北师大版七年级上册3.2 代数式教学设计及反思

3.2.2代数式求值

教学目标

知识与技能：1.会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.

2.会利用代数式求值推断代数式反映的规律.

3.能解释代数式求值的实际应用.　　

过程与方法：1．经历求代数式的值的过程，初步体会到数学中抽象概括的思维方法和事物的特殊性与一般性可以相互转化的辩证关系；

2.探索代数式求值的一般方法．

情感态度与价值观：

教学重难点：

教学重点：1．了解代数式的值的概念；

2．会求代数式的值．

教学难点：能解释代数式求值的实际应用；会代数式求值的一般方法.

教学过程

一．创设情境

如图就是小明设计的一个程序.当输入x的值为3时，你能求出输出的值吗？

二．探究归纳

１．引导学生得出游戏过程实际是一个计算程序（如下图）：

2．代数式的值的概念

像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果称为代数式的值（value of algebraic expression）．

通过上面的游戏，我们知道，同一个代数式，由于字母的

取值不同，代数式的值会有变化．

3.字母的取值

①代数式中的字母取值必须使这个代数式有意义．如在代数式中，x不能取3，因为当x＝3时，分母x－3＝0，代数式无意义．

②实际问题中，字母的取值要符合题意．如当x表示人数时，x不能取负数和分数．

例1 ：下列代数式中，a不能取0的是(    )．

A.a     B.   C.    D．2a－b

解析：代数式中字母的取值必须使这个代数式有意义，由分母不能为0可知，B选项中的a不能取0.故选B.

答案：B

4．代数式求值的步骤

(1)步骤：第一步：代入，用具体数值代替代数式里的字母；

第二步：计算，按照代数式中指明的运算，计算出结果．

(2)注意事项：

①一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替；

②如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号；

③代入时，不能改变原式中的运算符号及数字；

④运算时，要注意运算顺序，即先算平方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的．

例2：直接代入法求代数式的值.

 当a＝，b＝3时，求代数式2a2＋6b－3ab的值.

　解析：直接将a＝，b＝3代入2a2＋6b－3ab中即可求得.

解：原式＝2×（）2＋6×3－3××3＝＋18－＝14.

方法总结：（1）代入时要“对号入座”，避免代错字母；（2）代入后要恢复省略的乘号；（3）分数的立方、平方运算，要用括号括起来.

例3：整体代入法求值.

已知x－2y＝3，则代数式6－2x＋4y的值为（　　）

A.0  B.－1  C.－3  D.3

解析：此题无法直接求出x、y的值，这时，我们就要考虑特殊的求值方法.根据已知x－2y＝3及所求6－2x＋4y，只要把6－2x＋4y变形后，再整体代入即可求解.因为x－2y＝3，所以6－2x＋4y＝6－2（x－2y）＝6－2×3＝0.故选A.

例4：利用程序图求代数式的值.

 有一数值转换器，原理如图所示.若开始输入的x的值是5，则发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，…，则第2016次输出的结果是　　　.

解析：按如图所示的程序，当输入x＝5时，第1次输出5＋3＝8；当输入x＝8时，第2次输出×8＝4；当输入x＝4时，第3次输出×4＝2；当输入x＝2时，第4次输出×2＝1；当输入x＝1时，第5次输出1＋3＝4；则第6次输出×4＝2，第7次输出×2＝1，……，不难看出，从第2次开始，其运算结果按4，2，1三个数为一周期循环出现.因为（2016－1）÷3＝671…2，所以第2016次输出的结果为2.

归纳：求代数式的值常用的方法有：直接代入计算、整体代入计算、按指定的程序代入计算．

(1)直接代入计算

当已知一个代数式中各字母的取值时，可以用直接代入计算的方法．

(2)整体代入计算

已知一个含有字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，可以选用整体代入的方法．

整体代入步骤：①对已知代数式或所求代数式进行适当变形；②整体代入求值．

点技巧  运用整体思想求代数式的值

运用整体思想求代数式的值就是将一个代数式(的值)作为一个整体代入到欲求值的代数式中，从而求出代数式的值的方法．解答此类问题时，要从整体上分析已知代数式与欲求值的代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解决问题的方法．

(3)按指定的程序代入计算

按指定的程序代入计算，即数值转换机．给出一个代数式，或提供运算程序，给出字母的取值，代入求值即可．

5、代数式的读法及意义

(1)代数式的读法

代数式的读法一般有两种：①按运算关系来读，如x＋5读作“x加5”；②按运算的结果来读，如x＋5读作“x与5的和”．[来源网]

谈重点  代数式的读法

①对于含有括号的代数式，应把括号里的代数式看成一个整体按运算结果来读；②对于含有分数的代数式，要把分子与分母分别看成一个整体按运算结果来读．

(2)代数式的意义

代数式的意义包括三种：

①运算中的意义：几个字母加、减、乘、除、乘方等运算的结果．

②实际意义：表示实际问题中的数量关系．

③几何意义：主要从图形的面积、周长和体积考虑．

例5：对于代数2x－3y，下列读法不正确的有(    )．

A．2x减去3y      B．2x与3y的差

C．x的2倍减去y的3倍的差 D．2乘x减去3乘y

解析：代数式的读法有两种，一种是按运算关系读，另一种是按运算结果来读．无论哪一种，都要注意运算顺序．A，B，C的读法都可以与代数式相对应，D有可能误理解为(2x－3)·y，故是错误的．

答案：D

举例说明下列代数式的意义：

(1)4a2可以解释为___________________________；

(2)x(1－5%)可以解释为__________________________．

解析：将代数式放入具体的问题情境去理解，赋予它具体的实际意义，解决的关键是想出不同的实际背景或几何背景．

答案：(1)如果一个正方形的边长为a，则4个这样的正方形的面积为4a2

(2)如果某件商品的原价为x元，按照降价5%进行降价促销，则降价后这件商品的售价为x(1－5%)元.

