2022-2023学年山西省太原市第五中学校高二下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山西省太原市第五中学校高二下学期5月月考数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了 函数的定义域是等内容，欢迎下载使用。

太原五中2022-2023学年度第二学期月考
高二数学
时间：2023.05.11
一､选择题（共12题，其中1-8小题为单选题，每小题3分，共24分；9-12小题为多选题，每小题4分，共16分，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分）
1. 已知集合，，则中所有元素的和为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3. 若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A -1 B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )
A. 9 B. 8 C. 0 D. 6
5. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A. 越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大
B. 该产品的质量指标值大于50的概率为0.5
C. 该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等
D. 该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等
10. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，都有”的否定是“，使得”
C. 数据的平均数为6，则数据的平均数是6
D. 当时，方程组有无穷多解
11. （多选）2020年12月26日太原地铁2号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁2号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：

根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A. 样本中男性比女性更关注地铁2号线开通
B. 样本中多数女性是35岁及以上
C. 样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D. 样本中35岁及以上的人对地铁2号线的开通关注度更高
12. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题（共4题，每题4分，共16分）
13. 函数的值域为______．
14. 若，则________.
15. 已知，，，则的最小值为___________．
16. 设，.则满足条件的所有实数a的取值范围为____.
二､解答题（共4题，共44分）
17. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18. 已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．
19. 某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.

良好以下
良好及以上
合计
男
800

1100
女

100

合计
1200

1600

（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关；
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望.
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6635
7.879
10.828
其中，.
20. 忽如一夜春风来，翘首以盼的时代，已然在全球“多点开花”，一个万物互联的新时代，即将呈现在我们的面前.为更好的满足消费者对流量的需求，中国电信在某地区推出六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如表：
套餐
A
B
C
D
E
F
月资费x（元）
38
48
58
68
78
88
购买人数y（万人）
168
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5

对数据作初步的处理，相关统计量的值如表：




75.3
24.6
183
101.4

其中，，且绘图发现，散点（）集中在一条直线附近.
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照某项指标测定，当购买人数y与月资费x的比在区间内，该流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”，现有一家三口从这六款套餐中，购买不同的三款各自使用.记三人中使用“主打套餐”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，.































太原五中2022-2023学年度第二学期月考
高二数学
时间：2023.05.11
一､选择题（共12题，其中1-8小题为单选题，每小题3分，共24分；9-12小题为多选题，每小题4分，共16分，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分）
1. 已知集合，，则中所有元素的和为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，然后利用交集的定义运算即得.
【详解】因为集合，
，
所以，所有元素的和为3.
故选：B.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式知，解不等式组即可得定义域
【详解】由函数，知
解之得：
故选：B
【点睛】本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题
3. 若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，即可得到答案.
【详解】由得，
因此，若是的充分不必要条件，
所以，则．
故选：D
4. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )
A 9 B. 8 C. 0 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，然后求出不等式的解，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得的值.
【详解】由题意知，
因为函数的值域为，所以，，可得，
由可知，且有，解得，
所以，，，
所以，，解得.
故选：A.
5. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，
故 ，
故选：A
6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数在上为减函数，
函数的图像开口向下，对称轴为，
所以函数在区间上为减函数，
且.
所以函数在上减函数.
由得.解得.
故选:A.
7. 已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出两个函数的值域，再根据两个函数的值域不能是空集解不等式得解.
【详解】当时，
的图象的对称轴为，
所以.
所以.
.
因为存在，使得，
所以两个函数的值域的交集不能是空集.
假设两个函数的值域的交集是空集，则或，
即或，
所以两个函数的值域的交集不能是空集时.
故选：A
8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将题给解析式化简，再利用二次函数的性质列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围
【详解】方程的，
方程有两个实根，
．
（1）当时，
恒成立，
恒成立，且函数对称轴为
，
，
整理得，
①当时，不等式恒成立，
②当时，不等式两边同时平方可得，即；
综上①②所述，；
（2）当或时，
，即恒成立，
③若，则函数的最小值为
，
恒成立，即，
解得，即；
④若，则函数的最小值为
，
恒成立，即，
解得，即，
综③④所述，，
综上所述，的取值范围是，
方法二：
函数，若怛成立，
即为恒成立，
可得或恒成立，
由可得，解得或；
则在恒成立，
当时，恒成立，
当时，有，即，
且在递增，可得的最大值为-2，
则，即；
同理可得时，，由在递增，
可得的最小值为2，则，即，综上可得．
故选：．
9. 某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A. 越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大
B. 该产品的质量指标值大于50的概率为0.5
C. 该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等
D. 该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据标准差的性质分析判断，对于BCD，根据正态分布的性质分析判断即可.
【详解】对于A，越大，则数据越分散，所以产品的质量指标值落在内的概率越小，所以A错误，
对于B，因为产品的质量指标值服从正态分布，所以正态分布的图象关于直线对称，所以该产品的质量指标值大于50的概率为0.5，所以B正确，
对于C，由选项B可知正态分布的图象关于直线对称，所以该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等，所以C正确，
对于D，由选项B可知正态分布的图象关于直线对称，所以由正态分布的图象可知该产品的质量指标值落在内的概率大于落在内的概率，所以D错误，
故选：BC
10. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，都有”的否定是“，使得”
C. 数据的平均数为6，则数据的平均数是6
D. 当时，方程组有无穷多解
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据充分不必要条件定义和不等式关系可判断的真假；由全称命题的否定形式，可判断真假；根据平均数的性质，判断的真假；将代入方程组，即可判断真假.
【详解】选项，，则有，但，则或，
所以“”是“”的充分不必要条件，选项正确；
选项，命题“，都有”的否定是
“，使得”，所以选项正确；
选项，数据的平均数为6，
则数据的平均数是7，
所以选项错误；
选项，当时，方程组为，
所以有无数个解，所以选项正确.
故选:ABD.
【点睛】本题考查命题真假判断，涉及到充分不必要条件的判断、全称命题的否定、数据平均数的性质、方程组的解，属于基础题.
11. （多选）2020年12月26日太原地铁2号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁2号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：

