2021-2022学年山西省太原市实验中学校高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年山西省太原市实验中学校高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用交集的概念及运算，即可得到结果.

【详解】解：∵，，

∴，

故选：A

【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.

2．已知命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果.

【详解】因为命题：，，

所以命题：，，

故选：A.

3．下列角中，与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据终边相同的角的知识确定正确选项.

【详解】与角终边相同的角是，

令，得.

故选：C

4．已知（    ）.

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【分析】利用同角三角函数间的基本关系，将分式的分子和分母分别除以，化简整理即可求解.

【详解】因为，由题意可知:,

将分式的分子和分母分别除以，可得:,

解得:.

故选：.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.

【详解】，，，

∴，

故选：D

【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.

6．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的诱导公式化简可得，再结合特殊角的三角函数即可得出答案.

【详解】.

故选：D.

7．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.

【详解】解：∵，

，

则，

∴函数的零点所在区间是 ，

当，且时，

，

，

，

ACD中函数在区间端点的函数值均同号，

根据零点存在性定理，B为正确答案.

故选：B.

【点睛】本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.

8．函数的单调递增区间是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先考虑对数的真数取值大于；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间.

【详解】由可得或

∵在单调递增，而是增函数，

由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是，

故选D.

【点睛】复合函数单调性的判断方法：同增异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案.

【详解】由题意得：，

故选：B.

10．已知扇形的周长为4，则扇形的面积最大值等于（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，由题意得，然后由，利用二次函数的性质求解.

【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，

因为扇形的周长为4，

所以，则，

所以，

所以扇形的面积，

，

当时，，

故选：A

11．函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】转化条件为，结合二次函数的图象与性质，作出分段函数的图象，数形结合结合可得，即可得解.

【详解】由题意，函数，

函数的图象开口朝下，对称轴为，

函数的图象开口朝上，对称轴为，

当时，，函数在R上单调递增，不合题意；

当时，作出函数图象，如图，

易得函数在区间上无最值；

当，作出函数图象，如图，

若要使函数在区间上既有最大值又有最小值，

则即，解得；

综上，实数a的取值范围是.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质作出分段函数的图象，结合图象数形结合即可得解.

12．已知函数，.若有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数与函数的图象可得结果.

【详解】令可得，

作出函数与函数的图象如下图所示：

当时，函数与函数的图象有个交点，

此时，函数有个零点.因此，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了函数的零点，属于基础题.

二、填空题

13．若函数(其中且)，则的图像恒过定点__________．

【答案】

【解析】函数(其中且)恒过定点.

【详解】令，解得，，所以的图像恒过定点.

故答案为：

14．已知函数是幂函数，那么实数m的值是___________.

【答案】或

【分析】根据幂函数的定义列出方程，即可得解.

【详解】解：因为函数是幂函数，

所以，解得或.

故答案为：或.

15．若角满足，则的终边在第______象限.

【答案】三

【分析】根据三角函数的取值范围，结合已知不等式可得，即可判断的终边所在象限.

【详解】解：，又角满足

，于是可得的终边在第三象限.

故答案为：三.

16．命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【详解】试题分析：根据命题的否定可知“，”为真命题，所以有或，解得或.

【解析】1、命题；2、一元二次不等式.

【方法点晴】全称命题“，”的否定为“，”，当全称命题为假命题时，根据命题的否定可知，它的否定即存在性命题一定为真命题，从而将问题进行转化，转化为易于求解的问题，化归转化思想、分类讨论思想在解决这类问题中有着十分重要的作用.

三、解答题

17．计算

(1)；

(2).

【答案】(1)4

(2)1

【分析】（1）利用对数与指数的性质进行化简计算；

（2）利用对数性质进行化简计算

【详解】（1）

（2）

18．已知角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,终边经过点.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为角的终边经过点,则,根据三角函数的定义,即可求得答案;

（2）根据诱导公式化简,结合已知,即可求得答案.

【详解】（1） 角的终边经过点

根据三角函数的定义可知

故.

（2）根据诱导公式化简:

则

的值为:.

【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式.在三角求值时,充分利用相关公式和已知条件进行化简,着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平,属于中等题.

19．求函数的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的的取值集合．

【答案】，此时的取值集合是；，此时的取值集合是．

【分析】利用平方关系式的变形形式,将化成后,将看成整体,函数变为二次函数,根据二次函数知识可求得.

【详解】函数．

∵，

∴当，即时，；

当，即时，．

综上，，此时的取值集合是；

，此时的取值集合是．

【点睛】本题考查了三角函数的最值,二次函数的最值,属于中档题.

20．已知函数且.

(1)求的定义域并判断的奇偶性（不需证明）；

(2)当时，求使的的取值范围.

【答案】(1)，奇函数

(2)

【分析】（1）根据对数的真数大于0列出不等式，解之即可求出函数的定义域，再判断与的关系，即可得出函数的奇偶性；

（2）根据对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）解：由函数且，

可得，解得，故函数的定义域为，

由，且定义域关于原点对称，，

故函数为奇函数；

（2）解：，

当时，由可得，解得，

所以使的的取值范围为.

21．已知，函数满足

(1)求的最小值；

(2)解关于的的取值范围.

【答案】(1)10

(2)答案见解析

【分析】（1）转化条件为，进而可得，结合基本不等式即可得解；

（2）转化条件为，按照、、分类，由一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】（1）由已知，得，

所以.

当且仅当即，等号成立，

的最小值为10.

（2）由题意，

∵，∴，∴，∴，

方程的两根为，

当时，即，不等式的解集为；

当时，即，不等式的解集为；

当时，即，不等式的解集为.

综上可知：时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为.