例6：代数式在实际问题中的应用.

如图所示，某水渠的横断面为梯形，如果水渠的上口宽为am，水渠的下口宽和深都为bm.

（1）请你用代数式表示水渠的横断面面积；

（2）计算当a＝3，b＝1时，水渠的横断面面积.

解析：（1）根据梯形面积＝（上底＋下底）×高，即可用含有a、b的代数式表示水渠横断面面积；（2）把a＝3、b＝1带入到（1）中求出的代数式中，其结果即为水渠的横断面面积.

解：（1）∵梯形面积＝（上底＋下底）×高，∴水渠的横断面面积为：（a＋b）b（m2）；

（2）当a＝3，b＝1时水渠的横断面面积为（3＋1）×1＝2（m2）.

方法总结：解答本题时需搞清下列几个问题：（1）题目中给出的是什么图形？（2）这种图形的面积公式是什么？（3）根据公式求图形的面积需要知道哪几个量？（4）这些量是否已知或能求出？搞清楚了这些问题，求解就水到渠成.

6．代数式求值的应用

代数式求值的应用主要有两类：

(1)根据代数式的值推断规律

根据字母取值的不同，判断一个代数式的值的变化规律，其步骤是：

①将某一范围内的数值代入指定的代数式求值；

②观察代数式的值的变化，得出规律．

(2)解决实际问题

利用代数式的值解决实际问题的一般步骤：

①认真观察问题中的不变量与变化量之间的关系；

②用代数式表示其中的数量关系，即列代数式；

③将提供的数据代入所求出的代数式计算求值．

三．拓展应用

1、 当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，求下列各代数式的值.

（1）b2－4ac;

（2）a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac;

（3）(a＋b＋c)2．

解（1）当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，

b2－4ac ＝(－1)2－4×2×(－3)

             ＝1＋24

             ＝25．

  （2）当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，

a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac

＝22＋(－1)2＋(－3)2＋2×2×(－1)＋2×(－1)×(－3)＋2×2×(－3)

＝4＋1＋9－4＋6－12

＝4．

  （3）当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，

(a＋b＋c)2

＝(2－1－3)2

     ＝ 4．

注：1．比较（2）、( 3 ) 两题的运算结果，你有什么想法？

2．换 a ＝ 3 , b ＝ －2 , c ＝4 ， 再试一试，检验你的猜想是否正确．

3．对于这一猜想，我们通过学习，将来有能力证实它的正确性．

2、 已知x＝，y＝3，求代数式2x2y－4x2y＋10x2y的值．

分析：分别将x＝，y＝3代入代数式中，再按照指定的运算进行计算；也可以先求出x2y的值，然后再整体代入．

3、已知x＋y＝2 013，xy＝2 012，求xy－2(x＋y)的值．

分析：由于条件是关于x＋y，xy的值，故应考虑用整体代入的方法计算，即将xy看成一个整体，将x＋y看成一个整体．

解：xy－2(x＋y)＝2 012－2×2 013＝－2 014.

4、按如图所示的程序计算，若开始输入的数为x＝3，则最后输出的结果是(    )．[来源:学§科§网]

A．6         B．21         C．156         D．231

解析：按照本题的运算程序，是否输出结果，关键是看每次计算的结果是否大于100，在输出结果之前的计算可以是多次反复循环的．

第一次：输入的数x＝3，则＝＝6，因为6＜100，所以不能输出结果，而是进入“否”程序，回到“输入”，再进行计算；

第二次：输入的数x＝6(此时输入的数已变为第一次的计算结果)，则＝＝21，因为21＜100，所以再次进入“否”程序，回到“输入”，再进行计算；

第三次：输入的数x＝21(此时输入的数已变为第二次的计算结果)，则＝＝231，因为231＞100，所以进入“是”程序，“输出结果”231，故选D.

答案：D

5、(1)填表：

(2)当x的值逐渐变大时，推断的值的变化规律．

分析：本题通过填表、分析表中的数据来推断的值的变化趋向，正确地填出表中的数据是解答的关键．

解：(1)填表：

(2)当x的值逐渐变大时，的值也逐渐变大，当x非常大时，的值趋向于1，但不能等于1.

三、板书设计

四、布置作业 

1、当x＝－3时，多项式mx3＋nx－81的值是10，当x ＝ 3时，求该代数式的值．

2．按下图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输入的结果是_________．

3． 根据下列各组x、y 的值，分别求出代数式 x2＋2xy+2y2 与 x2－2xy+y2 的.

4.练习册随堂练习.

5.课后练习和习题.

五、教学反思

教学过程中，应通过活动使学生感知代数式运算在判断和推理上的意义，增强学生学习数学的兴趣，培养学生积极的情感和态度，为进一步学习奠定坚实的基础.