根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A. 样本中男性比女性更关注地铁2号线开通
B. 样本中多数女性是35岁及以上
C. 样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D. 样本中35岁及以上的人对地铁2号线的开通关注度更高
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等高条形图数据分析即可依次判断.

【详解】设等高条形图对应列联表如下：

35岁及以上
35岁以下
总计
男性



女性



总计



根据第1个等高条形图可知，35岁及以上男性比35岁及以上女性多，即岁以下男性比”岁以下女性多，即．根据第2个等高条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，
即；女性中35岁及以上的比35岁以下的多，即，对于A，男性人数为，女性人数为，因为，所以，所以A正确；
对于B,岁及以上女性人数为岁以下女性人数为，因为，所以B正确；
对于C，岁以下男性人数为岁及以上女性人数为，无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确；
对于D，35岁及以上的人数为岁以下的人数为，因为，所以，所以D正确．
故选：ABD.

12. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质以及作差比较法，利用指数函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，
因为，可得，所以，
所以，所以A错误；
对于B中，由，
因为，可得，所以，
所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，当时，；
当时，；当时，，所以C错误；
对于D中，由，可得，又由，
根据指数函数的性质，可得，所以D正确.
故选：BD.
二､填空题（共4题，每题4分，共16分）
13. 函数的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再结合二次函数的性质求出值域即可.
【详解】由得，所以函数的定义域为：，
，
因为，所以，
即
故答案为：
14. 若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，令，则，代入关系式，再用方程法求出解析式，
【详解】令，则，.
原式可变为①，
用代替t，则有②，
由①②消去得，
.
故答案为：
【点睛】此题考查求函数解析式，涉及换元法代换，方程法求解析式，考查通式通法.
15. 已知，，，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用“1”的变形，，，展开后利用基本不等式求最值.
【详解】解：由题得，
则
又


(当且仅当，即时取等号)
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：.
16. 设，.则满足条件的所有实数a的取值范围为____.
【答案】
【解析】
【详解】因为的根为x=0或x=-a，所以，可化为或.
由题意得无解或的根为x=0或x=-a.
而，即.
故或a=0.
因此，.
二､解答题（共4题，共44分）
17. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先确定集合的元素，然后按集合运算法则计算；
（2）则有，然后分和讨论。
详解】解：（1）若，则，
则；
则；
（2）若，
则，
①若，即，得，此时满足条件，
②当，则满足，得，
综上．
【点睛】本题考查集合的运算，考查集合间的包含关系。在集合包含关系中要注意空集是任何集合的
子集，因此要分类讨论。
18. 已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用单调性的定义证明单调性即可;
（2）根据单调性求出的最大值最小值,结合不等式恒成立,求实数的范围.
【小问1详解】
在上单调递增．
，且，
则
，
，
，且，
，从而，
又，
，
从而，
在上单调递增．
【小问2详解】
由（1）可知在上单调递增，
当时，，
从而当时，，
满足题意，必须，
．
19. 某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.

良好以下
良好及以上
合计
男
800

1100
女

100

合计
1200

1600

（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关；
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望.
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中，.
【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据条件可完善表格，然后计算出的值即可；
（2）由条件可得，然后算出答案即可.
【小问1详解】
由题中的数据补充列联表可得：

良好以下
良好及以上
合计
男
800
300
1100
女
400
100
500
合计
1200
400
1600
，
故有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.
【小问2详解】
根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为.
可知的取值有0，1，2，3，4，，记为的概率，
则，
，
，
；
；
则的分布列为：

0
1
2
3
4
P






所以的数学期望.
20. 忽如一夜春风来，翘首以盼的时代，已然在全球“多点开花”，一个万物互联的新时代，即将呈现在我们的面前.为更好的满足消费者对流量的需求，中国电信在某地区推出六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如表：
套餐
A
B
C
D
E
F
月资费x（元）
38
48
58
68
78
88
购买人数y（万人）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5

对数据作初步的处理，相关统计量的值如表：




75.3
24.6
18.3
101.4

其中，，且绘图发现，散点（）集中在一条直线附近.
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照某项指标测定，当购买人数y与月资费x的比在区间内，该流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”，现有一家三口从这六款套餐中，购买不同的三款各自使用.记三人中使用“主打套餐”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）设回归直线方程为，由，，则，，变量交于v的回归方程为，由，，求出y关于x的回归方程.
（2）由，得C、D、E为“主打套餐”，则三人中使用“主打套餐”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，3，由此能求出X的分布列和.
【详解】解：（1）∵散点（）集中在一条直线附近）.设回归直线方程为，
由，，
则，
，
∴变量交于v的回归方程为，
∵，，∴，∴，
综上，y关于x的回归方程为.
（2）由，
解得，∴，68，78，∴C、D、E为“主打套餐”，
则三人中使用“主打套餐”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




.
【点睛】本题考查回归直线方程的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列、概率的求法，考查超几何分布等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.