的坐标；
当点在上时，则，进而求出、、的长度，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的极值问题，一次函数的性质、中垂线的性质、三角形全等的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
 

26.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；
解：如图，，理由如下：
连接，

，，，，
，
，
；
解：中的猜想仍然成立，理由如下：
连接，

，，，，
，
，
．

【解析】利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
连接，根据三角形面积公式求解即可；
连接，根据三角形面积公式求解即可．
此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形面积公式并作出合理的辅助线是解题的关键．