山西省太原市外国语学校2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题

绝密★启用前

山西省太原市外国语学校2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（       ）

A． B． C． D．

3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）

A． B． C． D．

4．下列命题为真命题的是（       ）

A．函数与函数是同一函数

B．设，则“”是“”的必要而不充分条件

C．函数的最小值为2

D．命题“”的否定是“”

5．函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

6．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则(       )

A． B． C． D．

7．若函数在处有极值10，则（       ）

A．6 B． C．或15 D．6或

8．已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

9．已知函数，下列说法错误的是（       ）

A．在x=e处的切线方程为y=e B．函数的单调递减区间为

C．的极小值为e D．方程有2个不同的解

10．已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

11．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（       ）

A．0 B．1 C． D．

12．设函数，关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（       ）

A． B． C．9 D．10

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．设函数，若，则_________．

14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数），则=_________.

15．已知的最小值为2，则m的取值范围为______________

16．已知，则下列说法正确的有______________

①函数有唯一零点x=0

②函数的单调递减区间为和

③函数有极大值点

④若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是

17．已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为B．

(1)当时，求；

(2)设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

18．已知函数的图象经过点，

(1)求a的值；

(2)求函数的定义域和值域；

(3)判断函数的奇偶性并证明．

19．已知关于x的不等式的解集为或．

(1)求的值；

(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

20．已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线.

（1）求函数的解析式；

（2） 设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

21．已知函数是偶函数．

(1)求k的值．

(2)若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？

若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

22．已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

先解一元二次不等式求出集合，再按集合的并集运算即可.

【详解】

由题意得，因为，所以.

故选：D.

2．D

【解析】

【分析】

对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断

【详解】

对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，因为为非零实数，所以，

因为，所以，即，所以D正确，

故选：D

3．C

【解析】

【分析】

分析各选项中函数的定义域，再判断奇偶性、单调性作答.

【详解】

对于A，函数是定义在上的奇函数，在定义域上不单调，A不是；

对于B，函数的定义域为，不具奇偶性，B不是；

对于C，函数是R上的奇函数，在R上单调递减，C是；

对于D，函数是R上的增函数，D不是.

故选：C

4．B

【解析】

【分析】

分析函数定义域判断A；利用充分条件、必要条件定义判断B；利用对勾函数性质计算判断C；利用全称量词命题的否定判断D作答.

【详解】

对于A，的定义域为R，的定义域为，A不正确；

对于B，解不等式得，，有，则“”是“”的必要而不充分条件，B正确；

对于C，令，函数在上递增，，因此，C不正确；

对于D，命题“”的否定是“”，D不正确.

故选：B

5．B

【解析】

【分析】

通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..

【详解】

详解：为奇函数，排除A,

，故排除D.

，

当时，，所以在单调递增，所以排除C；

故选：B.

6．B

【解析】

【分析】

根据f(x)是偶函数且满足可求f(x)的周期，从而可将转化到内进行求值．

【详解】

∵f(x)是R上偶函数，∴f(-x)=f(x)，

又∵，

∴，

故f(x)的一个周期是2，

故．

故选：B．

7．B

【解析】

【分析】

先求出函数的导函数 ，然后根据在 时 有极值10，得到 ，求出满足条件的 ，然后验证在 时是否有极值，即可求出

【详解】

，

又 时 有极值10

，解得 或

当 时，

此时 在 处无极值，不符合题意

经检验， 时满足题意

故选：B

8．C

【解析】

由奇函数在上是增函数，则偶函数，且在单调递增，则，则，，即可求得

【详解】

解：奇函数在上是增函数，当，，且，

，则，

在单调递增，且偶函数，

，

则，，

由在单调递增，则，

，

故选：．

【点睛】

本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．

9．B

【解析】

【分析】

求出函数在x=e处的切线方程判断A；求出减区间及极小值判断B，C；利用零点存在性定理分体解的情况判断D作答.

【详解】

函数定义域为，求导得：，

对于A，，而，则函数在x=e处的切线方程是，A正确；

对于B，当或时，，则的单调递减区间为，，B不正确；

对于C，当时，，由选项B的信息知，当时，取得极小值e，C正确；

对于D，令，当时，，恒有，

由选项B，C知，函数在上单调递减，在上单调递增，，

而，即存在，使，又，存在，使，

因此函数有2个零点，则方程有2个不同的解，D正确.

故选：B

10．C

【解析】

【分析】

分析给定函数的性质，利用函数的奇偶性、单调性解不等式作答.

【详解】

函数定义域为，

显然有，即函数是偶函数，

当时，，令，

，，，

因，则，即，，有，在上单调递增，

又在上单调递增，因此，在上单调递增，

于是得，解得或，

所以不等式成立的x的取值范围是.

故选：C

11．A

【解析】

【分析】

对函数求导，再求导，然后令，求得对称点即可.

【详解】

依题意得，，，

令，解得x＝1，

∵，∴函数的对称中心为，

则，

∵

∴．

故选：A.

12．D

【解析】

【分析】

作出函数的图象，再分析函数性质结合均值不等式求解作答.

【详解】

抛物线的对称轴，当时，图象关于直线对称，且，

由解得或，作出函数的图象与直线，如图，

关于x的方程有四个实根，则有直线与函数的图象有4个公共点，，

则，由得：，

因此，，

当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为10.

