2022年湖南省永州市新田县中考数学一模试卷（含解析）

2022年湖南省永州市新田县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 瑞华实验学校开展“新华杯”寒假亲子阅读活动，为了解八年级学生寒假的读书册数，对从中随机抽取的名学生的读书册数进行了统计，结果如表：

根据统计表中的数据，这名同学读书册数的中位数，众数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是

A.
B.
C.
D.

6. 菱形的两条对角线长分别是和，则此菱形的周长和面积分别是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7. 如图，在中，点是边上的一点，，，，则边的长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形阴影部分，点在对角线上若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是

A.
B.
C.
D.

9. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为

A.
B.
C.
D.

10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长使，连接，得，所以类比这种方法，计算的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 比较大小：______．
12. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为______
13. 因式分解： ______ ．
14. 使得代数式有意义的的取值范围是______．
15. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数是______．

16. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
17. 若关于，的方程组解满足，则的取值范围是______．
18. 已知为正整数，无论取何值，直线：与直线：都交于一个固定的点，这个点的坐标是______；记直线和与轴围成的三角形面积为，当时，可求得，请计算的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
    求证：；
    若，求的度数．
     

22. 为控制新型冠状病毒传播，我国率先成功研发了多种疫苗并免费为市民接种．为了解接种情况，秀峰社区管理人员对辖区居民进行了抽样调查．按接种情况可分如下四类：类接种了只需要注射一针的疫苗；类接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；类接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；类还没有接种．图与图是根据此次调查得到的统计图不完整．
    
    请根据统计图回答下列问题
    此次抽样调查的人数是______人；
    接种类疫苗的人数的百分比是______；接种类疫苗的人数是______人；
    请估计该小区所居住的名居民中约有多少人进行了新冠疫苗接种；
    为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，社区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集名志愿宣传者，现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，通过列举法求恰好抽到一男一女的概率是多少．
    
    
    
    
    
    
     
23. 新田“青云塔”始建于清咸丰九年，李白诗云：“脚著谢公屐，身登青云梯，半壁见海日，空中闻天鸡”云梯学校教学实践活动小组为测量“青云塔”的高度，在楼前的平地上外，观测到楼顶处的仰角为，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得、两处相距其中测量仪器米．求“青云塔”的高度结果保留一位小数，参考数据：，

24. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．
    试证明是的切线；
    若的半径为，，求此时的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 某商场准备购进，两种型号电脑，每台型号电脑进价比每台型号电脑多元，用元购进型号电脑的数量与用元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
    ，型号电脑每台进价各是多少元？
    若每台型号电脑售价为元，每台型号电脑售价为元，商场决定用不超过元同时购进，两种型号电脑台，且全部售出，请写出所获的利润单位：元与型号电脑单位：台的函数关系式并求此时的最大利润．
    在问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买，两种型号电脑捐赠给某个福利院，问有多少种捐赠方案？最多捐赠多少台电脑？
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，抛物线的图象经过，，三点．
    求抛物线的解析式．
    抛物线的顶点与对称轴上的点关于轴对称，直线交抛物线于点，点为抛物线在直线下方的一个动点，连接、，问：的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值和点的坐标．若不存在，请说明理由．
    为抛物线上的一动点，为对称轴上一动点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标至少写两个．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
故的相反数是：．
故选：．
直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了绝对值以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：

，
故选：．
根据有理数的减法法则计算即可得出答案．
本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：因为共有个数据，所以中位数为从小到大排列排在第、个数据的平均数，即中位数为，
由表格知数据出现了次，次数最多，所以众数为．
故选：．
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】
 

【解析】解：与不是同类项，故不符合题意；
B.原式，故不符合题意；
C.原式，故符合题意；
D.原式，故不符合题意；
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
根据两个视图是三角形得出该几何体是锥体，再根据俯视图是圆加一个圆心，得出几何体是圆锥．
【解答】
解：主视图和左视图是三角形，
几何体是锥体，
俯视图的大致轮廓是圆，
该几何体是圆锥．
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：如图，菱形中，，，
，，，
，
此菱形的周长是：，
面积是：．
故菱形的周长是，面积是．
故选：．
首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是和，可求得，，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线积的一半的知识点．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，，
∽，
，即，
．
故选：．
由，，可证出∽，再利用相似三角形的性质可求出边的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设圆椎的底面圆的半径为，
根据题意可知：
，，
，
解得．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：．
根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
 

9.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向下，对称轴位于轴右侧，与轴的交点在轴正半轴上，
，，，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：．
根据二次函数图象可找出，，，进而可得出，再根据一次函数图象与系数的关系及反比例函数的图象，即可找出一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出、、是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：在中，，，延长使，连接，得，

设，则，
，
故选：．
在中，，，延长使，连接，得，设，则，根据计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
比较两者平方后的值即可．
本题考查了实数的大小比较，解答本题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．
 

12.【答案】
 

【解析】解：用科学记数法表示为
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

13.【答案】
 

【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：代数式有意义，
，
，
的取值范围是，
故答案为：．
二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图所示：

将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．
本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
 

16.【答案】且
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．  

17.【答案】
 

【解析】解：，
得：，
，
关于，的方程组解满足，
，
的取值范围为：．
故答案为：．
求出，根据已知得出不等式，求出即可．
本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于的不等式组．
 

18.【答案】 
 

【解析】解：直线：，
直线：经过点；
直线：，
直线：经过点．
无论取何值，直线与的交点均为定点．
直线：与轴的交点为，
直线：与轴的交点为，
，
，，，




．
故答案为：；．
变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论取何值，直线与的交点均为定点；先求出与轴的交点和与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后得到
此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与轴的交点的纵坐标为，与轴的交点的横坐标为．
 

19.【答案】解：原式．
 

【解析】应用立方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了立方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值，熟练掌握立方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，原式．
 

【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中第二项变形后利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
 

21.【答案】证明：，，
，
，
，
是的中点，
．
在和中，
，
≌，
；
解：由，
，
，
，
，
，
中，，
，
．
 

【解析】先证明≌，根据全等三角形的性质即可得证；
先求出，再根据，求出的值，然后根据三角形内角和即可求出．
本题考查了全等三角形的性质和判定，涉及等腰三角形，三角形内角和定理等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

22.【答案】   
 

【解析】解：此次抽样调查的人数为：人
故答案为：；
接种类疫苗的人数的百分比为：，
接种类疫苗的人数为：人，
故答案为：，；
根据题意得：人，
即估计该小区所居住的名居民中有人进行了新冠疫苗接种；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有种，
恰好抽到一男和一女的概率为：．
由的人数除以所占百分比即可得出结论；
由接种类疫苗的人数除以抽样调查的人数得出接种类疫苗的人数的百分比，再由抽样调查的人数减去、、的人数即可；
由该小区所居住的总人数乘以进行了新冠疫苗接种的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设为，
由题意得：，，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
答：“青云塔”的高度约为．
 

【解析】设为，先证是等腰直角三角形，得，再由锐角三角函数定义得，然后由，得，求出，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，证出，是解答此题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，，
为的直径，
，

又，是等腰三角形，
又是边上的中线，
是的中位线，
，又，
，
是的半径，
是的切线；
解：由知，是边上的中线，，
得．
的半径为，
．
在中，．
，
．
在和中，
，，
∽，
，
即，
解得．
 

【解析】连接、，求出，可得，根据三角形的中位线得出，推出，根据切线的判定推出即可；
根据题意求得，根据勾股定理求得，然后证得∽，根据相似三角形的性质即可求得．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用．
 

25.【答案】解：设每台型号电脑进价为元．
由题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
元，
答：每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元；
由题意，得，
，
解得，
，
随的增大而增大，
时，所获利润最大为元．
答：与的函数解析式为，此时，最大利润为元．
设再次购买型电脑台，型电脑台，
，且，为正整数，
或或或或或或．
答：有种捐赠方案，最多捐赠台电脑．
 

【解析】设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，由“用元购进型号电脑的数量与用元购进型号电脑的数量相同”列出方程即可求解；
所获的利润型电脑利润型电脑利润，可求与关系，由“用不超过元购进，两种型号电脑台”列出不等式，根据函数性质即可求解；
由一次函数的性质可求最大利润，设再次购买的型电脑台，型电脑台，可得，可求整数解，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线 的图象经过点 ，，
设抛物线的解析式为 ，
把点 代入，
，
，
，
抛物线解析式为；

，
顶点的坐标为，
抛物线的顶点与对称轴上的点关于轴对称，
点，

设直线的解析式为：，
由题意可得：，解得：，
直线解析式为：，
联立得：，
解得：，，
点，
设的面积为，点，
过点作轴交直线于点，则点坐标为，
，
，
所以，当时，的面积，此时点坐标为；

由知，，，
设，，
以为对角线时，
以 ，，， 为顶点的四边形为平行四边形，
，解得：，
；
以为对角线时，
以 ，，， 为顶点的四边形为平行四边形，
，解得：，
；
以为对角线时，
以 ，，， 为顶点的四边形为平行四边形，
，解得：，
；
综上所述，当点  的坐标为 或 或 时，以 ，，， 为顶点的四边形为平行四边形．
 

【解析】将已知点的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
求出点，利用待定系数法可得直线的解析式，联立，得出的坐标，过点作轴交直线于点，设出点的坐标，表达出点的坐标，进行表达的面积，利用二次函数最值问题，求出此时面积的最大值；
设点，，，的横坐标分别为，，，，分别以、、为对角线进行分情况讨论即可．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质和三角形的面积，分类讨论思想的应用是解决本题的关键．