故选：D

13．0或

【解析】

【分析】

对分类讨论，代入解析式求解即可.

【详解】

当时，，解得：；

当时，，解得： ；

故答案为：或.

14．

【解析】

【分析】

先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.

【详解】

因为为定义在上的奇函数，当时，，

则，解得，则，

所以，因此.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

根据给定条件，分别求出函数在时与函数在时的最小值即可作答.

【详解】

当时，，当且仅当，即时取“=”，

当时，，，当，即时，取最小值，

因的最小值为2，于是得，解得，

所以m的取值范围为.

故答案为：

16．①④

【解析】

【分析】

根据零点的定义判断①，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断②，③，④．

【详解】

由得：，即，故函数有唯一零点，故①正确；

由题意可知：，

当时，，则，

当时，，递增；当时，，递减，

则此时的极大值为；

当时，，，在上单调递减，

由此可作出的图象如下：

观察图象可得函数的单调递减区间为，，②错，

函数在时有极大值，即函数有极大值点为1，③错误，

若关于x的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是，④正确，

故答案为：①④．

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）解不等式求出，从而求出交集；（2）利用是的真子集，列出不等式组，求出实数a的取值范围.

(1)

由题意得：，解得：，

所以，

当时，，解得：，

所以，

故

(2)

若“”是“”的必要不充分条件，

则是的真子集，

又因为，所以，故，

则要满足，且等号不同时取，解得：，

故实数a的取值范围是

18．(1)；

(2)的定义域为R ，值域为；

(3)奇函数，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）把函数图象经过的点的坐标代入函数式，计算作答.

（2）利用指数函数的定义，结合不等式性质求解作答.

（3）利用奇偶函数的定义计算判断作答.

(1)

依题意，函数的图象过点，则有，解得，

所以a的值是1.

(2)

由（1）知函数，因，所以的定义域为R，

而，所以的值域为.

(3)

函数是R上的奇函数，

因的定义域为R，且，所以是奇函数.

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据解集建立方程组可得；

（2）由（1）可得，然后直接使用基本不等式可得的最小值，然后可解.

(1)

由题知，1和b是方程的两根，

由韦达定理可得，解得

(2)

由（1）知，所以，

因为，所以

记，则，解得，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为8，

所以要使恒成立，则，得

所以k的取值范围为.

20．(1)f（x）=x3﹣3x2(2)[﹣1，6）．

【解析】

【详解】

分析：（1）根据已知条件即可建立关于b、c、d的三个方程，解方程即可求出b、c、d，从而求出函数的解析式；

（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解，即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解，即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解，求函数x3﹣3x2﹣9x+1在区间[﹣2，1]上的取值范围，要使方程有两个不同的解，从而求出因满足的范围，这样便求出了的取值范围.

详解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，由已知条件得：

，解得b=﹣3，c=d=0；

∴f（x）=x3﹣3x2

（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解；

即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解；

即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解．

令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；

解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2＜x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x＜1；

∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；

m=h（x）在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，∴﹣1≤m＜6．

∴实数m的取值范围是[﹣1，6）．

点睛：考查函数在切点处的导数与切线斜率的关系，对切线过切点的条件的运用，函数零点和方程实数解的关系，根据函数单调性求函数的最值.

21．(1)

(2)存在，m的值为

【解析】

【分析】

（1）根据偶函数的定义求解；

（2）求出的表达式，用令，则，化函数为二次函数，由二次函数的性质求解．

(1)

∵函数是偶函数，

∴，即，

∴，∴；

(2)

假设存在满足条件的实数m．

由题意，可得，．

令，则，．

令，．

∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，

∴当，即时，，解得；

当，即时，

，解得（舍去）；

当，即时，

，解得（舍去）．

综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为．

22．（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为，所以先求导

f ′(x)＝2x－1＋，再求斜率k=f ′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用点斜式可得切线方程；

（2）先求函数导数：f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：当a≤0时，一个零点1；当a>0时，两个零点和1；再比较两个零点大小，分三种情形.

（3）本题实质研究函数最小值.因为

是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，所以）；再由得－－ln(2)，最后根据零点存在定理确定取值范围，利用导数可得在区间单调递增，即.

【详解】

（1）因为，所以，

从而．因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，

故曲线在处的切线方程y－0＝2(x－1)，

即2x－y－2＝0．

（2）因为，所以，

从而．

当时，时，时，，

所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．

当时，

由得0＜x＜1或，由得，

所以在区间(0，1)和区间上单调递增，

在区间上单调递减．

当时，因为（当且仅当x＝1时取等号），

所以在区间上单调递增．

当时，由得或x＞1，

由得，

所以在区间和区间上单调递增，

在区间上单调递减．

（3）方法一：因为，所以，

从而．

由题意知，是方程的两个根，故．

记，因为，所以，

，

所以，且．

 ．

因为，所以，

令，．

因为，所以在区间(2，＋∞)单调递增，

所以，即．

方法二：因为，所以，

从而．

由题意知，是方程的两个根．

记，因为，所以，

，

所以，且在上为减函数．

所以．

因为，故．

考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式

【点睛】

导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略

(1)利用导数证明不等式．①证明，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，时，有，即证明了．

②证明，可以构造函数，如果，则在上是增函数，同时若，由增函数的定义可知，时，有，即证明了．

 (2)利用导数解决不等式的恒成立问题或存在型问题．利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．